Kvadratiskt pyramidnummer

Ett kvadratiskt pyramidnummer (ofta kallat helt enkelt ett pyramidnummer ) är ett rumsligt figurativt tal som representerar en pyramid med en kvadratisk bas. Kvadratiska pyramidtal uttrycker också antalet kvadrater med sidor parallella med koordinataxlarna i ett gitter med N  ×  N punkter.

Sekvensstart:

Formel

Den allmänna formeln för det kvadratiska pyramidtalet i ordning är:

Detta är ett specialfall av Faulhabers formel , som är lätt att bevisa genom induktion . För första gången gavs en likvärdig formel i " Abacusboken " av Fibonacci (XIII-talet).

I modern matematik sker formaliseringen av krulliga tal med hjälp av Hérard-polynom . Herardpolynomet L ( P , t ) för polytopen P är ett polynom som räknar antalet heltalspunkter i en kopia av polytopen P , vilket ökas genom att multiplicera alla dess koordinater med talet t . Erard-polynomet för en pyramid vars bas är en kvadrat på sida 1 med heltalskoordinater, och vars spets är på en höjd av 1 över basen, beräknas med formeln [1] :

Genererande funktion

Genereringsfunktionen för kvadratiska pyramidal tal är:

Anslutning till andra lockiga nummer

Kvadratiska pyramidala tal kan också uttryckas som summan av binomialkoefficienter :

De binomialkoefficienter som förekommer i detta presenterade uttryck är tetraedriska tal . Denna formel uttrycker kvadratiska pyramidal tal som summan av två tal, precis som vilket kvadrattal som helst är summan av två på varandra följande triangulära tal . I denna summa räknar ett av de två tetraedriska talen antalet kulor i den staplade pyramiden som är placerade ovanför eller vid ena sidan av diagonalen på pyramidens kvadratiska bas; och den andra - ligger på andra sidan av diagonalen. Kvadratiska pyramidal tal är också relaterade till tetraedriska tal enligt följande [2] :

Summan av två på varandra följande kvadratiska pyramidal nummer är ett oktaedriskt tal .

Problemet med att hitta fyrkantiga pyramidala tal som också är kvadratiska tal är känt som kanonkulans staplingsproblem och formulerades av Lucas (1875) [3] .

Anteckningar

1. ↑ Beck, M.; DeLoera, JA; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Coefficients and roots of Ehrhart polynomials, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization , vol. 374, Contemp. Math., Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., sid. 15-36 
2. ↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 75.
3. ↑ Edouard Lucas. Fråga 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1875. - Utgåva. 14. - S. 336.

Litteratur

• Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bakom sidorna i en lärobok i matematik: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Utbildning, 1996. - S.  30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
• Glazer G.I. Matematikens historia i skolan . - M . : Utbildning, 1964. - 376 sid.
• Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Länkar

• Curly Numbers Arkiverad 23 november 2018 på Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number  (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
• Geometriskt bevis för den tetraedriska nummerformeln Arkiverad 28 juli 2009 på Wayback Machine
• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (red.). Handbok i matematiska funktioner  (obestämd) . — National Bureau of Standards, Applied Math. Serie 55, 1964. - S. 813. - ISBN 0486612724 .