Polygamma funktion

En polygammafunktion av ordningen m i matematik definieras som ( m + 1):e derivatan av gammafunktionens naturliga logaritm ,

\psi ^{{(m)}}(z)={\frac {({\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\ psi (z)={\frac {{{\rm {d}}}^{{m+1}}}{{{\rm {d}}}z^{{m+1}}}}\ln \gamma (z)\;,

var är gammafunktionen , och $\Gamma(z)$

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)))

är en digammafunktion [1] , som också kan definieras i termer av summan av följande serier:

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\sum \limits _{{k=0}}^({\infty }}\left({\frac { 1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,

var är Euler-Mascheroni-konstanten . Denna representation är giltig för alla komplex (vid de angivna punkterna har funktionen singulariteter av första ordningen) [2] . ${\textstil {\gamma ))$ $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi (z)))$

Polygammafunktionen kan också definieras i termer av summan av serien

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\sum \limits _{{k=0}}^{\infty }\ displaystil {{\frac {1}{(z+k)^{{m+1))))}\;,\qquad m>0\;,

som erhålls från representationen för digammafunktionen genom differentiering med avseende på z [1] . Denna representation är också giltig för alla komplexa (vid de angivna punkterna har funktionen singulariteter av ordning ( m + 1)). Det kan skrivas i termer av Hurwitz zeta-funktionen [1] , $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.

I denna mening kan Hurwitz zeta-funktionen användas för att generalisera polygammafunktionen till fallet med en godtycklig (icke-heltals) ordning m .

Observera att det i litteraturen ibland betecknas som eller primeras för derivator med avseende på z indikeras ibland . Funktionen kallas trigammafunktionen , tetragammafunktionen, pentagammafunktionen, hexagammafunktionen, etc. ${\textstyle {\psi ^{{(m)))(z)))$ ${\textstyle {\psi _{{m}}(z)))$ ${\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{{(1)))(z)))$ ${\textstil {\psi ''(z)=\psi ^{{(2)))(z)))$ ${\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{{(3)}}(z)))$ ${\textstil {\psi ''''(z)=\psi ^{{(4)))(z)))$

Integral representation

Polygammafunktionen kan representeras som

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m+1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{{ -zt}}}{1-e^{{-t}}}}{{\rm {d}}}t

Denna representation är giltig för Re z >0 och m > 0 . För m =0 (för digammafunktionen ) kan integralrepresentationen skrivas som

\psi (z)=\psi ^{{(0)}}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{{-t}}-e^ {{-zt))}{1-e^{{-t)))){{\rm {d))}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1 -t^{{z-1}}}{1-t}}{{\rm {d}}}t\;,

var är Euler-Mascheroni-konstanten . ${\textstil {\gamma ))$

Asymptotiska expansioner

För ( ) är följande expansion med Bernoulli-tal giltig : $z\to\infty\;$ $\;|\operatörsnamn {arg}\;{z}|<\pi$

\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{{m-1}}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{ \frac {m!}{2z^{{m+1))))+\sum _{{k=1}}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{ {2k}}}{(2k)!\;z^{{2k+m}}}}\höger]

Taylor -seriens expansion nära argumentet lika med ett har formen

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\summa _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{m+k+1}}(m+k) !\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,

där ζ betecknar Riemanns zeta-funktion . Denna serie konvergerar för | z | < 1, och det kan erhållas från motsvarande serie för Hurwitz zeta-funktionen .

Privata värden

Värdena för polygammafunktionen vid heltals- och halvheltalsvärden för argumentet uttrycks i termer av Riemann zeta-funktionen ,

\psi ^{{(m)}}(1)=(-1)^{{m+1}}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0

\psi ^{{(m)}}({\tfrac 12})=(-1)^{{m+1}}m!\;(2^{{m+1}}-1)\;\ zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,

och för digammafunktionen (för m = 0) -

\psi (1)=\psi ^{{(0)}}(1)=-\gamma \;,

\psi ({\tfrac 12})=\psi ^{{(0)))({\tfrac 12})=-\gamma -2\ln {2}\;,

var är Euler-Mascheroni-konstanten [1] . ${\textstil {\gamma ))$

För att få värdena för polygammafunktionen för andra heltals (positiva) och halvheltalsvärden i argumentet, kan du använda upprepningsrelationen nedan.

Andra formler

Polygammafunktionen uppfyller den återkommande relationen [1]

\psi ^{{(m)}}(z+1)=\psi ^{{(m)}}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^ {{m+1}}}}\;,

samt komplementformeln [1]

\psi ^{{(m)}}(1-z)+(-1)^{{m+1}}\;\psi ^{{(m)}}(z)=(-1)^{ m}\pi ​​​​{\frac {{{\rm {d}}}^{m}}{({\rm {d}}}z^{m}}}\cot(\pi z)\; .

Polygammafunktionen för ett multipelargument har följande egenskap [1] :

\psi ^{{(m)}}(kz)={\frac {1}{k^{{m+1}}}}\summa _{{n=0}}^{{k-1}} \psi ^{{(m)}}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0

och för digammafunktionen ( ) är det nödvändigt att lägga till ln k [1] till höger , $m=0$

\psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi \left(z+{\frac { n}{k}}\höger).

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
↑ Eric W. Weisstein. Digamma Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .

Länkar

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Polygammafunktioner // Handbook of Mathematical Functions (engelska) . - New York: Dover Publications , 1964. - ISBN 0-486-61272-4 .
Weisstein, Eric W. Polygamma Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .