Lockiga siffror

Figurerade siffror är tal som kan representeras med geometriska former. Detta historiska koncept går tillbaka till pytagoreerna , som utvecklade algebra på geometrisk basis och representerade vilket positivt heltal som helst som en uppsättning punkter i ett plan [1] . Uttrycken "kvadrat ett tal" eller "kub" [2] förblev ett eko av detta tillvägagångssätt .

Traditionellt finns det två huvudklasser av lockiga siffror [3] :

Platta polygonala tal är tal som är associerade med en viss polygon. De är uppdelade i klassiska och centrerade .
Rumsliga polyedriska tal är tal som är associerade med en viss polyeder .

I sin tur är varje klass av figurativa siffror uppdelad i varianter , som var och en är förknippad med en specifik geometrisk figur: triangel, kvadrat, tetraeder, etc.

Det finns också generaliseringar av lockiga tal till flerdimensionella utrymmen . I forntida tider, när aritmetik inte skiljdes från geometri, övervägdes flera fler typer av figurativa tal, som för närvarande inte används .

I talteori och kombinatorik är figurativa tal förknippade med många andra klasser av heltal - binomialkoefficienter , perfekta tal , Mersennetal , Fermattal , Fibonaccital , Lucastal och andra [4] .

Klassiska polygonala tal

För korthetens skull hänvisas i detta avsnitt till de klassiska polygonala talen helt enkelt till som "polygonala tal".

Geometrisk definition

Polygonala tal är en sekvens som indikerar antalet punkter, konstruerade enligt reglerna som vi kommer att illustrera med hjälp av exemplet med en heptagon. Serien av heptagonala tal börjar med 1 (baspunkt), sedan kommer 7, eftersom 7 poäng bildar en vanlig heptagon läggs 6 poäng till. Det tredje numret motsvarar en heptagon vars sidor redan innehåller inte två, utan tre punkter, och alla punkter som byggts i de föregående stegen beaktas också. Det kan ses av figuren att den tredje siffran innehåller 18 poäng, ökningen (Pythagoras kallade det " gnomon ") var 11 poäng. Det är lätt att se att tilläggen bildar en aritmetisk progression , där varje term är 5 mer än den föregående [5] .

Om vi övergår till en generell -gon kan vi dra slutsatsen att vid varje steg ökar antalet poäng som motsvarar det figurativa talet när summan av en aritmetisk progression [5] med den första termen 1 och skillnaden $k$ $k-2.$

Algebraisk definition

Den allmänna definitionen av ett k -koltal för någon följer av den geometriska konstruktionen som presenteras ovan. Det kan formuleras enligt följande [6] : $k \geqslant 3$

$n$ K -koltalet i ordningen är summan av de första termerna i en aritmetisk progression , där den första termen är lika med 1, och skillnaden är lika med ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $k-2.$

Till exempel erhålls triangulära tal som delsummor av serien och fyrkantiga (kvadrat) tal motsvarar serien $1+2+3+4\dots$ $1+3+5+7\dots$

Sekvensen av k -gonala tal har formen [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\dots

Den allmänna formeln för den explicita beräkningen av den e ordningen av k -kolnumret kan erhållas genom att representera den som summan av en aritmetisk progression [8] : $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstil P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

I vissa källor börjar sekvensen av krulliga siffror från noll (till exempel i A000217 ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots

I det här fallet är det tillåtet i den allmänna formeln . I den här artikeln är figurativa nummer numrerade från ett, och den utökade serien är speciellt specificerad. ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n=0.$

Det finns också en rekursiv formel för att beräkna ett polygontal [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cases}}

Med en ökning av antalet sidor med en, ändras motsvarande figurativa siffror enligt Nicomach- formeln [9] : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, var .

n>1

(Nicomachus)

Eftersom det beror linjärt på formeln är giltig: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, var .

s=0,1,2\dots k-3

Med andra ord är varje polygonalt tal det aritmetiska medelvärdet av polygonala tal på lika avstånd från det med samma tal. $k$

Om är ett primtal , då är det andra koltalet, lika med , också primtal; detta är den enda situationen där ett polygonalt tal är primtal, vilket kan nås genom att skriva den allmänna formeln i följande form: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Bevis: låt Om det är jämnt är det krulliga talet delbart med , och om det är udda är det delbart med . I båda fallen visar sig det figurativa talet vara sammansatt [10] . $n>2.$ $n$ ${\textstyle {\frac {n}{2))}$ ${\textstil {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Serie av inversa polygonala tal

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\dots +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\dots

konvergera. Deras summa kan representeras som var är Euler-Mascheroni-konstanten , är digammafunktionen [11] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Historisk översikt

Figurerade siffror, enligt pytagoreerna , spelar en viktig roll i universums struktur. Därför var många framstående matematiker från antiken engagerade i sina studier: Eratosthenes , Hypsicles , Diophantus of Alexandria , Theon of Smyrna och andra. Hypsikler (2:a århundradet f.Kr.) gav en allmän definition av kolnumret som summan av medlemmarna i en aritmetisk progression , där den första medlemmen är , och skillnaden är . Diophantus skrev en stor studie "Om polygonala tal" (3:e århundradet e.Kr.), varav fragment har överlevt till denna dag. Definitionen av Hypsicles ges i Diophantus bok i följande form [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $ett$ $k-2$

Om vi tar några tal, med början från ett, som har samma skillnader, kommer deras summa, om skillnaden är ett, att vara en triangel, om två, då en fyrkant, och om tre, en femhörning. Antalet hörn bestäms av skillnaden ökad med två, och sidan bestäms av antalet tagna siffror, räknande och ett.

Figurerade tal talas mycket om i Pythagoras läroböcker i aritmetik, skapade av Nicomachus av Geraz och Theon av Smyrna (II-talet), som etablerade ett antal beroenden mellan figurerade tal av olika dimensioner. Indiska matematiker och de första matematikerna i det medeltida Europa ( Fibonacci , Pacioli , Cardano , etc.) visade stort intresse för figurativa siffror [14] [4] .

I modern tid handlade Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss och andra med polygonala tal . I september 1636 [15] formulerade Fermat i ett brev till Mersenne en sats som idag kallas Fermats polygonala talsats [14] :

Jag var den första som upptäckte en mycket vacker och ganska allmän sats att varje tal är antingen triangulärt eller summan av två eller tre triangulära tal; varje tal är antingen kvadrat eller är summan av två, tre eller fyra kvadrater; eller femkantigt, eller är summan av två, tre, fyra eller fem femkantiga tal, och så vidare i oändlighet, oavsett om det gäller sexkantiga, sjukantiga eller andra polygonala tal. Jag kan inte här ge ett bevis som beror på siffrornas många och invecklade mysterier, ty jag tänker ägna en hel bok åt detta ämne och att i denna del av aritmetiken få häpnadsväckande framsteg över tidigare kända gränser.

Tvärtemot sitt löfte publicerade Fermat aldrig ett bevis för denna sats, som han i ett brev till Pascal (1654) kallade sin huvudsakliga prestation i matematik [15] . Många framstående matematiker tog itu med problemet - 1770 bevisade Lagrange ett teorem för kvadrattal ( Lagranges sats om summan av fyra kvadrater ), 1796 gav Gauss ett bevis för triangulära tal. Ett fullständigt bevis för satsen gavs av Cauchy 1813 [16] [17] .

Variationer av klassiska polygonala tal

Triangulära tal

Triangulär nummersekvens :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … ( sekvens A000217 )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Egenskaper [18] :

Pariteten för ett sekvenselement ändras med en period av 4: udda, udda, jämn, jämn. Inget triangulärt tal kan (i decimalnotation) sluta med talen 2, 4, 7, 9 [19] .

För korthetens skull betecknar vi det e triangulära talet: Då är de rekursiva formlerna giltiga: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Bacher de Meziriacs formel : Den allmänna formeln för ett polygonalt tal kan transformeras så att det visar uttrycket för vilket polygonalt tal som helst i form av triangulära:

{\textstil P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(baske)

Summan av två på varandra följande triangulära tal ger en hel kvadrat ( kvadratnummer ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Fermats sats om polygonala tal innebär att vilket naturligt tal som helst kan representeras som summan av högst tre triangulära tal.

Summan av en ändlig serie av triangulära tal beräknas med formeln:

S_{m-1}=1+3+6+\dots +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

En serie ömsesidiga triangulära tal ( teleskopiska serier ) konvergerar [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Dubblade triangulära tal ger en sekvens (definierad nedan ) av rektangulära tal .

Ett naturligt tal är triangulärt om och endast om talet är kvadratiskt [21] . $N$ $8N+1$

Känd i mystiken "ondjurets nummer " (666) är den 36:e triangulära. Det är det minsta triangulära talet som kan representeras som summan av kvadrater av triangulära tal [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

De triangulära talen bildar den tredje diagonala linjen i Pascals triangel .

Kvadratnummer


$0+\color {blue}1\color {svart}=1$	$1+\color {blue}3\color {svart}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {svart}=16$

Kvadratnummer är produkten av två identiska naturliga tal, det vill säga de är perfekta kvadrater:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (sekvens A00IS ) .

n^{2}

Varje kvadrattal, utom ett, är summan av två på varandra följande triangulära tal [23] :

{\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Exempel: etc.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Summan av ett kvadrattal som föregås av ett triangulärt tal ger ett femkantigt tal :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Denna teorem publicerades först av Nicomachus (" Introduktion till aritmetik ", II århundradet) [24] .

Summan av kvadraterna av de första naturliga talen beräknas med formeln [25] : $n$

{\textstil 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

En serie inversa kvadrattal konvergerar [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Varje naturligt tal kan representeras som summan av högst fyra kvadrater ( Lagranges summa av fyra kvadraters sats ).

Brahmagupta-Fibonacci-identitet : Produkten av summan av två kvadrattal och vilken annan summa av två kvadrattal som helst är själv representerad som summan av två kvadrattal.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Eftersom den andra termen till höger kan vara lika med noll, bör man här överväga en utökad serie kvadrattal, som inte börjar från 1, utan från noll (se A000290 ).

Exempel:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Pentagonala nummer

Sekvensen av femkantiga tal ser ut så här:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( 0326 A 0 ).

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Pentagonala tal är nära besläktade med triangulära [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Som nämnts ovan kan ett femkantigt tal, med början från det andra talet, representeras som summan av en kvadrat och ett triangulärt tal:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Om du anger en mer allmän sekvens i formeln : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\prickar

då får vi generaliserade femkantiga tal :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... ( OEIS -sekvens A001318 ).

Leonhard Euler upptäckte generaliserade femkantiga tal i följande identitet :

(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots

Krafterna på den högra sidan av identiteten bildar en sekvens av generaliserade femkantiga tal [27] . $x$

Hexagonala tal 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( 03IS sekvens ).

2n^{2}-n

Följden av hexagonala tal erhålls från sekvensen av triangulära tal genom att radera element med jämna tal [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Ett naturligt tal är hexagonalt om och endast om talet är naturligt . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Heptagonala tal Åttakantiga siffror Dodekagonala tal

Dodekagonala tal beräknas med formeln : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065 , 1216 , 1377 .

I det decimala systemet slutar det -:e dodekagonala talet på samma siffra som själva talet . Detta följer av den uppenbara jämförelsen : varifrån får vi: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Bestämma om ett givet tal är polygonalt

Uppgift 1 (Diophantusproblem): ges ett naturligt tal . Bestäm om det är ett polygonalt tal och i så fall för vilket och . Diophantus formulerade detta problem på följande sätt: " ta reda på hur många gånger ett givet tal förekommer bland alla möjliga polygonala tal " [29] . $N>2$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $n$

Lösningen av problemet reduceras till lösningen av den " diofantiska ekvationen " (se den allmänna formeln ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

eller: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Låt oss skriva om den resulterande ekvationen i formen: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Nämnarna för bråken till höger är relativt primtal ; summan eller skillnaden av sådana bråk kan vara ett heltal endast om varje bråkdel är ett heltal [30] , så det är en multipel av , men en multipel av . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Som ett resultat tar lösningsalgoritmen följande form [29] :

Skriv ut alla naturliga delare för talet (inklusive sig själv ). $2N$ $ett$ $2N$
Skriv ner alla naturliga delare av talet . $2N-2$
Välj från den första uppsättningen de siffror som är större än något tal från den andra uppsättningen. Dessa siffror matchar . $ett$ $n$
Beräkna för varje vald . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Ta bort paren där . $(n,\;k)$ $k<3$

Då är alla siffror som motsvarar de återstående paren lika . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $N$

Exempel [29] . Låt . $N=105$

Avdelare . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Avdelare . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Urval . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
Följaktligen . Det sista värdet ska kasseras. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Svar: kan representeras som , det vill säga som nummer 2:a 105-vinkeln, 3:e 36-vinkeln, 5:e 12-vinkeln och 14:e 14-vinkeln. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14) )}$

Uppgift 2 : givet ett naturligt tal måste du avgöra om det är ett koltal . Till skillnad från uppgift 1, här ges den. $N>2,$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

För lösningen kan du använda Diophantus-identiteten [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Denna identitet erhålls från ovanstående allmänna formel för ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ och är ekvivalent med den. Lösningen följer av identiteten: om det finns ett -koltal, det vill säga för vissa , så finns det något kvadrattal , och vice versa. I det här fallet hittas numret av formeln [31] : $N$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $n,$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4))}

Exempel [31] . Låt oss avgöra om siffran är 10-sidig. Värdet här är lika, så svaret är ja. därav är det 20:e 10-vinkeltalet. $1540$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Genererande funktion

Effektserien , vars koefficienter är -koltal, konvergerar vid : $k$ $|x|<1$

{\textstil P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\dots = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

Uttrycket till höger är genereringsfunktionen för sekvensen av -koltal [32] . $k$

Apparaten för att generera funktioner gör det möjligt att tillämpa metoderna för matematisk analys inom talteori och kombinatorik . Ovanstående formel förklarar också utseendet av koltal bland koefficienterna i Taylor-serien för olika rationella fraktioner. Exempel: $k$

Vid : ;

k=3

{\textstil \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(3)}x^{n}+\dots }

Vid : ;

k=4

{\textstil \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(4)}x^{n}+\dots }

Vid :

k=5

{\textstil \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\dots +P_{n}^{(5)}x^{n}+\dots }

etc.

För vissa klasser av polygonala tal finns det specifika genereringsfunktioner. Till exempel, för kvadratiska triangulära tal , har den genererande funktionen följande form [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots$

{\textstil {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\dots }

; serien konvergerar vid .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Klassiska polygonala tal från mer än en sort

Det finns ett oändligt antal "multi-figured" (eller "multi-polygonal") [34] tal, det vill säga tal som samtidigt tillhör flera olika varianter av lockiga tal. Till exempel finns det triangulära tal som också är kvadratiska (" kvadratiska triangulära tal ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots

(sekvens A001110 i OEIS ).

Det triangulära talet kan också vara samtidigt

femkantig (sekvens A014979 i OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172351562466…

hexagonal (alla triangulära tal med ett udda tal);
heptagonal (sekvens A046194 i OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197031, 81861, 81861, 81861...

etc. Det är inte känt om det finns tal som samtidigt är triangulära, kvadratiska och femkantiga; ett datortest av siffror som är mindre än det visade inte något sådant antal, men det har inte bevisats att det inte finns några [34] . $10^{22166},$

Ett kvadrattal kan vara samtidigt

femkantig (sekvens A036353 i OEIS ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128691780580

hexagonal (sekvens A046177 i OEIS ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 2893284510173825103...

heptagonal (sekvens A036354 i OEIS ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449...

etc.

Ett femkantigt tal kan samtidigt vara:

hexagonal (sekvens A046180 i OEIS ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

heptagonal (sekvens A048900 i OEIS ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757...

etc.

Ett hexagonalt tal är nödvändigtvis också triangulärt; den kan också vara heptagonal samtidigt (sekvens A48903 i OEIS ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Andra kombinationer av tre eller flera typer av figurativa siffror är också möjliga. Till exempel, som bevisats ovan , finns numret i fyra varianter: För en komplett lista över sådana kombinationer från triangulära till 16-gonala tal, se sekvens A062712 i OEIS . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105) )}.$

Pivottabell

k	Variation av lockiga nummer	Allmän formel	n										Summan av ömsesidigt [36]	OEIS-nummer
k	Variation av lockiga nummer	Allmän formel	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	Summan av ömsesidigt [36]	OEIS-nummer
3	triangulär	ett2( n 2 + n )	ett	3	6	tio	femton	21	28	36	45	55	2	A000217
fyra	fyrkant	ett2( 2n2 − 0n ) = n2 _	ett	fyra	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	femsidig	ett2(3 n 2 − n )	ett	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	hexagonal	ett2( 4n2 − 2n ) _	ett	6	femton	28	45	66	91	120	153	190	2 ln 2	A000384
7	sjukantig	ett2( 5n2 − 3n ) _	ett	7	arton	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} }{2}}\right)$	A000566
åtta	åttkantig	ett2( 6n2 − 4n ) _	ett	åtta	21	40	65	96	133	176	225	280	3fyraln 3+ $\pi$ √ 312	A000567
9	icke-kantig	ett2( 7n2 − 5n ) _	ett	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operatörsnamn {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
tio	dekagonal	ett2( 8n2 − 6n ) _	ett	tio	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2+ $\pi$ 6	A001107
elva	11-kol	ett2( 9n2 − 7n ) _	ett	elva	trettio	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-kol	ett2( 10n2 − 8n ) _	ett	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-kol	ett2( 11n2 − 9n ) _	ett	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
fjorton	14-kol	ett2( 12n2 − 10n ) _	ett	fjorton	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2+3tioln 3+ $\pi$ √ 3tio	A051866
femton	15-kol	ett2( 13n2 − 11n ) _	ett	femton	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-kol	ett2( 14n2 − 12n ) _	ett	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-kol	ett2( 15n2 − 13n ) _	ett	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
arton	18-kol	ett2( 16n2 − 14n ) _	ett	arton	51	100	165	246	343	456	585	730	fyra7logg 2 -√2 _fjortonlog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )fjorton	A051870
19	19-kol	ett2( 17n2 − 15n ) _	ett	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
tjugo	åttkantig	ett2( 18n2 − 16n ) _	ett	tjugo	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-kol	ett2( 19n2 − 17n ) _	ett	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000-kol	ett2( 998n2 − 996n ) _	ett	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10 000	10 000-kol	ett2(9998 n 2 − 9996 n )	ett	10 000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Centrerade polygonala tal

Definition

Centrerade vinkeltal ( ) är en klass av formade tal som erhålls genom följande geometriska konstruktion. Först är en viss central punkt fixerad på planet. Sedan byggs en vanlig k -gon runt den med vertexpunkter, varje sida innehåller två punkter (se figur). Vidare byggs nya lager -goner utanför, och var och en av deras sidor på det nya lagret innehåller en punkt mer än i det föregående lagret, det vill säga från och med det andra lagret innehåller varje nästa lager fler punkter än det föregående. Det totala antalet punkter inuti varje lager och tas som ett centrerat polygonalt tal (punkten i mitten anses vara det initiala lagret) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Exempel på byggnadscentrerade polygonala tal:

triangulär	Fyrkant	Femsidig	Hexagonal

Det framgår av konstruktionen att centrerade polygonala tal erhålls som delsummor av följande serier: (till exempel centrerade kvadrattal, för vilka de bildar en sekvens: ) Denna serie kan skrivas som , varifrån den kan ses som inom parentes är en genererande serie för klassiska triangulära tal (se fig. ovan ). Därför kan varje sekvens av centrerade -vinkeltal, med början från det andra elementet, representeras som , där är en sekvens av triangulära tal. Till exempel, centrerade kvadrattal är fyrdubbla triangulära tal plus , den genererande serien för dem är: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ $1,5,13,25,41\dots$ $1+k(1+2+3+4+\dots )$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\dots )$ $ett$ $1+4+8+12\dots$

Från ovanstående formel för triangulära tal kan man uttrycka den allmänna formeln för det centrerade -gonala talet [38] : $n$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstil C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\prickar }

(OCF)

Genereringsfunktionen för centrerade polygonala tal har formen [39] :

{\textstil f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Varianter av centrerade polygonala tal

Centrerade triangulära tal

$n$ Det centrerade triangulära talet i ordningen ges av formeln:

{\textstil C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Konsekvens (för ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

De första elementen i sekvensen av centrerade triangulära tal är:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571..., ( 544 sekvens A 0 ).

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Vissa fastigheter [40]

Varje centrerat triangulärt tal, som börjar på 10, är summan av tre på varandra följande klassiska triangulära tal: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Det kan ses från konsekvensen av den allmänna formeln att varje centrerat triangulärt tal , när det divideras med 3, ger en återstod av 1, och kvoten (om den är positiv) är det klassiska triangulära talet . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\displaystyle T_{n-1))$
Vissa centrerade triangulära tal är primtal [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … (sekvens A125602 i OEIS ).

Centrerade kvadrattal

ett		5		13		25

$n$ Det centrerade 4-vinklade (kvadrat) talet i ordningen ges av formeln:

{\textstil C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \över 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

De första elementen i sekvensen av centrerade kvadrattal är:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761..., ( OEIS sekvens A 0 ).

n^{2}+(n-1)^{2}\dots

Vissa fastigheter [41]

Som kan ses från den allmänna formeln är ett centrerat kvadrattal summan av två på varandra följande kvadrater.
Alla centrerade kvadrattal är udda, och den sista siffran i deras decimalrepresentation ändras i en cykel: 1-5-3-5-1.
Alla centrerade kvadrattal och deras divisorer lämnar en rest av 1 när de divideras med 4, och när de divideras med 6, 8 eller 12 ger en rest av 1 eller 5.
Alla centrerade kvadrattal utom 1 representerar längden på hypotenusan i en av Pythagoras trippel (t.ex. 3-4-5, 5-12-13). Således är varje centrerat kvadrattal lika med antalet punkter inom ett givet avstånd, i block, från mittpunkten på kvadratrutnätet.
Skillnaden mellan två på varandra följande klassiska åttakantiga tal är ett centrerat kvadrattal.
Vissa centrerade kvadrattal är primtal (som visas ovan är de klassiska kvadrattalen, med början från den tredje i ordningen, uppenbarligen sammansatta). Exempel på enkla centrerade kvadrattal:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301 , 1741, 1861, 2113 , 2381 . Centrerade femkantiga tal

$n$ Det centrerade femkantiga talet i ordningen ges av formeln:

{\textstil C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Flera första centrerade femkantiga siffror:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 …, … ( 08IS sekvens 1 )

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Pariteten för centrerade femkantiga tal ändras enligt regeln: jämn-jämn-udda-udda, och den sista decimalsiffran ändras i en cykel: 6-6-1-1.

Vissa centrerade femkantiga tal är primtal [10] : 31, 181, 331, 391, 601 . . . (sekvens A145838 i OEIS ).

Centrerade hexagonala tal

$n$ Det centrerade hexagonala talet i ordningen ges av formeln:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Flera första centrerade hexagonala tal:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (sekvens A003215 i OEIS ).

1+3n(n-1)

Vissa fastigheter [42]

Den sista decimalen för centrerade hexagonala tal ändras i en 1-7-9-7-1 cykel.
Summan av de första n centrerade hexagonala talen är lika med " kubiktalet " . $n^3$
Den rekursiva jämlikheten är sann: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Vissa centrerade hexagonala tal är primtal [10] : 7, 19, 37, 61, 127... (sekvens A002407 i OEIS ).

Centrerade heptagonala tal

$n$ Det centrerade halvkantstalet i ordningen ges av formeln . Det kan också beräknas genom att multiplicera ett triangulärt tal med 7, lägga till 1. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Flera första centrerade heptagonala nummer:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (sekvens A069099 i OEIS ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

Pariteten för centrerade heptagonala tal ändras i cykeln med udda-jämn-jämn-udda.

Vissa centrerade heptagonala tal är primtal [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697... ( OEIS -sekvens A144974 ).

Det finns också centrerade heptagonala tal som ingår i par av tvillingprimtal :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651... ( OEIS -sekvens A144975 ). Centrerade åttakantiga tal

$n$ Det centrerade åttkantiga talet i ordningen ges av . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Flera första centrerade åttakantiga nummer:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Vissa fastigheter [43]

Alla centrerade åttakantiga tal är udda, och deras sista decimalsiffra ändras i en cykel av 1-9-5-9-1.
Det centrerade åttakantiga talet är detsamma som det klassiska udda kvadrattalet: Med andra ord är ett udda tal ett centrerat åttakantigt tal om och bara om det är kvadraten på ett heltal. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Det följer av föregående egenskap att alla centrerade åttakantiga tal utom 1 är sammansatta.

Centrerade icke-hexagonala tal

$n$ Det centrerade niovinklade talet i ordningen bestäms av den allmänna formeln . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

Genom att multiplicera det -:e triangulära talet med 9 och lägga till 1 får vi det -:e centrerade hexagonala talet, men det finns också ett enklare samband med triangulära tal - vart tredje triangulärt tal (1:a, 4:e, 7:e, etc.) är också ett centrerat icke-agonalt tal, och på detta sätt kan alla centrerade icke-vinkeltal erhållas. Formell notation: . $(n-1)$ $n$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

Första centrerade niovinklade siffror:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946... ( OEIS -sekvens A060544 ).

Med undantag för 6 är alla jämna perfekta tal också centrerade hexagonala tal. År 1850 föreslog amatörmatematikern Frederick Pollock , vilket ännu inte har bevisats eller vederlagts, att ett naturligt tal är summan av maximalt elva centrerade nio-gonala tal [44] .

Det följer av den allmänna formeln att alla centrerade niovinklade tal, förutom 1, är sammansatta.

Centrerade dekagonala tal

$n$ Det centrerade dekagonala talet i ordningen ges av formeln . $5(n^{2}-n)+1$

De första representanterna för centrerade dekagonala tal:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051... ( OEIS -sekvens A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Liksom andra k -gonala tal kan det -th centrerade dekagonala talet beräknas genom att multiplicera det -th triangulära talet med , i vårt fall 10, och sedan lägga till 1. Som en konsekvens kan centrerade dekagonala tal erhållas helt enkelt genom att addera 1 till talets decimalrepresentation. Således är alla centrerade dekagonala tal udda och slutar alltid på 1 i decimalrepresentation. $n$ $(n-1)$ $k$

Några av de centrerade dekagonala talen är primtal, till exempel:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901 , 2311 , 2531 .

Polygonala tal, både klassiska och centrerade

Vissa centrerade polygonala tal sammanfaller med de klassiska, till exempel: ; För korthetens skull kommer vi att kalla sådana polygonala tal för dubbla . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Dubbla nummer med en gemensam parameter (antal hörn): identiteten [45] gäller :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Dubbla triangulära tal med olika Exempel: (sekvens A128862 i OEIS ). För att hitta dem måste du lösa den diofantiska ekvationen :

k.

1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\dots

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

sedan . Några lösningar:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\dots

(sekvens A133161 i OEIS ), respektive:

n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\dots

(sekvens A102871 i OEIS ). 3. Klassiska kvadrattal som är centrerade triangulära tal. De bestäms av den diofantiska ekvationen:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Sedan .

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Lösningar:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots

(sekvens A129445 i OEIS ).

n=1,2,7,16,65\dots

De första siffrorna är:

1,\;4,\;64,\;361,\;6241\dots

4. Klassiska triangulära, som är centrerade hexagonala tal. De första sådana numren är: (sekvens A006244 i OEIS ). De bestäms av den diofantiska ekvationen:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Sedan .

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Lösningar:

m=1,13,133,1321,13081\dots

(sekvens A031138 i OEIS );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\dots

(sekvens A087125, i OEIS ). 5. Klassiska kvadrattal som är centrerade hexagonala tal. De första sådana numren är: (sekvens A006051 i OEIS ). De bestäms av den diofantiska ekvationen:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Sedan .

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Lösningar:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\dots

(sekvens A001570 i OEIS );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\dots

(sekvens A001921, i OEIS ).

Rumsliga figurativa tal

Tillsammans med de figurativa siffrorna som betraktas ovan för plana figurer, kan man definiera deras rumsliga eller till och med flerdimensionella analoger. Redan forntida matematiker studerade tetraedriska och fyrkantiga pyramidal tal. Det är lätt att bestämma siffrorna för pyramider , som är baserade på vilken annan polygon som helst, till exempel:

Pentagonalt pyramidnummer .
Hexagonalt pyramidnummer .
Heptagonalt pyramidnummer .

Andra varianter av rumsliga figurativa nummer är förknippade med klassiska polyedrar .

Pyramidnummer

Pyramidal siffror definieras enligt följande:

$n$ Det th i ordningens k -gonala pyramidtalet är summan av de första platta figurativa talen med samma antal vinklar : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ prickar +P_{n}^{(k)}

Geometriskt kan ett pyramidtal representeras som en pyramid av lager (se figur), som vart och ett innehåller från 1 (övre lagret) till (nedre) kulor. ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Genom induktion är det inte svårt att bevisa den allmänna formeln för pyramidtalet, som redan var känd för Arkimedes [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Den högra sidan av denna formel kan också uttryckas i form av platta polygonala tal:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Det finns en tredimensionell analog till Nicomachus formel för pyramidal tal [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

Den genererande funktionen av pyramidal tal har formen [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Triangulära pyramidformiga (tetraedriska) tal

Triangulära pyramidala tal, även kallade tetraedriska tal, är figurativa tal som representerar en tetraeder , det vill säga en pyramid, vid vars bas ligger en triangel. Enligt ovanstående allmänna definition av pyramidal tal definieras e-ordningen för det tetraedriska numret som summan av de första triangulära talen : $n-$ $n$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\dots +T_{n))

Allmän formel för tetraedriskt nummer: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

De första tetraedriska talen:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969... ( OEIS -sekvens A000292 ).

Intressant nog är det femte talet lika med summan av alla föregående.

Det finns en tredimensionell analog till Basche de Meziriac-formeln , nämligen expansionen av ett godtyckligt pyramidal tal i tetraedriska [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Fem tetraedriska tal är triangulära samtidigt (sekvens A027568 i OEIS ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Endast tre tetraedriska tal är kvadrattal (sekvens A003556 i OEIS ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

En av Pollocks "gissningar " (1850): varje naturligt tal kan representeras som summan av högst fem tetraedriska tal. Det har ännu inte bevisats, även om det har testats för alla siffror mindre än 10 miljarder [49] [50] .

Fyrkantiga pyramidal tal

Kvadratiska pyramidal tal kallas ofta kortfattat som helt enkelt pyramidal siffror. För dem har pyramiden en kvadratisk bas. Startsekvens:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819... ( OEIS -sekvens A000330 ).

Den allmänna formeln för ett kvadratiskt pyramidtal är: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

Det kvadratiska pyramidtalet uttrycker också det totala antalet kvadrater [51] i ett kvadratiskt rutnät . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)))$ $n\ gånger n$

Det finns följande samband mellan kvadratiska och triangulära pyramidal tal [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Det noterades ovan att summan av successiva triangulära tal är ett kvadrattal; på samma sätt är summan av på varandra följande tetraedriska nummer ett kvadratiskt pyramidalt tal [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Polyedriska tal

I analogi med kvadrattal kan du ange "kubiska tal" såväl som siffror som motsvarar andra regelbundna och oregelbundna polyedrar - till exempel platonska solider : $Q_{n}=n^{3},$

Centrerade alternativ finns också.

Kubiktal

Kubiktal är produkten av tre identiska naturliga tal och har en allmän form initiala värden: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (sekvens A000578 i OEIS ).

Kubiktalet kan uttryckas som skillnaden mellan kvadraterna av successiva triangulära tal [53] :

{\displaystyle Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2))

, .

n\geqslant 2

Följd: summan av de första kubiktalen är lika med kvadraten på det trekantiga talet: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\dots +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Skillnaden mellan två angränsande kubiktal är ett centrerat hexagonalt tal. Följd: summan av de första centrerade hexagonala talen är ett kubiktal [53] . $n$ $Q_{n}$

Uttryck av kubiktalet i termer av tetraedrisk [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, var .

n > 2

En av " Pollocks gissningar " (1850): varje naturligt tal kan representeras som summan av högst nio kubiktal. Beprövad i början av 1900-talet. Vanligtvis räcker det med sju kuber, men 15 nummer kräver åtta (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, sekvens A018IS , 9 i två siffror alla nio behövs: 23 och 239. Om, förutom addition, subtraktion tillåts, räcker det med fem kuber (möjligen till och med fyra, men detta har ännu inte bevisats) [54] .

Den genererande funktionen av kubiktal har formen [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Oktaedriska nummer Dodekaedriska nummer Icosaedriska nummer

Multidimensionella generaliseringar

De tredimensionella strukturerna som beskrivs ovan kan generaliseras till fyra eller flera dimensioner. En analog av tetraedriska tal i det dimensionella rummet är " simplexa tal", även kallade hypertetraedriska [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Deras speciella fall är:

$S_{n}^{[2]}$ är triangulära tal .
$S_{n}^{[3]}$ är tetraedriska tal .
$S_{n}^{[4]}$ är pentatopnummer .

Andra varianter av flerdimensionella tal är hyperkubiska : . Fyrdimensionella hyperkubiska tal kallas bi -kvadrat [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ $(d=4)$

Siffror från mer än en sort

Vissa figurativa tal kan tillhöra mer än en sorts platta och/eller flerdimensionella tal, exempel på platta tal har redan givits ovan . För flerdimensionella tal är detta en ganska sällsynt situation [56] .

Fem nummer (och bara de) är både triangulära och tetraedriska (sekvens A027568 i OEIS ). $1,10,120,1540,7140$
De fyra talen är både triangulära och fyrkantiga pyramidformade (sekvens A039596 i OEIS ). $1,55,91,208335$
Tre nummer är både platt kvadratisk och tetraedrisk (sekvens A003556 i OEIS ). $1,4,19600$
Två tal är samtidigt kvadratiska platta och kvadratiska pyramidformade. Detta uttalande blev känt som " Luc 's hypotes " eller " kanonkulproblemet " (1875). Den kompletta lösningen gavs 1918 av George Neville Watson [57] . $1.4900$

Inget naturligt tal, förutom 1, kan samtidigt vara [58] [56] :

triangulär och kubisk;
triangulär och bikvadrisk [59] ;
triangulär och femte potensen av ett heltal [58] ;
centrerad sexkantig och kubisk.

År 1988 bevisade F. Bakers och J. Top att inget annat tal än 1 kan vara både tetraedriskt och fyrkantigt pyramidformigt [60] . Det har också bevisats att det inte finns några siffror som samtidigt [56] :

tetraedrisk och kubisk;
fyrkantig pyramidformad och kubisk;
tetraedrisk och biquadratisk;
fyrkantig pyramidformad och bi-kvadrat.

Arkaiska typer av lockiga siffror

I forntida tider, när aritmetik inte skiljdes från geometri, urskiljde pytagoreerna (500-talet f.Kr.) flera fler typer av figurativa tal [61] .

Linjära tal är tal "enbart mätta med en enhet", det vill säga i modern terminologi, primtal (Euklid använder termen " första talen ", andra grekiska πρώτοι αριθμοί ).
Platta (eller platta) tal är tal som kan representeras som en produkt av två faktorer större än en, det vill säga sammansatta .
- Ett specialfall är rektangulära tal (ibland kallade " avlånga " i källorna ), som är produkten av två på varandra följande heltal [62] , det vill säga har formen $n(n+1),n\geqslant 0.$
Fasta tal är tal som kan representeras som en produkt av tre faktorer större än en.

Euklides kommentator D. D. Mordukhai-Boltovskoy förklarar [63] :

Termerna "plan" och "solid" tal är troligen en kvarleva från en tidigare period av matematiskt tänkande, då tal och geometrisk bild var ännu närmare sammankopplade, när produkten av antalet objekt med ett abstrakt tal ansågs vara arrangemang av dessa objekt i rader av objekt i varje, med fyllning i rektangelns område. Detsamma bör sägas om produkten av tre tal, som enligt euklidisk terminologi är ett fast tal. $a$ $b$ $b$ $a$

För närvarande klassificeras inte primtal som figurativa, och termerna "platt tal" och "fast tal" har fallit ur bruk [63] .

Roll i talteorin

Pascals triangel

Siffror från Pascals triangel visar ett samband med många varianter av lockiga siffror.

På den tredje raden i Pascals triangel finns triangulära tal, och på den fjärde - tetraedriska tal (se figur). Detta beror på att det -te tetraedriska talet är summan av de första triangulära talen, som finns på den tredje raden. På samma sätt är fyrdimensionella pentatopnummer placerade på den femte linjen , etc. Alla av dem, liksom andra tal inuti Pascals triangel, är binomialkoefficienter . $n$ $n$

Således är alla de interna elementen i Pascals triangel figurativa siffror, och deras olika varianter är representerade. Längs varje linje, från vänster till höger, finns hypertetraedriska antal med ökande dimensioner. Det är känt att summan av alla tal i den th raden är lika , därför följer att summan av alla siffror i de första raden är lika med Mersenne-talet . Därför kan Mersenne-talet representeras som summan av hypertetraedriska tal. [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Andra användningsområden

Många satser inom talteorin kan formuleras i termer av krulliga tal. Till exempel säger den katalanska gissningen att bland hyperkubiska antal godtyckliga dimensioner skiljer sig endast ett par med 1: (bevisat 2002) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Varje jämnt perfekt tal är triangulärt [66] (och samtidigt hexagonalt, och det hexagonala talets tal är en potens av två). Ett sådant tal kan inte samtidigt vara ett kvadrat, kubiskt eller annat hyperkubiskt tal [67] .

Legendres gissning (1808, även känd som Edmund Landaus tredje problem ): det finns alltid ett primtal mellan på varandra följande kvadrattal . Fortfarande inte bevisat.

Summan av de första centrerade triangulära talen är den "magiska konstanten" för den magiska kvadraten av dimension . Andra sätt att få samma konstant är genom ett triangulärt tal , eller genom att lägga till alla naturliga tal från till inklusive [68] . $n$ $(n>2)$ $n\ gånger n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ ${\displaystyle T_{n-1))$ $T_{n}$

Ett mersennetal större än 1 kan inte vara kvadratiskt, kubiskt eller på annat sätt hyperkubiskt, men det kan vara triangulärt. Det finns bara fyra triangulära Mersenne-tal: , deras sökning motsvarar att lösa Ramanujan-Nagel-ekvationen i naturliga tal : . Som det visar sig finns lösningen på denna ekvation endast för (sekvens A060728 i OEIS ), och för , kommer motsvarande Mersenne-tal då att vara triangulärt [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ ${\displaystyle M_{n-3))$

Fermatnumret kan inte heller vara kvadratiskt, kubiskt eller på annat sätt hyperkubiskt, men i det enda fallet kan det vara triangulärt: . Fermat-numret kan inte heller vara tetraedriskt och hypertetraedriskt av någon dimension över 2 [64] . $F_{0}=3$

Bland Fibonacci-talen finns det bara tre kvadrattal (0, 1 och 144) och fyra triangulära (1, 3, 21, 55, OEIS -sekvens A039595 ). Om du roterar Pascals triangel som visas i figuren, så kan Fibonacci-talen erhållas som summor längs de stigande diagonalerna; detta faktum ger expansionen av Fibonacci-talet i termer av hypertetraedriska antal [69] .

Bland Lucas -talen finns två kvadrattal (1 och 4), och tre triangulära (1, 3, 5778) [69] .

Katalanska tal uttrycks i termer av hypertetraedriska tal enligt följande [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

En annan klass av nummer som är nära besläktad med lockiga nummer är Stirlingnummer av det andra slaget . Den här klassen inkluderar alla triangulära tal: , och uttrycket är lika med det andra i ordningens dimensionella hyperkubiska talet . Slutligen kan varje dimensionellt hyperkubiskt tal utökas på följande sätt [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\summa _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\dots (n-m+1)))

Anteckningar

↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 9.
↑ Matematikens historia. Från antiken till början av den nya tiden // Mathematics historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 sid.
↑ Lockiga siffror // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 607 . — 847 sid.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. tio.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Vad är talteori. - M . : Kunskap, 1970. - S. 56-57.
↑ Aritmetikserie // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - V. 1. Arkivexemplar daterad 13 november 2013 på Wayback Machine
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. femton.
↑ Bakom sidorna i en lärobok i matematik, 1996 , sid. femtio.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Summor av potenserna av reciproka av polygonala tal (formel 23)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. fjorton.
↑ Diophantus av Alexandria . Aritmetik och boken med månghörniga tal / Per. I. N. Veselovsky; Ed. och kommentera. I. G. Bashmakova. - M. : Nauka, 1974. - S. 48. - 328 sid. Arkiverad 24 april 2007 på Wayback Machine
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. Läran om antal i det medeltida Nära och Mellanöstern. - Tasjkent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 sid. Trots titeln spårar boken talbegreppets historia sedan de äldsta tiderna.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Populär kombinatorik . - M . : Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 sid. Arkiverad 5 juni 2016 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. tio.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , sid. 27.
↑ Weisstein, Eric W. Telescoping Sum på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Dickson, 2005 , sid. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 19.
↑ 12 Dickson , 2005 , sid. 2.
↑ Några ändliga nummerserier . Math24.ru . Hämtad 14 juni 2019. Arkiverad från originalet 14 juni 2019. (ryska)
↑ Kokhas K. P. Summan av inversa kvadrater // Matematisk utbildning. - 2004. - Utgåva. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Partitionering av nummer. : [ arch. 9 augusti 2019 ] // Kvant magazine. - 1988. - Nr 11.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 37-38.
↑ Ja, låt (alla tal är heltal) vara ett heltal , och , är coprime. Om vi multiplicerar båda sidor med , får vi: . Till höger finns ett heltal, därför delar det , och enligt det generaliserade Euklides lemma delar det . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ ${\displaystyle bn_{1))$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Bortom Basel-problemet: Summor av ömsesidiga siffror arkiverade 29 december 2019 på Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 46.
↑ Dickson, 2005 , sid. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 239.
↑ Frederick Pollock. Om utvidgningen av principen för Fermats sats om de polygonala talen ultimat till den högre ordningen av serier vars skillnader är konstanta. Med en ny sats föreslagen, tillämplig på alla beställningar // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London: journal. - 1850. - Vol. 5 . - P. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematik och schack // The Arithmetic Teacher. - 1974. - Vol. 21, nr. 5 (maj). - S. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 77-78.
↑ Watson GN Problemet med den fyrkantiga pyramiden // Messenger. Matematik. 1918 vol. 48. S. 1-16.
↑ 1 2 Pingvinordboken över nyfikna och intressanta siffror . Hämtad: 9 mars 2021.
↑ Dickson, 2005 , sid. åtta.
↑ Beukers F., Top J. Om apelsiner och integrerade punkter på vissa plana kubiska kurvor // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - Vol. 6, nr. 3. - S. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. Utvecklingen av begreppet vetenskap (bildandet och utvecklingen av de första vetenskapliga programmen) Arkivexemplar av 19 augusti 2014 på Wayback Machine , kapitel 1. M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volym 1 : [ arch. 11 november 2021 ]. - Springer-Verlag, 2009. - S. 161. - (Springer-referens). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Början av Euclid / Översättning från grekiska och kommentarer av D. D. Mordukhai-Boltovsky med redaktionellt deltagande av M. Ya. Vygodsky och I. N. Veselovsky. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (Klassiker inom naturvetenskap).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 196-197.
↑ Bakom sidorna i en lärobok i matematik, 1996 , sid. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , sid. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , sid. 214-215.

Litteratur

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Bakom sidorna i en lärobok i matematik: Aritmetik. Algebra. Geometri . - M . : Utbildning, 1996. - S. 48 -52. — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematikens historia i skolan (årskurs 4-6). - M . : Utbildning, 1964. - S. 84-86. — 376 sid.
Deza E. Specialnummer för den naturliga serien: Lärobok .. - M . : Bokhuset "LIBROKOM", 2011. - 240 sid. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Aritmetikens historia. En guide för lärare . - Ed. andra. - M . : Utbildning, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Anteckningar om polygonala tal i Eulers anteckningsböcker // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1983. - Nr 27 . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Pythagoras trianglar. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 sid.
Stillwell D. Kapitel 3. Grekisk talteori // Matematik och dess historia. - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004.
Dickson LE Polygonal. pyramid- och figurtal //Talteorin Historia . - New York: Dover, 2005. - Vol. 2: Diofantinanalys. - S. 22-23.

Länkar

Lockiga siffror . OSNOVA Publishing Group. Tillträdesdatum: 10 februari 2021. (ryska)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 7532594-9

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad