Superöverflödigt nummer

Superabundant nummer ( SA från engelska superabundant ) - ett naturligt tal som för alla $n$ $m<n$

{\frac {\sigma (m)}{m))<{\frac {\sigma (n)}{n))~,

var är divisorfunktionen (det vill säga summan av alla positiva divisorer av talet , inklusive ). $\sigma$ $n$ $n$

De första superredundanta siffrorna [1] : 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , …. Till exempel är siffran 5 inte ett överflödigt tal eftersom för 1, 2, 3, 4 och 5 är sigma 1, 3, 4, 7, 6 och 7/4 > 6/5.

Överskottsantal bestämdes[ förtydliga ] Leonidas Alaoglu och Pal Erdős [2] . Cirka 30 sidor av Ramanujans artikel från 1915 "Supercomponent Numbers", som var okända för Alaoglu och Erdős, stängdes[ specificera ] . Dessa sidor publicerades slutligen i Ramanujan's Journal 1 (1997), 119-153[ specificera ] . I avsnitt 59 i den här artikeln definierar Ramanujan generaliserade supersammansatta tal , som inkluderar superredundanta tal.

Egenskaper

Leonidas Alaoglu och Pal Erdős ( 1944 [2] ) bevisade att om det är överflödigt, så finns det sådana som $n$ $k$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsb ,a_{k))$

n=\prod _{i=1}^{k}(p_{i})^{a_{i}}~,

var:

pi}

-th primtal;

i

a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \dotsb \geqslant a_{k}\geqslant 1~.

Det vill säga, de bevisade att om är superredundant har primtalsfaktoriseringen icke-ökande exponenter (exponenten för ett större primtal är aldrig större än för ett mindre primtal), och att alla primtal upp till är faktorer av . Då, i synnerhet, är varje superredundant tal en jämn heltalsmultipel av det -:e primtalet . $n$ $n$ ${\displaystyle p_{k))$ $n$ $k$ $p_{k}\#$

Faktum är att den sista exponenten är 1, förutom när den är 4 eller 36. $a_{k}$ $n$

Superredundanta tal är nära besläktade med supersammansatta tal. Alla superabundanta tal är inte supersammansatta tal. Faktum är att endast 449 superredundanta och supersammansatta nummer matchar (sekvens A166981 i OEIS ). Till exempel är 7560 superkomposit, men inte superredundant. Däremot är 1163962800 superredundant men inte superkomposit.

Alaoglu och Erdős märkte att alla redundanta nummer är mycket överflödiga .

Inte alla överflödiga siffror är hårda siffror . Det första undantaget är det 105:e SA-numret, 149602080797769600. Summan av siffrorna är 81, men 81 är inte jämnt delbart med detta SA-tal.

Superabundant tal är också av intresse i samband med Riemannhypotesen och Robins sats , på grund av att Riemannhypotesen motsvarar påståendet:

{\frac {\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n))<1

för alla större än det största kända undantaget, det superredundanta talet 5040. Om denna ojämlikhet har ett större motexempel som bevisar att Riemannhypotesen är falsk, måste det minsta sådana motexemplet vara ett superredundant tal [3] . $n$

Inte alla super-redundanta nummer är kolossalt överflödiga .

Generalisering

Generaliserade -superredundanta tal $k$ är tal så att för alla , där är summan av de -te potenserna av divisorerna . $\textstyle {\frac {\sigma _{k}(m)}{m^{k))}<{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{k))}$ $m<n$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

1-super-redundanta nummer är super-redundanta nummer. 0-superredundanta tal är supersammansatta tal.

Till exempel är generaliserade 2-superredundanta tal [4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A004394 _
↑ 1 2 Alaoglu, Leonidas & Erdős, Pal (1944), Om superkomponenter och liknande nummer , Proceedings of the American Mathematical Society ( American Mathematical Society ). — T. 56 (3): 448–469 , DOI 10.2307/1990319 [ förtydliga ]
↑ Akbari - Friggstad, 2009 .
↑ OEIS - sekvens A208767 _

Litteratur

Keith Briggs. Rikliga siffror och Riemann-hypotesen // Experimentell matematik . - 2006. - T. 15 . — S. 251–256 .
Amir Akbary, Zachary Friggstad. Superabundant siffror och Riemann-hypotesen // American Mathematical Monthly . - 2009. - T. 116 , nr. 3 . — S. 273–275 . - doi : 10.4169/193009709X470128 .

Länkar

MathWorld: Super Redundant Number

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga nummer offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer

Klasser av naturliga tal

Befogenheter och
relaterade siffror

Akilles
Grad 2
10 grader
12 grader
rutor
Kuba
fjärde grader
Femte graden
Perfekt examen
Full multipel
Potens för ett primtal

Tal i formen
a × 2 b ± 1

Andra
polynomtal
_

Rekursivt
definierade
tal

Uppsättningar av nummer
med specifika
egenskaper

Uttryckt
i belopp

Icke-hypotenus
Praktisk
Principiellt halvenkelt
Ulama
Wolsenholm

Erhålls
med en sil

lyckotal

Relaterade koder
_

Mirtens

lockiga siffror

2-dimensionell

centrerad _	triangulär fyrkant femsidig hexagonal sjukantig åttkantig icke-kantig dekagonal stellate
utanför centrum	triangulär fyrkant kvadratisk triangulär hexagonal åttkantig

3-dimensionell

centrerad _	tetraedrisk kubisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral
utanför centrum	tetraedrisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral Stjärnoktaedral
pyramidal _	fyrkant femsidig hexagonal sjukantig

4-dimensionell

centrerad _	pentakorisk triangulär i en kvadrat
utanför centrum	pentatop

Pseudoenkelt

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Odla
Frobenius
Luca
Somera - Luca
starkt pseudoenkelt

kombinatoriska
siffror

Klocknummer
tårtnummer
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin-nummer
Narayana
Antal Bell-beställningar
Schroeder nummer
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiska
funktioner

σ( n )	överflödig nästan perfekt aritmetisk kolossalt överflödig Descartes halvperfekta siffror mycket överflödiga siffror höga komponentnummer hyperperfekta siffror multiperfekta siffror engagerad praktisk primitiv överflödig något överflödig tau nummer majestätiska siffror överflödiga siffror supersammansatta tal superperfekta siffror
Ω( n )	nästan enkelt halvenkel
φ( n )	mycket kovalent hög satsning perfekt totient lite totient
s( n )	vänlig engagerad otillräcklig halvperfekt

Euklid
förmögenhetstal

Genom divisorer

Andra
primtalare eller
relaterade
till delbarhet

Underhållande
matematik

Nummersystem _	automorft nummer cyklisk Osiris Dudeni lika siffror extravagant Factorion Friedman nöjd Nivena Kita Lichrel belopp med saknad siffra Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadlig magisk primitiv repdigits återföreningar självgenererad självbeskrivande Smarandsha - Wellena strikt icke-palindromisk växlare förflyttning trimorf vågig vampyrer

Aronson sekvens
pannkaksnummer