Jugi nummer

Ett Jugi-tal är ett sammansatt tal så att för någon av dess primtalsdelare , eller, ekvivalent, sådan för någon av dess primtalsdelare . $n$ $pi}$ $p_{i}|\left({n \över p_{i}}-1\höger)$ $pi}$ $p_{i}^{2}|(n-p_{i})$

Namnet är givet efter den italienske matematikern Giuseppe Giugi , som studerade dessa tal i samband med Ago-Giuga-förmodan om primtal.

Definitioner

En motsvarande definition gavs av Takashi Agoh ( 1990 ): ett sammansatt nummer är ett Juga-nummer om och endast om : $n$

nB_{{\varphi (n)}}\equiv -1{\pmod n}

var är Bernoulli-talet och är Euler-funktionen . $B$ $\varphi (n)$

Andra likvärdiga formuleringar beror på Giuseppe Giuga: ett sammansatt nummer är ett Giuga-nummer om och endast om likheten gäller: $n$

\sum _{{i=1}}^{{n-1}}i^{{\varphi (n)))\equiv -1{\pmod n}

och även om och endast om:

\sum _{{p|n}}{\frac {1}{p}}-\prod _{{p|n}}{\frac {1}{p}}\in {\mathbb {N}} .

Alla kända Jugi-nummer ( ) uppfyller faktiskt det starkare villkoret: $n$

\sum_{p|n} \frac{1}{p} - \prod_{p|n} \frac{1}{p} = 1

Exempel

De första fem Jugi-numren är:

30 , 858, 1722, 66198, 2214408306, … [1] .

Till exempel är talet 30 ett Jugi-tal eftersom dess primtalsdelare är 2, 3 och 5, och det kan visas att:

30/2 - 1 = 14, delbart med 2,
30/3 - 1 = 9 är kvadraten av tre, och
30/5 - 1 = 5, samma som den tredje primtallaren.

Egenskaper

Jugitalets primtalsdelare måste vara olika. Om det delar sig , då är där delbart med . Eftersom det inte kan vara delbart med , kan det inte vara ett Jugi-tal. $p^{2}$ $n$ ${n\över p}-1=n'-1$ $n'$ $sid$ $n'-1$ $sid$ $n$

Således kan endast kvadratfria tal vara Juga-tal. Till exempel är divisorerna för 60 2, 2, 3 och 5, och 60/2 - 1 = 29, vilket inte är delbart med 2. Så 60 är inte ett Jugital.

Semiprimtal kan inte heller vara Jugi-tal. Om talet , där är primtal, då , så kommer inte att dela , och är därför inte ett Jugital. $n=p_{1}p_{2}$ $p_{1}<p_{2}$ ${n \över p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}$ $p_{2}$ ${n\över p_{2}}-1$ $n$

Alla kända Jugi-nummer är jämna. Om det finns ett udda Jugital måste det vara produkten av minst fjorton primtal . Det är inte känt om antalet Jugi-tal är ändligt eller oändligt.

Paolo Lava ( Paolo P. Lava , 2009) antog att Jugi-talen är lösningar av en aritmetisk differentialekvation , där är den aritmetiska derivatan av . José Maria Grau och Antonio Oller-Marcén visade att ett heltal är ett Juga-tal om och endast om det uppfyller en aritmetisk differentialekvation för något heltal . $n'=n+1$ $n'$ $n$ $n$ $n'= en +1$ $a>0$

Se även

Olösta problem i matematik : Är sekvensen av Jugi-tal oändlig? Olösta problem i matematik : Finns det ett sammansatt Jugi-tal som också är ett Carmichael-tal ?

Carmichael nummer
Enkelt pseudoperfektnummer

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A007850 _

Länkar

Weisstein, Eric W. Giuga-nummer (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
D. Borwein, JM Borwein, PB Borwein, R. Girgensohn. Giugas gissning om primäritet // American Mathematical Monthly . - 1996. - T. 103 . — S. 40–50 . - doi : 10.2307/2975213 . Arkiverad från originalet den 31 maj 2005.
Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava. Centotre curiosità matematiche. - Milano: Hoepli Editore, 2010. - S. 129. - ISBN 978-88-203-4556-3 .