Praktiskt nummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett praktiskt tal eller panaritmiskt tal [1] är ett positivt heltal n så att alla mindre positiva heltal kan representeras som summan av olika delare av n . Till exempel är 12 ett praktiskt tal, eftersom alla tal från 1 till 11 kan representeras som summan av divisorerna 1, 2, 3, 4 och 6 i detta tal - förutom själva divisorerna har vi 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 och 11 = 6 + 3 + 2.

Sekvensen av praktiska siffror (sekvens A005153 i OEIS ) börjar med

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Praktiska tal användes av Fibonacci i sin bok Liber Abaci (1202) i samband med problemet med att representera rationella tal som egyptiska bråk . Fibonacci definierade inte formellt praktiska tal, men han gav en tabell över representation av egyptiska bråk för bråk med praktiska nämnare [2] .

Namnet "praktiskt nummer" gavs av Srinivasan [3] . Han observerade att "uppdelningen av pengar, vikt och andra mått med siffror som 4, 12, 16, 20 och 28, som vanligtvis är så obekväma att de förtjänar att ersättas av potenser 10." Han återupptäckte ett antal teoretiska egenskaper hos sådana siffror och var den första som försökte klassificera dessa siffror, medan Stuart [4] och Sierpinski [5] slutförde klassificeringen. Att definiera praktiska tal gör det möjligt att avgöra om ett tal är praktiskt genom att titta på faktoriseringen av ett tal. Varje jämnt perfekt tal och vilken potens av två som helst är ett praktiskt tal.

Det kan visas att praktiska tal liknar primtal i många avseenden [6] .

Beskrivning av praktiska siffror

Srinivasans ursprungliga beskrivning [3] säger att ett praktiskt tal inte kan vara ett otillräckligt tal , det är ett tal vars summa av alla divisorer (inklusive 1 och själva talet) är mindre än dubbelt så många, förutom en brist som är lika med ett. Om vi för ett praktiskt tal skriver ut en ordnad uppsättning divisorer , var och , så kan Srinivasans uttalande uttryckas av ojämlikheten $n$ ${d_{1},d_{2},...,d_{j))$ $d_{1}=1$ $d_{j}=n$

{\displaystyle 2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i))

Med andra ord måste den ordnade sekvensen av alla divisorer av ett praktiskt tal vara en komplett undersekvens . ${d_{1}<d_{2}<...<d_{j))$

Denna definition utökades och kompletterades av Stuart [4] och Sierpinski [5] , som visade att bestämningen av huruvida ett tal är praktiskt bestäms av dess faktorisering till primtalsfaktorer . Ett positivt heltal större än ett med en faktorisering (med stigande primtalsdelare sorterade ) är praktiskt om och endast om var och en av dess primtalare är tillräckligt liten för att ha en representation som summan av mindre divisorer. För att detta ska vara sant måste det första primtalet vara lika med 2, och för varje i från 2 till k , för varje efterföljande primtal måste olikheten gälla $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k))$ $pi}$ $p_{i}-1$ $p_{1}$ $pi}$

p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{ \alpha _{i-1)))=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{ p_{j}-1}},

där betyder summan av divisorerna för talet x . Till exempel är det praktiskt eftersom ojämlikheten gäller för varje primtal divisor: och . $\sigma (x)$ $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ $3\leqslant \sigma (2)+1=4.29\leqslant \sigma (2\ gånger 3^{2})+1=40$ $823\leqslant \sigma (2\ gånger 3^{2}\ gånger 29)+1=1171$

Villkoret ovan är nödvändigt och tillräckligt. I en riktning är detta villkor nödvändigt för att kunna representera n som en summa av divisorer , för om ojämlikheten kränktes skulle lägga till alla mindre divisorer ge en summa som är för liten för att få . I andra riktningen är tillståndet tillräckligt, vilket kan erhållas genom induktion. Mer strikt, om sönderdelningen av talet n uppfyller ovanstående villkor, så kan vilket tal som helst representeras som summan av delaren av talet n efter följande steg [4] [5] : $p_{i}-1$ $p_{i}-1$ $m\leqslant \sigma (n)$

Låt , och låt . $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k))\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))\}$ $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k))$
Med tanke på att det kan visas genom induktion, vilket är praktiskt, kan vi hitta en representation av q som summan av divisorer . $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$
Med tanke på att det kan visas genom induktion, vilket är praktiskt, kan vi hitta en representation av r som summan av divisorer av . $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k))\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))=\sigma (n/ p_{k})$ ${\displaystyle n/p_{k))$ ${\displaystyle n/p_{k))$
Divisorrepresentationen av r , tillsammans med koefficienten för varje divisor av divisorrepresentationen av q , bildar tillsammans representationen av m som summan av divisorerna för n . $p_{k}^{\alpha _{k))$

Egenskaper

Det enda udda praktiska talet är 1, för om n > 2 är ett udda tal, kan 2 inte uttryckas som summan av olika delare av n . Srinivasan [3] noterade att andra praktiska tal än 1 och 2 är delbara med 4 och/eller 6.
Produkten av två praktiska tal är också ett praktiskt tal [7] . Ett starkare uttalande, den minsta gemensamma multipeln av två praktiska tal, är också ett praktiskt tal. På motsvarande sätt stängs mängden av alla praktiska tal under multiplikation.
Det framgår av Stewart och Sierpinskis beskrivning av tal att i det fall där n är ett praktiskt tal och d är en av dess divisorer måste n*d också vara ett praktiskt tal.
I uppsättningen av alla praktiska tal finns en uppsättning praktiska primtal. Ett praktiskt primtal är antingen ett praktiskt och kvadratfritt tal , eller ett praktiskt tal, och när det divideras med någon av dess primtalsdelare, vars exponent i nedbrytningen är större än 1, upphör att vara praktisk. Sekvensen av praktiska primtal (sekvens A267124 i OEIS ) börjar med

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 303, 303, 303, 308, 303, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Relation till andra klasser av nummer

Flera andra anmärkningsvärda uppsättningar av heltal består enbart av praktiska tal:

Från egenskaperna ovan, för ett praktiskt tal n och en av dess divisorer d (det vill säga d | n ), måste n*d också vara ett praktiskt tal, så varje potens av 3 gånger 6 måste också vara ett praktiskt tal. eftersom 6 är vilken potens av 2 som helst.
Vilken tvåpotens som helst är ett praktiskt tal [3] . En tvåpotens uppfyller trivialt beskrivningen av praktiska tal i termer av heltalsfaktorisering – alla primtal i talfaktoriseringen, p 1 , är lika med två, vilket är vad som krävs.
Varje jämnt perfekt tal är också ett praktiskt tal [3] . Det följer av Eulers resultat att ett jämnt perfekt antal måste vara av formen . Den udda delen av denna expansion är lika med summan av divisorerna för den jämna delen, så varje udda primtalsdelare av ett sådant tal får inte vara större än summan av divisorerna för den jämna delen av talet. Detta nummer måste således uppfylla beskrivningen av praktiska siffror. $2^{n-1}(2^{n}-1)$
Varje urtal (produkten av de första i -primtalen för något tal i ) är ett praktiskt tal [3] . För de två första primorialerna, två och sex, är detta tydligt. Varje efterföljande primtal bildas genom att multiplicera primtal p i med ett mindre primtal som är delbart med både 2 och föregående primtal . Enligt Bertrands postulat , så att varje föregående primtalsdelare av primorialen är mindre än en av divisorerna av den tidigare primorialen. Genom induktion följer det att varje primorial uppfyller beskrivningen av praktiska tal. Eftersom urnumret är kvadratfritt per definition är det också ett praktiskt primtal. $p_{i-1}$ $p_{i}<2p_{i-1}$
Genom att generalisera primtalen måste alla tal som är en produkt av potenser som inte är noll av de första k primtalen vara praktiska. Denna uppsättning inkluderar supersammansatta Ramanujan- tal (tal med ett antal divisorer större än något mindre positivt tal), såväl som faktorialer [3] .

Praktiska tal och egyptiska bråk

Om n är praktiskt kan vilket rationellt tal som helst av formen m / n med m < n representeras som en summa , där alla d i är distinkta delare av n . Varje term i denna summa reduceras till en bråkdel av ett , så att en sådan summa ger representationen av talet m / n som ett egyptiskt bråktal . Till exempel, $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci ger i sin bok Liber Abaci från 1202 [2] några metoder för att hitta representationen av ett rationellt tal som ett egyptiskt bråktal. Av dessa är den första metoden att kontrollera om talet redan är en bråkdel av ett, och den andra metoden är att representera täljaren som summan av nämnarens divisorer, som beskrivits ovan. Denna metod garanterar framgång endast när nämnaren är ett praktiskt tal. Fibonacci gav tabeller över sådana representationer för bråk med de praktiska talen 6, 8, 12, 20, 24, 60 och 100 som nämnare.

Vause [8] visade att vilket tal x / y som helst kan representeras som ett egyptiskt bråk med termer. Beviset använder sökningen efter en följd av praktiska tal n i med egenskapen att vilket tal som helst mindre än n i kan skrivas som summan av olika delare av n i . Då väljs i så att u är delbart med y , vilket ger kvoten q och resten r . Av detta val följer att . Efter att ha utökat täljarna på formelns högra sida till summan av divisorerna för talet n i får vi representationen av talet i form av ett egyptiskt bråk. Tenenbaum och Yokota [9] använde en liknande teknik, med en annan sekvens av praktiska siffror, för att visa att alla nummer x / y har en egyptisk bråkrepresentation där den största nämnaren är . $\scriptstyle O({\sqrt {\log y)))$ $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1))})$ ${\displaystyle n_{i-1}<y\leqslant n_{i))$ ${\displaystyle xn_{i))$ $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$ $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y)))$

Enligt förmodan från september 2015 av Chih-Wei Sun [10] har varje positivt rationellt tal en egyptisk bråkrepresentation, där vilken nämnare som helst är ett praktiskt tal. Det finns ett bevis på gissningen i David Eppsteins blogg [11] .

Primtalsanalogi

En anledning till intresset för praktiska tal är att många av deras egenskaper liknar primtals egenskaper . Dessutom är satser som liknar Goldbach-förmodan och tvillingförmodan kända för praktiska tal - alla positiva jämna tal är summan av två praktiska tal och det finns oändligt många tripletter av praktiska tal [12] . Giuseppe Melfi visade också att det finns oändligt många praktiska Fibonacci-nummer (sekvens A124105 i OEIS ). En liknande fråga om existensen av ett oändligt antal Fibonacci-primtal förblir öppen. Houseman och Shapiro [13] visade att det alltid finns ett praktiskt tal i intervallet för alla positiva reella x , vilket är analogen till Legendres gissningar för primtal. $x-2,x,x+2$ $[x^{2},(x+1)^{2}]$

Låt p ( x ) räkna antalet praktiska tal som inte överstiger x . Margenstern [14] antog att p ( x ) asymptotiskt är lika med cx /log x för någon konstant c , som liknar formeln i primtalssatsen och förstärker ett tidigare påstående av Erdős och Loxton [15] att praktiska tal har densitet noll i uppsättningen heltal. Sayes [16] visade att för lämpliga konstanter c 1 och c 2

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x)),

Slutligen bevisade Weingartner [17] Margensterns gissning genom att visa det

p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right) \höger),

för och någon konstant . $x\geqslant 3$ $c>0$

Anteckningar

↑ Margenstern ( Margenstern 1991 ), citerar Robinson ( Robinson 1979 ) och Heyworth ( Heyworth 1980 ), använder namnet "panaritmiska tal".
↑ 12 Sigler , 2002 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Srinivasan, 1948 .
↑ 1 2 3 Stewart, 1954 .
↑ 1 2 3 Sierpiński, 1955 .
↑ Hausman, Shapiro (1984 ); Margenstern (1991 ); Melfi (1996 ) Saias (1997 ).
↑ Margenstern (1991) .
↑ Vose, 1985 .
↑ Tenenbaum, Yokota, 1990 .
↑ En gissning om enhetsfraktioner som involverar primtal (länk inte tillgänglig) . Hämtad 30 maj 2018. Arkiverad från originalet 19 oktober 2018. (obestämd)
↑ 0xDE: Egyptiska bråk med praktiska nämnare . Hämtad 30 maj 2018. Arkiverad från originalet 2 januari 2019. (obestämd)
↑ Melfi, 1996 .
↑ Hausman, Shapiro, 1984 .
↑ Margenstern, 1991 .
↑ Erdős, Loxton, 1979 .
↑ Saias, 1997 .
↑ Weingartner, 2015 .

Litteratur

Paul Erdős , Loxton JH Några problem i partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (Serie A). - 1979. - T. 27 , nr. 03 . — S. 319–331 . - doi : 10.1017/S144678870001243X .
Heyworth MR Mer om panaritmiska tal // Nya Zeeland Math. Mag.. - 1980. - T. 17 , nr. 1 . — S. 24–28 . . Som citeras i Margenstern ( 1991 ).
Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. Om praktiska siffror // Kommunikationer om ren och tillämpad matematik . - 1984. - T. 37 , nr. 5 . — S. 705–713 . - doi : 10.1002/cpa.3160370507 .
Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. - 1984. - Vol. 299 , nr. 18 . — S. 895–898 . Som citeras i Margenstern ( 1991 ).
Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: teorier, observationer och gissningar // Journal of Number Theory . - 1991. - T. 37 , nr. 1 . — S. 1–36 . - doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 .
Giuseppe Melfi. På två gissningar om praktiska tal // Journal of Number Theory. - 1996. - T. 56 , nr. 1 . — S. 205–210 . - doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
Dragoslav S. Mitrinovic, József Sandor, Borislav Crstici. III.50 Praktiska siffror // Handbok i talteori, Volym 1. - Kluwer Academic Publishers, 1996. - Vol 351. - S. 118–119. - (Matematik och dess tillämpningar). - ISBN 978-0-7923-3823-9 .
Robinson DF egyptiska bråk via grekisk talteori // Nya Zeeland Math. Mag.. - 1979. - T. 16 , nr. 2 . — s. 47–52 . . Som citeras i Margenstern ( 1991 ) och Mitrinovic Mitrinović , Sándor & Crstici (1996 ).
Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. - 1997. - T. 62 , nr. 1 . — S. 163–191 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2057 .
Fibonaccis Liber Abaci / Laurence E. Sigler (översättning). - Springer-Verlag, 2002. - S. 119-121 . — ISBN 0-387-95419-8 .
Waclaw Sierpinski . Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1955. - T. 39 , nr. 1 . — S. 69–74 . - doi : 10.1007/BF02410762 .
Srinivasan AK Praktiska siffror // Aktuell vetenskap . - 1948. - T. 17 . — S. 179–180 .
Stewart BM Summor av distinkta divisorer // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1954. - V. 76 , nr. 4 . — S. 779–785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Tenenbaum G., Yokota H. Längd och nämnare för egyptiska bråk // Journal of Number Theory. - 1990. - T. 35 , nr. 2 . — S. 150–156 . - doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 .
Vose M. Egyptiska bråk // Bulletin of the London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 , nr. 1 . - S. 21 . - doi : 10.1112/blms/17.1.21 .
Weingartner A. Praktiska tal och fördelningen av divisorer // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2015. - T. 66 , nr. 2 . — S. 743–758 . - doi : 10.1093/qmath/hav006 . - arXiv : 1405.2585 .

Länkar

Tabeller med praktiska siffror Arkiverad 26 december 2017 på Wayback Machine sammanställd av Giuseppe Melfi.
Praktiskt nummer (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Praktiskt nummer (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Klasser av naturliga tal

Befogenheter och
relaterade siffror

Akilles
Grad 2
10 grader
12 grader
rutor
Kuba
fjärde grader
Femte graden
Perfekt examen
Full multipel
Potens för ett primtal

Tal i formen
a × 2 b ± 1

Andra
polynomtal
_

Rekursivt
definierade
tal

Uppsättningar av nummer
med specifika
egenskaper

Uttryckt
i belopp

Icke-hypotenus
Praktisk
Principiellt halvenkelt
Ulama
Wolsenholm

Erhålls
med en sil

lyckotal

Relaterade koder
_

Mirtens

lockiga siffror

2-dimensionell

centrerad _	triangulär fyrkant femsidig hexagonal sjukantig åttkantig icke-kantig dekagonal stellate
utanför centrum	triangulär fyrkant kvadratisk triangulär hexagonal åttkantig

3-dimensionell

centrerad _	tetraedrisk kubisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral
utanför centrum	tetraedrisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral Stjärnoktaedral
pyramidal _	fyrkant femsidig hexagonal sjukantig

4-dimensionell

centrerad _	pentakorisk triangulär i en kvadrat
utanför centrum	pentatop

Pseudoenkelt

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Odla
Frobenius
Luca
Somera - Luca
starkt pseudoenkelt

kombinatoriska
siffror

Klocknummer
tårtnummer
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin-nummer
Narayana
Antal Bell-beställningar
Schroeder nummer
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiska
funktioner

σ( n )	överflödig nästan perfekt aritmetisk kolossalt överflödig Descartes halvperfekta siffror mycket överflödiga siffror höga komponentnummer hyperperfekta siffror multiperfekta siffror engagerad praktisk primitiv överflödig något överflödig tau nummer majestätiska siffror överflödiga siffror supersammansatta tal superperfekta siffror
Ω( n )	nästan enkelt halvenkel
φ( n )	mycket kovalent hög satsning perfekt totient lite totient
s( n )	vänlig engagerad otillräcklig halvperfekt

Euklid
förmögenhetstal

Genom divisorer

Andra
primtalare eller
relaterade
till delbarhet

Underhållande
matematik

Nummersystem _	automorft nummer cyklisk Osiris Dudeni lika siffror extravagant Factorion Friedman nöjd Nivena Kita Lichrel belopp med saknad siffra Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadlig magisk primitiv repdigits återföreningar självgenererad självbeskrivande Smarandsha - Wellena strikt icke-palindromisk växlare förflyttning trimorf vågig vampyrer

Aronson sekvens
pannkaksnummer

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga nummer offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer