Mersenne nummer

Mersennetalet är ett tal av formen , där är ett naturligt tal ; sådana siffror är anmärkningsvärda eftersom vissa av dem är primtal för stora värden på . De är uppkallade efter den franske matematikern Marin Mersenne , som studerade deras egenskaper på 1600-talet. $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $n$

Första Mersenne-numren [1] :

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, …

Egenskaper

För alla gäller följande: om är komposit, så är det också komposit, vilket följer av expansionen: $M_{n}$ $n$ $n=kl,k,l>1$ $M_{n}$

2^{n}-1=2^{kl}-1=(2^{k}-1)(2^{k(l-1)}+2^{k(l-2)} +\dots +1),

Det följer omedelbart av detta: ett tal är primtal endast om talet också är primtal. Det omvända påståendet är inte sant i det allmänna fallet, det minsta motexemplet är . $M_{n}$ $n$ $M_{{11}}=2047=23\cdot 89$

Varje divisor av ett sammansatt tal för ett primtal har formen , där är ett naturligt tal (detta är en följd av Fermats lilla sats ). $M_{p}$ $sid$ $2\cdot p\cdot k+1$ $k$

Mersenneprimtal är nära besläktade med perfekta tal . Euklid visade att ett tal av formen , där Mersennetalet är primtal, är perfekt. Euler bevisade att alla jämna perfekta tal är uttömda av denna formel. (När det gäller udda perfekta siffror är ingenting känt om deras existens förrän nu.) ${\tfrac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $M_{p}$

Mersenne primtal

För alla primtal i formen är exponenten också alltid ett primtal, så mersennetal med en primtalsexponent [ 2] studeras särskilt (i vissa tidningar betraktas endast sådana tal som mersennetal). Sekvensen av Mersenne-primtal börjar så här [3] : $2^{n}-1$ $n$ $M_{p}=2^{p}-1$ $sid$

3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131 071, 524 287, 2 147 483 647 , 2 305 843 009 213 693 951 , 618 970 019 642 690 137 449 562 111 , 162 259 276 829 213 363 39151 578 0 288 128 1227 127 , 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 …

Exponenterna för kända Mersenne-primtal bildar en sekvens [4] [5] : $sid$

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281 , 3217 , 4253 . , 23 209 , 44 497 , 86 243 , 110 503 , 132 049 , 216 091 , 756 839 , 859 433 , 1 257 787 , 1 398 269 , 2 976 221 , 3 021 377 , 6 972 593 , 13 466 917 20 996 011 , 24 036 583 , 25 964 951 , 30 402 457 , 32 582 657 , 37 156 667 , 42 643 801 , 43 112 509 8 , 7 3 112 609 8 , 7 2 609 8 ... 7

Mersenne-nummer fick berömmelse i samband med en effektiv algoritm för att kontrollera enkelheten i Mersenne-nummer - Luc-Lehmer-testet . Därför har Mersenne primtal länge haft ledningen som de största kända primtalen [6] . Mersenneprimtal används också för att konstruera pseudo-slumptalsgeneratorer med stora perioder [7] , såsom Mersennevirveln .

Hitta Mersenne-primtal

Det största kända primtalet (från och med januari 2019) är Mersenne-talet , som hittades den 7 december 2018 av Patrick Laroche som en del av GIMPS frivilliga datorprojekt . Decimalnotationen för ett tal innehåller 24 862 048 siffror [8] . $M_{82589933}=2^{82589933}-1$ $M_{82589933}$

Totalt, i december 2018, är 51 Mersenne-primtal kända, medan serienummer är tillförlitligt etablerade endast för de första 48 [9] talen. I synnerhet är det inte känt om det finns andra Mersenne-primtal mindre än det kända rekordet. Noterbart, den 45:e Mersenne-primen hittades två veckor senare än den 47:e kända Mersenne-primen , medan den 46:e kända Mersenne-primen inte hittades förrän ett år senare. $M_{37156667}$ $M_{{43112609}}$ $M_{42643801}$

2009 fick GIMPS-projektet en utmärkelse på 100 000 $ från Electronic Frontier Foundation för att hitta ett Mersenne-primtal för att hitta ett primtal vars decimalnotation innehåller minst 10 miljoner siffror [10] . $M_{{43112609}}$

Variationer och generaliseringar

Det dubbla Mersenne- talet är ett nummer av formen. Från och med januari 2021 är endast fyra primtal av detta slag kända (för). $M_{M_{n}}=2^{2^{n}-1}-1$ $n=2,3,5,7$

Katalanska-mersennetal är medlemmar av en talföljd som börjar med 2 och byggs genom att tillämpa en funktionpå den föregående medlemmen; första elementen[11]: $2^{n}-1$ $n$

2, 3, 7, 127 , 170141183460469231731687303715884105727 …

Katalanska antog att dessa tal var primtal "upp till en viss gräns."

Det generaliserade Mersenne- numret är ett nummer av formen:

h^{0}+h^{1}+h^{2}+\dots +h^{n-1}={\frac {h^{n}-1}{h-1)) =M_{h,n}

En sådan generalisering beror på vad som kan representeras som summan av de första termerna av en ökande geometrisk progression : $2^{n}-1$ $n$

2^{n}-1=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\dots +2^{n-1}={\frac {2^{n}- 1}{2-1}}

med andra ord, Mersenne-tal är ett specialfall av generaliserade Mersenne-tal för . För vissa värden och generaliserade Mersenne-tal är enkla, till exempel, , , , , , , och ett antal andra. $h=2$ $h$ $n$ $M_{3,3}$ $M_{3,7}$ $M_{3,13}$ $M_{3,71}$ $M_{5,3}$ $M_{5,7}$ $M_{5,47}$

Öppna nummer

Det är inte känt om mängden Mersenne-primtal är ändlig eller oändlig, och tätheten av deras fördelning i mängden naturliga tal är okänd.

Det är inte känt om primtal dubbla Mersenne-tal finns för . $n>7$

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A000225 _
↑ OEIS - sekvens A001348 _
↑ OEIS - sekvens A000668 _
↑ OEIS - sekvens A000043 _
↑ Lista över kända Mersenne- primtal . Bra Internet Mersenne Prime Search . Hämtad: 9 december 2016.
↑ De största kända primtalarna - en sammanfattning . Prime Pages (26 december 2018). Hämtad: 28 december 2018.
↑ R. P. Brent, P. Zimmermann. Slumptalsgeneratorer med period delbar med ett Mersenne-primtal // Lecture Notes in Computer Science. - 2003. - T. 2667 . - S. 1-10 .
↑ Elizabeth Ivtushok. Det största primtalet har ökats med en och en halv miljon tecken . nplus1.ru. Hämtad: 23 december 2018. (ryska)
↑ GIMPS-milstolpar . www.mersenne.org . Hämtad: 5 april 2022. (obestämd)
↑ Spela in 12-miljonersiffriga primtalsnät med $100 000 -pris
↑ OEIS -sekvens A007013 _

Länkar

Weisstein, Eric W. Mersenne Prime (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Mersenne Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Numbers (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Andrey Konyaev . Lättare ingenstans. Hittade en primtal fem romaner lång "Krig och fred" // lenta.ru. — 12 februari 2013.
Mersenne Prime Search Project (GIMPS ) .
Projekt för sökning efter divisorer för dubbla Mersenne-tal MM31, MM61, MM89, MM107, MM127 (eng.) .