Central binomial koefficient

Inom matematik definieras den n:e centrala binomialkoefficienten av följande uttryck i termer av binomialkoefficienter

{2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}

för alla .

n\geq 0

De fick sitt namn på grund av att de är exakt i mitten av de jämna raderna i Pascals triangel . De första centrala binomialkoefficienterna skrivs nedan, med start från n = 0:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252, 924, 3432, 12870, 48620, ... OEIS - sekvens A000984

Egenskaper

Genererande funktion :

{\frac {1}{{\sqrt {1-4x))))=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .

Enligt Stirling-formeln får vi:

{2n \choose n}\sim {\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n))))

kl .

n\högerpil\infty

Användbara begränsningar:

{\frac {4^{n}}{{\sqrt {4n}}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {4^{n}}{{\sqrt {3n+1}} }}

för alla

n\geq 1

Om mer precision behövs:

{2n \choose n}={\frac {4^{n}}({\sqrt {\pi n}}}}\left(1-{\frac {c_{n}}{n}}\right)

var för alla .

{\frac {1}{9}}<c_{n}<{\frac {1}{8}}

n\geq 1

Nära besläktade med detta koncept är de så kallade. Katalanska tal , C n . Deras formel:

C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}

för alla .

n\geq 0

Generaliseringen av de centrala binomialkoefficienterna kan betraktas som talen , för alla reella n, för vilka uttrycket är definierat, där är Gamma-funktionen , och detta är Beta-funktionen . ${\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2))}={\frac {1}{n\mathrm{B} (n+1,n)))$ $\gamma (x)$ $\mathrm{B} (x,y)$

Se även

Erdős antagande om fyrkantighet

Central binomial koefficient

Egenskaper

Se även

Länkar