Rektangulärt tal

Ett rektangulärt tal är ett tal som är produkten av två på varandra följande heltal [1] , det vill säga det har formen där I vissa källor numrerar denna artikel även tal som börjar från 1, om inte annat anges. $R_{n}=n(n+1),$ $n\geqslant 1..$ $R_{0}=0;$

Värdet på ett rektangulärt tal har en enkel geometrisk betydelse - det är lika med arean av en rektangel med en bredd och höjd. Därför tillskriver många källor rektangulära nummer till klassen av lockiga nummer , särskilt eftersom de är nära besläktade med andra typer av nummer av denna klass [2] . $n+1$ $n.$

Början av en sekvens av rektangulära tal:

2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156 , 182, 210 , 240, 272, 306, 342, 4IS sekvens , …


1×2	2×3	3x4	4×5

Egenskaper

Alla rektangulära siffror är jämna , så alla, förutom talet 2, är sammansatta .

Det aritmetiska medelvärdet av två på varandra följande rektangulära tal är ett kvadrattal :

{\frac {R_{n}+R_{n+1}}{2}}=(n+1)^{2}

Med andra ord, det finns alltid en hel kvadrat mellan på varandra följande rektangulära tal, och bara ett (eftersom ). ${\displaystyle n^{2}<R_{n}<(n+1)^{2}<R_{n+1}<(n+2)^{2))$

$n$ Det rektangulära talet i th ordningen är lika med två gånger det th triangulära talet och större än det th kvadrattalet : $n$ $n$ $n$

R_{n}=2T_{n}=n^{2}+n

Eftersom ett triangulärt tal är dubbelt så stort är ett rektangulärt tal lika med summan av de första jämna talen. $T_{n}=1+2+3+\ldots +n,$ $R_n$ $n$

Från det faktum att på varandra följande heltal är coprime , följer det:

Varje primtal i ett rektangulärt tal kan förekomma i endast en av faktorerna.
Rektangulära tal är kvadratfria om och endast om de både är kvadratfria och $n,$ $n+1.$
Antalet distinkta primtalsdelare av ett rektangulärt tal är summan av antalet distinkta primtalsdelare och $n$ $n+1.$
$\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {n}}\rceil =n.$ Här avrundas Iversons hörn nedåt till närmaste heltal och avrundas uppåt . $\lfloor {x}\rfloor$ $x$ $\lceil {x}\rceil$

Summan är ett kvadrattal där betecknar det -th ordningens centrerade hexagonala tal . ${\displaystyle R_{n}+C_{n+1}^{(6)))$ $(2n+1)^{2},$ ${\displaystyle C_{n+1}^{(6)))$ $(n+1)$

En serie ömsesidiga rektangulära nummer tillhör kategorin teleskopiska serier och konvergerar därför:

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1.

Applikation

Det rektangulära numret anger: $R_n$

antalet off-diagonala element i den kvadratiska matrisen [3] ; $n\ gånger n$
antalet placeringar från element av 2; $n+1$
- i synnerhet antalet kanter som förbinder (olika) hörn av en riktad graf med hörn (till exempel det totala antalet bokstäver som kan skickas till varandra, en i taget, av abonnenten). $(n+1)$ $(n+1)$

Om vi tilldelar 25 till höger om varje rektangulärt tal, inklusive 0, får vi en sekvens av kvadrattal som slutar på 5:

025=5^{2},\ 225=15^{2},\ 625=25^{2},\ 1225=35^{2},\ 2025=45^{2},\ 3025= 55^{2},\ldots

Detta följer av formeln:

(10n+5)^{2}=100n(n+1)+25.

Genererande funktion

Genererande funktion av en sekvens av rektangulära tal [4] :

{\frac {2x}{(1-x)^{3))}=2x+6x^{2}+12x^{3}+20x^{4}+\ldots

Anteckningar

↑ Britannica (online) . Hämtad 12 november 2021. Arkiverad från originalet 12 november 2021. (obestämd)
↑ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volym 1 . - Springer-Verlag, 2009. - S. 161. - (Springer-referens). — ISBN 9783540688310 .
↑ Rummel, Rudolf J. Tillämpad faktoranalys . - Northwestern University Press, 1998. - S. 319. - ISBN 9780810108240 .
↑ Mathworld .

Litteratur

Conway, JH & Guy, R.K. (1996), The Book of Numbers , New York: Copernicus, sid. 33-34 .
Dickson, L.E. (2005), Divisibility and Primality, History of the Theory of Numbers , vol. 1, New York: Dover, sid. 357 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Pronic Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Avlånga nummer på Fun With Num3ers .

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga siffror offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer