Centrerat kvadratnummer

Ett centrerat kvadrattal är ett centrerat polygontal som representerar en kvadrat med en punkt i mitten och alla andra omgivande punkter som finns på kvadratiska lager.

Således är varje centrerad kvadratnummer lika med antalet punkter inom ett givet avstånd, i block , från mittpunkten på kvadratrutnätet . Centrerade kvadrattal, som figurativa tal , har få, om några, praktiska tillämpningar, men de studeras i underhållande matematik för sina eleganta geometriska och aritmetiska egenskaper.

Siffrorna för de fyra första centrerade kvadrattalen visas nedan:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=5$		$C_{4,3}=13$		$C_{4,4}=25$

Anslutning till andra lockiga nummer

Det n:te centrerade kvadrattalet ges av

C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.

Med andra ord är ett centrerat kvadrattal summan av två på varandra följande kvadrater . Följande diagram visar formeln:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4$		$C_{4,3}=4+9$		$C_{4,4}=9+16$

Formeln kan representeras enligt följande

C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \över 2};

så det n :te centrerade kvadrattalet är lika med hälften av den n :te udda kvadraten + 1/2 som illustreras nedan:


$C_{4,1}=(1+1)/2$		$C_{4,2}=(9+1)/2$		$C_{4,3}=(25+1)/2$		$C_{4,4}=(49+1)/2$

Liksom andra centrerade polygonala tal kan centrerade kvadrattal uttryckas i termer av triangulära tal :

C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},

var

{\displaystyle T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \choose 2))

är det n :te triangulära talet. Detta är lätt att se om du helt enkelt tar bort mittpunkten och delar upp de återstående i fyra trianglar, enligt följande:


$C_{4,1}=1$		$C_{4,2}=1+4\ gånger 1$		$C_{4,3}=1+4\ gånger 3$		$C_{4,4}=1+4\ gånger 6.$

Skillnaden mellan två på varandra följande åttakantiga tal är ett centrerat kvadrattal (Conway and Guy, s. 50).

Egenskaper

De första centrerade kvadrattalen [1] :

1 , 5 , 13 , 25 , 41 , 61 , 85 , 113 , 145 , 181 , 221 , 265 , 313 , 365 , 421 , 481 , 545 , 613 , 685 , 1 , 685 , 613 , 685 , 1 , 5 , 1 , 5 , 1 , 685 , 1 , 1 , 121 1301 1405 1513 1625 1741 1861 1985 2113 2245 2381 2521 2665 2813 2965 3121 3281 3445 3613 3613 3613 39 3 9

Alla centrerade kvadrattal är udda, och den sista siffran i decimalrepresentation ger sekvensen 1-5-3-5-1.

Alla centrerade kvadrattal och deras divisorer har en återstod av 1 när de divideras med 4. Därför är alla centrerade kvadrattal och deras divisorer kongruenta med 1 eller 5 modulo 6, 8 eller 12.

Alla centrerade kvadrattal utom 1 har en hypotenusa i en av Pythagoras trippel (t.ex. 3-4-5, 5-12-13).

Centrerade kvadratiska primtal

Centrerade kvadratprimtal är centrerade kvadrattal som också är primtal . Till skillnad från vanliga kvadrattal , som aldrig är primtal, är flera centrerade kvadrattal primtal.

Flera första centrerade kvadratiska primtal [2] :

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3121, …

Ett anmärkningsvärt exempel kan ses på det magiska torget från 1000-talet i al-Antaakiya.

Se även

Antalet celler i von Neumann-kvarteret av ordning r sammanfaller med det centrerade kvadrattalet med nummer r
Sats om representationen av primtal som summan av två kvadrater

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A001844 _
↑ OEIS -sekvens A027862 _

Litteratur

Alfred, U. (1962), n och n + 1 på varandra följande heltal med lika stora summor av kvadrater, Mathematics Magazine vol 35 (3): 155–164
Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers , New York: Dover, sid. 125
Conway, John H. & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers , New York: Copernicus, sid. 41–42, ISBN 0-387-97993-X

Länkar

(n² + 1) / 2 som ett specialfall av M(i, j) = (i² + j) / 2

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare