Digamma funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 december 2015; kontroller kräver 4 redigeringar .

I matematik definieras digammafunktionen som den logaritmiska derivatan av gammafunktionen : ${\textstyle {\psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Det är en polygammafunktion av första ordningen, och polygammafunktioner av högre ordning ( trigammafunktion , etc.) erhålls från den genom differentiering.

Egenskaper

Digammafunktionen är relaterad till övertonstal genom sambandet $\displaystyle {\psi (n)=H_{{n-1}}-\gamma },$

där är det n :te övertonstalet och är Euler-Mascheroni-konstanten .

{\textstyle {H_{n))}

{\textstil {\gamma ))

Tilläggsformel ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatörsnamn {ctg} (\pi x)))$
Återkommande relation $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}$
Nedbrytning till en oändlig summa $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

var är Riemanns zeta-funktion .

\zeta (x)

Logaritmisk expansion $\psi (x)=\summa _{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\summa _{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom {n}{k}}\ln(x+k)$
Gauss teorem ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\operatörsnamn {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\summa _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

för heltal med villkoret .

p,q

0<p<q

För alla är expansioner i en serie giltiga: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Länkar

Weisstein, Eric W. Digamma Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Egenskaper för digammafunktionen