Ett kolossalt överskott

Den stabila versionen kontrollerades den 15 april 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller .

Ett kolossalt rikligt tal ( CA från engelskan  kolossalt rikligt tal ) är ett naturligt tal som i en viss strikt mening har många delare : det finns sådana som för alla :

,

var är funktionen av summan av divisorer [1] . Alla kolossalt överflödiga tal är också superredundanta tal , men det omvända är inte sant.

De första 15 kolossalt överflödiga siffrorna [2] - 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320 , 70s är också högst 6, 70, 320, 601, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 60, 60, 60, 70, 6 , 6

Historik

Kolossalt överskottsnummer studerades först av Ramanujan , och hans resultat skulle inkluderas i hans 1915 papper om det supersammansatta numret [3] . Tyvärr var utgivaren av tidskriften som Ramanujan skickade in sitt arbete till, London Mathematical Society , i ekonomiska svårigheter vid den tiden, och Ramanujan gick med på att ta bort vissa aspekter av arbetet för att minska tryckkostnaderna [4] . Hans slutsatser drevs huvudsakligen av Riemann-hypotesen , och med detta antagande fann han övre och nedre gränser för storleken på kolossalt överflödiga tal och bevisade att det som skulle bli känt som Robins ojämlikhet (se nedan) gäller för alla tillräckligt stora värden av n [5] .

Klassen av siffror reviderades i en något starkare form i ett dokument från 1944 av Leonidas Alaoglu och Pal Erdős , där de försökte utöka Ramanujans resultat [6] .

Egenskaper

De kolossalt överflödiga talen är en av flera klasser av heltal som försöker fånga uppfattningen om att ha flera divisorer. För ett positivt heltal n ger summan av divisorfunktionen σ( n ) summan av alla de tal som delar n , inklusive 1 och n själv . Paul Bachmann visade att σ( n ) i genomsnitt är ungefär π 2 n / 6 [7] . Grönwalls sats säger samtidigt att den maximala ordningen för σ( n ) är något större, i synnerhet finns det en ökande sekvens av heltal n så att, för dessa heltal, σ( n ) är ungefär lika stor som e γ n log (log( n )), där γ är Euler-Mascheroni-konstanten [7] . Därför omfattar kolossalt överflödiga tal tanken att ha flera divisorer genom att kräva att de maximerar, för vissa , värdet av funktionen

för alla värden . Resultaten av Bachmann och Grönwall garanterar att för vilken som helst denna funktion har ett maximum, och att när ε tenderar till noll, kommer dessa maxima att öka. Det finns alltså oändligt många kolossalt överflödiga tal, även om de är ganska sällsynta, och endast 22 av dem är mindre än 10 18 [8] .

För varje ε har ovanstående funktion ett maximum, men det är inte uppenbart, och det är faktiskt inte sant, att för varje ε är detta maximala värde unikt. Alaoglu och Erdős studerade hur många olika värden på n kan ge samma maxvärde för ovanstående funktion för ett givet värde på ε. De visade att för de flesta värden på ε kommer det att finnas ett enda heltal n som maximerar funktionen. Senare visade dock Erdős och Jean-Louis Nicolas att för en viss uppsättning diskreta värden på ε kan det finnas två eller fyra olika värden på n som ger samma maxvärde [9] .

I sin tidning från 1944 föreslog Alaoğlu och Erdős att förhållandet mellan två på varandra följande kolossalt överflödiga tal alltid var ett primtal . De visade att detta följer av ett särskilt fall av de fyra exponentialhypoteserna i transcendental talteorin , i synnerhet att för alla två distinkta primtal p och q är endast reella tal t för vilka både p t och q t är rationella tal positiva heltal. . Med hjälp av motsvarande resultat för tre primtal - ett specialfall av sex exponentialsatsen , som K. L. Siegel bevisade - kunde de visa att kvoten av två på varandra följande kolossalt överflödiga tal alltid är lika med antingen ett primtal eller ett halvprimtal , det vill säga ett tal som består av endast från två primtalsfaktorer . Kvoten kan aldrig vara kvadraten på ett primtal.

Alaoglu och Erdős förmodan förblir öppen, även om den har testats åtminstone upp till 10 7 [10] Om den är sann skulle detta betyda att det finns en sekvens av oskiljbara primtal p 1 , p 2 , p 3 ,... sådan att n - e kolossalt överflödiga nummer hade formen:

Förutsatt att gissningen är korrekt börjar denna sekvens av primtal med 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (sekvens A073751 i OEIS ). Alaoglu och Erdős antagande skulle också innebära att inget värde på ε ger fyra distinkta heltal n som maxima för ovanstående funktion.

Samband med Riemann-hypotesen

På 1980 -talet visade Guy Robin [11] att Riemann-hypotesen är likvärdig med att säga att följande ojämlikhet är sant för alla > 5040: (var är Euler-Mascheroni-konstanten ):

Denna ojämlikhet är känd för att misslyckas för 27 nummer (sekvens A067698 i OEIS ):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 700, 84 2520, 5040

Robin visade att om Riemann-hypotesen är sann, så är = 5040 det sista heltal som det misslyckas för. Ojämlikheten är nu känd som Robins ojämlikhet efter hans arbete. Robins ojämlikhet, om någonsin inte uppfylld, är känd för att misslyckas för det kolossalt överflödiga talet "n"; sålunda är Riemannhypotesen i praktiken ekvivalent med Robins ojämlikhet, som är giltig för varje kolossalt överskjutande tal n > 5040.

2001–2002 demonstrerade Lagarias [ 8] en alternativ form av Robins uttalande som inte kräver undantag, genom att använda ett övertonstal istället för en logaritm :

Eller, förutom 8 undantag från n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

Länkar

  1. ↑ K. Briggs, Excess numbers and the Riemann hypothesis , Experimental Mathematics 15:2 (2006), s. 251–256, doi : 10.1080/10586458.2006.10128957 .
  2. ↑ OEIS - sekvens A004490 _
  3. ^ S. Ramanujan , " Superkomponentnummer ", Proceedings of the London Mathematical Society 14 (1915), s. 347–407, MR : 2280858 .
  4. ↑ S. Ramanujan, Collected Papers , Chelsea , 1962.
  5. ↑ S. Ramanujan, "Superkomponentnummer. Kommenterat med ett förord ​​av J.-L. Nicolas och G. Robin", Ramanujan's Journal 1 (1997), s. 119–153.
  6. ↑ Alaoglu, L. & Erdős, P. (1944), On supercomponent and similar numbers , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 56: 448–469, doi : 10.2307/1990319 , < http://www.renyi.hu /~ p_erdos/1944-03.pdf > Arkiverad 12 november 2017 på Wayback Machine . 
  7. ↑ 1 2 G. Hardy , E. M. Wright, Introduktion till talteori. 5:e upplagan , utg. Oxford University , Oxford , 1979.
  8. ↑ 1 2 J. C. Lagarias, Ett elementärt problem som motsvarar Riemann-hypotesen Arkiverad 10 oktober 2014 på Wayback Machine , American Mathematical Monthly 109 (2002), s. 534–543 .
  9. ↑ P. Erdős, J.-L. Nicolas, "Distribution of overabundant numbers", Bulletin of the French Mathematical Society 103 (1975), s. 65–90.
  10. ↑ N. J. A. Sloan , primtal som, när de multipliceras i ordning, ger en sekvens av kolossalt överflödiga tal Arkiverad 16 april 2021, på Wayback Machine , The Online Encyclopedia of Integer Sequences. Stiftelsen OEIS.
  11. ↑ G. Robin, "Large Values ​​of the Divisor Sum Function and the Riemann Hypothesis", Journal of Pure and Applied Mathematics 63 (1984), s. 187–213.

Externa länkar