Kvadratfritt nummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 juni 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

I matematik är kvadratfritt eller kvadratfritt tal ett tal som inte är delbart med någon kvadrat utom 1. Till exempel är 10 kvadratfritt, men 18 är det inte, eftersom 18 är delbart med 9 = 3 2 . Början av sekvensen av kvadratfria tal är:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... OEIS - sekvens A005117

Ringteorin generaliserar begreppet fyrkantighet enligt följande:

Ett element r i en faktoriell ring R sägs vara kvadratfritt om det inte är delbart med en icke-trivial kvadrat.

Kvadratfria element kan också karakteriseras i termer av deras faktorisering: alla icke-nollelement r kan representeras som en produkt av primelement

{\displaystyle r=\varepsilon p_{1}p_{2}\cdots p_{n))

dessutom är alla primfaktorer pi olika och är någon identitet ( invertibelt element ) hos ringen. $\varepsilon$

Motsvarande egenskap för kvadratfria tal

Ett positivt tal n är fritt från kvadrater om och endast om inget primtal förekommer mer än en gång i faktoriseringen av detta tal till primtalsfaktorer . Ett annat sätt att uttrycka det är: för någon primtal divisor p av n delar p inte n / p . Eller, ett tal n är kvadratfritt om och endast om, för någon faktorisering av det n = ab , faktorerna a och b är coprime .

Ett positivt tal n är kvadratfritt om och endast om , där betecknar Möbius-funktionen . $\mu (n)\neq 0$ $\mu(n)$

Dirichlet-serien , genererar kvadratfria tal:

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}

var är Riemanns zeta-funktion .

\zeta (s)

Detta är direkt uppenbart från Eulers produkt :

{\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{ -s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).

Ett positivt tal n är kvadratfritt om och bara om alla abelska grupper av ordningen n är isomorfa till varandra, vilket är sant om och bara om de alla är cykliska . Detta följer av klassificeringen av ändligt genererade abelska grupper .

Ett positivt tal n är kvadratfritt om och endast om kvotringen (se modulo kongruens ) är en produkt av fält . Detta följer av den kinesiska restsatsen och det faktum att en ring är ett fält om och endast om k är primtal. $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

För varje positivt tal n är mängden av alla dess positiva delare en delvis ordnad mängd , om vi tar "delbarhets"-relationen som ordningen. Denna delvis ordnade uppsättning är alltid ett distributionsnät . Det är en boolesk algebra om och endast om n är kvadratfritt.

Radikalen i ett heltal är alltid fri från kvadrater.

Täthet av kvadratfria tal

Let anger antalet kvadratfria tal mellan 1 och x . För stora n är 3/4 positiva tal mindre än n inte delbara med 4, 8/9 av dessa tal är inte delbara med 9, etc. Eftersom dessa händelser är oberoende får vi formeln: $Q(x)$

{\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}\left(1-{\frac {1}{p^{2))}\right)=x\prod _{p\ {\text{primtal))}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2))})^{-1))))

Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime))}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2))}+{\ frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2} }}}}={\frac {x}{\zeta (2)))

Du kan få formeln utan zeta-funktionen:

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2 }}}+O\left({\sqrt {x}}\right)

(se pi och "O" stor och "o" liten ). Enligt Riemann-hypotesen kan uppskattningen förbättras: [1]

Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)))+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).

Så här beter sig skillnaden mellan antalet kvadratfria tal upp till n på OEIS hemsida: A158819 - (Antal kvadratfria tal ≤ n ) minus rund( n /ζ(2)). $\left[{\frac {n}{\zeta (2)))\right]$

Således ser den asymptotiska tätheten av kvadratfria tal ut så här:

\lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{ \zeta(2)}}

Var är Riemanns zeta-funktion a (det vill säga ungefär 3/5 av alla tal är fria från kvadrater). $\zeta$ $1/\zeta (2)\approx 0,6079$

På liknande sätt, om betyder antalet n -fria tal (det vill säga 3-fria tal innehåller inte kuber) mellan 1 och x , då: $Q(x,n)$

Q(x,n)={\frac {x}{\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n))))}+O\vänster ({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)))+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right ).

Binär kodning

Om vi representerar ett kvadratfritt tal som en oändlig produkt av formen

\prod _{n=0}^{\infty }{p_{n+1}}^{a_{n)),

där , a är det n :te primtalet, då kan vi välja dessa koefficienter och använda dem som binära bitar: $a_{n}\in \{0,1\},$ $p_n$ $en$

\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}\cdot 2^{n}

Till exempel bryts det kvadratfria talet 42 upp som 2 × 3 × 7, eller som en oändlig produkt: 2 1 3 1 5 0 7 1 11 0 13 0 …; Således kodas talet 42 av sekvensen ...001011 eller 11 i decimal. (I binär kodning skrivs bitar omvänt.) Och eftersom primtalsfaktoriseringen för varje tal är unik, är den binära koden för varje kvadratfritt tal också unik.

Det omvända är också sant: eftersom varje positivt tal har en unik binär kod, kan den avkodas för att ge unika kvadratfria tal.

Låt oss ta siffran 42 igen som ett exempel - den här gången bara som ett positivt tal. Då får vi den binära koden 101010 - det betyder: 2 0 3 1 5 0 7 1 11 0 13 1 = 3 × 7 × 13 = 273.

När det gäller kardinaliteter betyder det att kardinaliteten för mängden kvadratfria tal är densamma som kardinaliteten för mängden av alla naturliga tal. Vilket i sin tur innebär att kodningar av kvadratfria tal i ordning är exakt en permutation av mängden naturliga tal.

Se sekvenserna A048672 och A064273 på OEIS hemsida .

Erdős gissning

Den centrala binomialkoefficienten kan inte vara kvadratfri för n > 4. ${2n \choose n}$

Detta Erdős antagande om fyrkantighet bevisades 1996 av matematikerna Olivier Ramare och Andrew Graville.

Se även

Möbius funktion

Litteratur

Bukhshtab A. A. Talteori . - M .: Utbildning, 1966. - 385 sid.

Anteckningar

↑ Jia, Chao Hua. "The distribution of square-free numbers", Science in China Series A: Mathematics 36 :2 (1993), s. 154-169. Citerad i Pappalardi 2003, A Survey on k -freeness Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine ; se även Kaneenika Sinha, " Average orders of certain aritmetical functions Archived 14 February 2012 at the Wayback Machine ", Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21 :3 (2006), s. 267-277.

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga siffror offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer