Självgenererade tal är tal som inte kan erhållas genom att lägga till något annat tal, kallat en generator, till summan av dess siffror.
Tänk på en procedur som Kaprekar kallar sifferaddition . Låt oss välja vilket heltal som helst och lägga till summan av dess siffror. Till exempel, om vi väljer talet 47, är summan av dess siffror 4 + 7 = 11 och 47 + 11 = 58. Det nya talet 58 kallas det genererade numret och det ursprungliga talet 47 kallas dess generator . Processen kan upprepas i det oändliga och bildar en sekvens som genereras av digital addition 47, 58, 71, 79, ...
En icke-rekursiv formel för delsumman av medlemmarna i denna sekvens är okänd, men det finns en enkel formel för summan av siffrorna för alla siffror i den: subtrahera det första talet från det sista och addera summan av siffrorna i det sista numret.
Genererade nummer kan ha mer än en generator. Det minsta numret med mer än en generator (Kaprekar kallar sådana tal föreningar ) är 101 och har två generatorer: 91 och 100. Det minsta sammansatta numret med tre generatorer är 10 000 000 000 001 och genereras av talen 10 000 000 000 9 och 9 9, 9, 9, 9 och 9 999 999 999 892. Det minsta antalet med fyra generatorer, upptäckt av Kaprekar den 7 juni 1961 , har 25 siffror: 10 24 + 102. Således bildar de minsta talen med n=2, 3, ... generatorer en sekvens:
101, 10000000000001, 10000000000000000000000102, … (sekvens A006064 i OEIS )Kaprekar lyckades också upptäcka, som han föreslår, de minsta nummerkopplingarna med 5 och 6 generatorer.
Ett självgenererat nummer är ett tal som inte har en generator, med Kaprekars ord, "det genererar sig självt." Det finns oändligt många egengenererade siffror, men de är mycket sällsynta än genererade siffror. Självgenererade siffror bildar en sekvens:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, … (sekvens A003052 i OEIS )Enkla självgenererade tal kallas självprimtal . Det välkända "cykliska" talet 142 857 (vid multiplicering med siffror från 1 till 6 får du alltid en produkt skriven med samma 6 siffror, endast omarrangerad i en cyklisk ordning) tillhör antalet egengenererade siffror. Självgenererade nummer är också sådana nummer som 11 111 111 111 111 111 111 och 3 333 333 333.
Vissa potenser av talet 10 genereras av sig själv. Siffran 10 genereras av siffran 5, siffran 100 av siffran 86, 1000 av siffran 977, 10 000 av siffran 9968 och 100 000 av siffran 99959. 1 000 000 är ett självgenererat tal, och effekten efter en miljon tiotal, vilket är ett självgenererat tal, är 10 16 .
Hittills har det inte varit möjligt att hitta en icke-rekursiv formel som gör att du kan få alla egengenererade tal, men det finns en enkel algoritm som låter dig kontrollera vilket tal som helst för självgenererad (det vill säga för att avgöra om ett givet nummer är självgenererat).
Självgenererade siffror beskrevs första gången 1949 av den indiske matematikern D. R. Kaprekar , som ägnade flera böcker åt dem. Under en lång tid var självgenererade siffror inte kända utanför Indien , förrän 1974 en artikel om dem (under ett annat namn) dök upp i tidskriften American Mathematical Monthly , [1] där det bevisades att det finns en oändlig antal egengenererade nummer.
I den andra volymen av " Children's Encyclopedia " (USSR), tillägnad matematik, finns en artikel om självgenererade siffror, där de kallas "nugget numbers". [2]