Återkommande formel

En återkommande formel är en formel av den form som uttrycker varje medlem av sekvensen i termer av föregående medlemmar och numret på medlemmen i sekvensen . $a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{np})$ $en$ $sid$ $n$

Det allmänna problemet med beräkningar med rekursiva formler är föremål för teorin om rekursiva funktioner .

En återkommande ekvation är en ekvation som förbinder flera på varandra följande medlemmar av en viss numerisk sekvens. En sekvens som uppfyller en sådan ekvation kallas en återkommande sekvens .

Exempel

Faktorialfunktionen för ett naturligt tal uppfyller den återkommande formeln: $n!={\begin{cases}1,&n=0;\\(n-1)!\cdot n,&n\geqslant 1.\end{cases))$

Fibonacci-tal ges av den linjära återkommande formeln : $F_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant 2.\ slut{cases}}$

Värdet på integralen uppfyller den återkommande formeln: $\textstyle I_{n}=\int \sin ^{n}x\,dx$ $I_{n}={\frac {-\cos x\cdot \sin ^{n-1}x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2 }.$

Lösningen till Bessel differentialekvation kan skrivas som en potensserie : $y''+(1/x)y'+(1-\nu ^{2}/x^{2})y=0$ $y=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{2n+\nu }.$

För att bestämma koefficienterna räcker det att fastställa det för alla . Därefter erhålls det välkända resultatet omedelbart:

en

4n(n+\nu )a_{n}+a_{n-2}=0

n\geq 1

a_{n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{2^{2^{n}}n!(1+\nu )(2+\nu )\ cdots (n+\nu )}}.

Sidolängd vid dubblering av antalet sidor av en inskriven vanlig n -gon : $a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-2R{\sqrt {R^{2}-{\frac {a_{n}^{2}}{4}}}}}} ,\qquad n\geq 2,$

var är radien för den omskrivna cirkeln .

R

Linjära återkommande ekvationer

En linjär återkommande ekvation med konstanta koefficienter har formen:

f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=\varphi (n).

Här är icke-negativa heltal, är en talföljd, är konstanta tal, , är en given funktion av . $n$ $f_{{n}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$ $\varphi (n)$ $n$

Homogena linjära återkommande ekvationer

Antag att en talföljd uppfyller en homogen linjär återkommande ekvation , där är icke-negativa heltal, ges konstanta tal och . $f_{0},f_{1},\dots$ $f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=0$ $n$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$

Beteckna med sekvensens genererande funktion . Låt oss bygga ett polynom . Detta polynom kan ses som en sekvensgenererande funktion . Betrakta produkten av att generera funktioner . Koefficienten vid och bestäms av relationen och är lika med noll. Detta betyder att polynomet har grad som mest , så graden av täljaren för den rationella funktionen är mindre än graden av nämnaren. $F Z)$ $f_{0},f_{1},\dots$ ${\displaystyle K(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{r}z^{r))$ $1,a_{1},a_{2},\ldots,a_{r},0,0,\dots$ $C(z)=F(z)K(z)$ $c_{{n+r}}$ $z^{{n+r}}$ $n\geq 0$ $c_{n+r}=f_{0}0+\ldots +f_{n-1}0+f_{n}a_{r}+\ldots +f_{n+r}1=f_{n +r}+a_{1}f_{n+r-1}+\ldots +a_{r}f_{n}$ $C(z)$ $r-1$ $F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}$

Det karakteristiska polynomet i en linjär återkommande ekvation kallas ett polynom . Rötterna till detta polynom kallas karakteristiska. Det karakteristiska polynomet kan representeras som , där finns olika karakteristiska rötter, är multipliciteter av karakteristiska rötter, . ${\displaystyle g(z)=z^{r}+a_{1}z^{r-1}+\ldots +a_{r))$ $g(z)=(z-\alpha _{1})^{e_{1}}(z-\alpha _{2})^{e_{2}}\cdots (z-\alpha _ {s})^{e_{s}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s))$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s))$ $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{s}=r$

Det karakteristiska polynomet och polynomet är relaterade av relationen . På det här sättet, $g(z)$ $K(z)$ $K(z)=z^{r}g\left({\frac {1}{z}}\right)$

K(z)=(1-\alpha _{1}z)^{e_{1}}(1-\alpha _{2}z)^{e_{2}}\cdots (1-\ alfa _{s}z)^{e_{s}}.

En rationell funktion kan representeras som summan av bråk:

F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}=\summa _{i=1}^{s}\summa _{k=1}^{e_{i }}{\frac {\beta _{ik}}{(1-\alpha _{i}z)^{k}}}.

Varje bråk i detta uttryck har formen , så det kan expanderas till en potensserie av följande form $\beta (1-\alpha z)^{{-k}}$

\beta (1-\alpha z)^{-k}=\beta \left[1+(-k)(-\alpha z)+\ldots +{\frac {(-k)\cdots ( -k-n+1)}{n!}}(-\alpha z)^{n}+\ldots \right]

Koefficienten för i denna serie är lika med $z^{n}$

{\frac {\beta (n+k-1)\cdots k}{n!)}}\alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{n}}\ alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{k-1}}\alpha ^{n}.

Därför är den genererande funktionen och den allmänna lösningen av den linjära återkommande ekvationen, där är ett polynom i grad som mest . $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{s}p_{i}(n)\alpha _{i}^ {n}\right)z^{n}$ $f_{{n}}=\summa _{{i=1}}^{{s}}p_{{i}}(n)\alpha _{{i}}^{{n}}$ $stift)$ $n$ $e_{{i}}-1$

Exempel

Låt det krävas att hitta en lösning på ekvationen med randvillkor och . $f_{{n+2}}-f_{{n+1}}+f_{{n}}=0$ $f_{{0}}=1$ $f_{{1}}=1$

Denna ekvation har ett karakteristiskt polynom , där , . Den allmänna lösningen har formen . Ersättande får vi , . Vi får värden , . Alltså . $z^{2}-z+1=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ $\alpha _{{1}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{i{\frac {\pi } {3}}}}$ $\alpha _{{2}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{-i{\frac {\pi }{3}}}}$ $f_{{n}}=c_{{1}}\alpha _{{1}}^{{n}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}^{{n}}=c_ {{1}}e^{{{\frac {i\pi n}{3}}}}+c_{{2}}e^{({\frac {-i\pi n}{3}}} }$ $n=0,1$ $c_{{1}}+c_{{2}}=1$ $c_{{1}}\alpha _{{1}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}=1$ $c_{{1}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $c_{{2}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $f_{n}=\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left ({\frac {\pi n}{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)+\left({\frac {1 }{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right) -i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)$

Applikationer

Det finns en formel som uttrycker den allmänna termen för en linjär återkommande sekvens i termer av rötterna till dess karakteristiska polynom. Till exempel, för Fibonacci-sekvensen, är en sådan formel Binets formel . Rekursiva formler används för att beskriva körtiden för en algoritm som rekursivt anropar sig själv. I en sådan formel uttrycks tiden som krävs för att lösa problemet med ingångsvolym i termer av tiden för att lösa hjälpunderuppgifter. [ett] $n$

Se även

Linjär återkommande sekvens
rekursiv funktion
rekursion
Huvudsats om rekursiva relationer (en förenklad lösning av vissa typer av rekursiva relationer som uppstår i analysen av komplexiteten hos rekursiva algoritmer)

Anteckningar

↑ T. Kormen, C. Leizerson, R. Rivest, K. Stein. Algoritmer. Konstruktion och analys = Introduktion till algoritmer / I. Krasikov. - Förlaget "Williams", 2005. - S. 79. - 1296 sid.

Litteratur

Fujisawa T., Kasami T. Matematik för radioingenjörer: teori om diskreta strukturer. - M. , förlag = Radio och kommunikation, 1984. - 240 sid.