Malmnummer

Malmtalet är ett naturligt tal vars harmoniska medelvärde av divisorer är ett heltal . Introducerad av Oistin Ore 1948 . De första malmnumren:

1 , 6 , 28 , 140 , 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, … [1] .

Till exempel har malmtalet 6 delare 1, 2, 3 och 6. Deras övertonsmedelvärde är ett heltal:

{\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}} }}=2.

Talet 140 har delare 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 och 140. Deras harmoniska medelvärde är:

{\frac {12}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{ 5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\ frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5.

5 är ett heltal, vilket betyder att 140 är ett malmtal.

Malmtal och perfekta tal

För vilket heltal som helst är produkten av det harmoniska medelvärdet och det aritmetiska medelvärdet av dess divisorer lika med själva talet , vilket följer direkt av definitionerna. Således är ett malmtal med det harmoniska medelvärdet av divisorerna om och endast om det aritmetiska medelvärdet av divisorerna är kvoten av . $M$ $M$ $M$ $k$ $M$ $k$

Malm visade att vilket perfekt tal som helst är ett malmtal. Eftersom summan av divisorerna för ett perfekt tal är exakt , är medeltalet av divisorerna , där är antalet divisorer av talet . För alla tal är talet udda om och endast om det är en perfekt kvadrat , annars kan varje divisor av talet associeras med en annan divisor - . Men inget perfekt tal kan vara en perfekt kvadrat, detta följer av de välkända egenskaperna hos jämna perfekta tal, och udda perfekta tal (om de finns) måste ha en faktor av formen , där . Således, för ett perfekt antal, är antalet divisorer jämnt och medeltalet av divisorerna är produkten av . Alltså är ett malmnummer. $M$ $2M$ $M(2/\tau (M))$ $\tau (M)$ $M$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $d$ $M$ $m/d$ $q^{\alpha }$ $\alpha \equiv 1{\pmod 4}$ $M$ $\tau (M)$ $M$ $2/\tau (M)$ $M$

Malm gissade att det inte finns några udda malmtal förutom 1. Om gissningen är korrekt finns det inga udda perfekta tal .

Gränser och datorsökning

Det visas att varje udda malmtal som är större än 1 måste ha en primtalsfaktor som är större än 10 7 , och att ett sådant tal måste ha minst tre distinkta primtalsfaktorer. Dessutom har det konstaterats att det inte finns några udda malmtal mindre än 10 24 .

Försök gjordes att få en lista över alla små malmtal med hjälp av en dator, som ett resultat hittades alla malmtal upp till 2 × 10 9 och alla tal för vilka det övertonska medelvärdet inte överstiger 300.

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A001599 _

Litteratur

Bogomolny, Alexander. En identitet som gäller medelvärden för delare av ett givet heltal . Hämtad: 10 september 2006. (obestämd)

Cohen, Graeme L. Tal vars positiva delare har litet integrerat harmoniskt medelvärde // Mathematics of Computation . - 1997. - T. 66 . — S. 883–891 . - doi : 10.1090/S0025-5718-97-00819-3 .

Graeme L. Cohen, Ronald M. Sorli. Udda övertonstal överstiger 10 24 // Mathematics of Computing. - 2010. - T. 79 , nr. 272 . - S. 2451 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-10-02337-9 . Publicerad elektroniskt 9 april 2010.

Gå till, Takeshi. (malms) övertonsnummer . Hämtad: 10 september 2006. (obestämd)

Richard K Guy. Olösta problem i talteorin. — 3:a. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .

Joseph B. Muskat. Om delare av udda perfekta tal // Mathematics of Computation. - American Mathematical Society, 1966. - V. 20 , nr. 93 . — S. 141–144 . - doi : 10.2307/2004277 . — .

Øystein Malm. På medelvärdena av divisorerna för ett tal // American Mathematical Monthly . - Mathematical Association of America, 1948. - V. 55 . — S. 615–619 . - doi : 10.2307/2305616 . — .

Weisstein, Eric W. Harmonic Divisor Number (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga nummer offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer