Kvadratiskt triangulärt tal

I talteorin är ett kvadratiskt triangulärt tal (eller triangulärt kvadratnummer ) ett tal som är både triangulärt och kvadratiskt . Det finns ett oändligt antal kvadratiska triangulära tal.

Till exempel är siffran 36 både kvadratisk ( ) och triangulär : $6\times 6$ $\left({\frac {9\times 8}{2}}\right)$

Kvadratiska triangulära tal bildar en sekvens:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, ... (sekvens A001110 i OEIS ).

Formler

Vi kommer att skriva N k för det k -: te kvadratens triangeltal, s k och t k för sidorna av kvadraten respektive triangeln, då

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2)).

Sekvenserna Nk , sk och tk är närvarande i OEIS ( A001110 , A001109 respektive A001108 ) .

1778 etablerade Leonhard Euler den explicita formeln [1] [2] :12—13

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{ 4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Andra ekvivalenta formler som kan härledas från denna formel:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}} )^{2k}\höger)^{2}={1 \över 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}} )^{4k}\right)\\&={1 \över 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2} })^{k}\right).\end{aligned}}

Motsvarande explicita formler för sk och t k [ 2] :13 :

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\ sqrt {2}}}}

och

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4 }}.

Pells ekvation

Kopplingen av kvadratiska triangulära tal med Pells ekvation kan erhållas enligt följande [3] :

vilket triangulärt tal som helst har formen t ( t + 1)/2, så vi måste hitta t och s så att

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Om vi multiplicerar vänster och höger del med 8 och väljer en hel kvadrat får vi

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

genom att nu ersätta x = 2 t + 1 och y = 2 s får vi den diofantiska ekvationen

x^{2}-2y^{2}=1,

vilket är Pells ekvation . Lösningarna till denna ekvation är Pell-talen P k [4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

och därför ges alla lösningar av formlerna

s_{k}={\frac {P_{2k)){2)),\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2} },\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

Det finns många identiteter associerade med Pell-nummer, och formlerna ovan översätter dem till identiteter med kvadratiska triangulära tal.

Återkommande relationer

Det finns återkommande relationer för kvadratiska triangulära tal, såväl som för sidorna av motsvarande kvadrater och trianglar. Vi har [5] :(12)

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,N_{0}=0,N_{1}=1.

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1))}-{\sqrt {N_{k-2))}\right)^{2},N_{0}= 1,N_{1}=36.

Och även [1] [2] :13

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},s_{0}=0,s_{1}=1;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,t_{0}=0,t_{1}=1.

Andra egenskaper

Alla kvadratiska triangulära tal är av formen b 2 c 2 , där b / c är det konvergenta värdet av den fortsatta bråkdelen av kvadratroten ur 2 [6] .

AV Sylwester gav ett kort bevis på oändligheten av antalet kvadratiska triangulära tal, nämligen [7] :

Om det triangulära talet n ( n + 1)/2 är en kvadrat, så finns det ett större triangulärt tal:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{ 2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}.

Och detta värde måste vara en kvadrat, eftersom det är produkten av tre kvadrater: (uppenbarligen), (det n:te triangulära talet antas vara en kvadrat) och (uppenbarligen). $2^{2}$ $(n(n+1))/2$ $(2n+1)^{2}$

Genereringsfunktionen för kvadratiska triangulära tal är [8] :

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)))=1+36z+1225z^{2}+\cdots .

Numeriska värden

När k ökar tenderar förhållandet t k / sk till , och förhållandet mellan angränsande kvadratiska triangulära tal tenderar till . ${\sqrt {2}}\approx 1,41421$ $17+12{\sqrt {2}}\approx 33.97056$

{\begin{array}{rrrrll}k&N_{k}&s_{k}&t_{k}&t_{k}/s_{k}&N_{k}/N_{k-1}\\0&0&0&0&&\\1&1&1&1&1& \\2&36&6&8&1.33333&36\\\3&1\,225&35&49&1.4&34.02778\\4&41\,616&204&288&1.41176&33.97224\\\5&1\,2111\,&01,\413\,&41, 7 930&9\,800&1.41414&33.97056\\7&1\,631\,432\,881&40\,391&57\,121&1.41420&33.97056\\\end{array}}

Anteckningar

↑ 12 Leonard Eugene Dickson . History of theory of Numbers (engelska) . - Providence: American Mathematical Society, 1999. - Vol. 2. - P. 16. - ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ 1 2 3 Euler, Leonhard Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (En enkel regel för diofantiska problem som snabbt ska lösas med heltal) (lat.) // Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg. - 1813. - Vol. 4 . - S. 3-17 . . — "Enligt protokollen presenterades den för St. Petersburgs akademi den 4 maj 1778.
↑ Barbeau, Edward. Pells ekvation . - New York: Springer, 2003. - S. 16-17. — (Problemböcker i matematik). - ISBN 978-0-387-95529-2 .
↑ Hardy, GH ; Wright, E.M. En introduktion till talteorin . — 5:a. - Oxford University Press , 1979. - S. 210. - ISBN 0-19-853171-0 . . - "Sat 244".
↑ Weisstein, Eric W. Square Triangular Number på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Ball, W.W. Rose ; Coxeter , HSM Matematiska rekreationer och uppsatser . - New York: Dover Publications , 1987. - S. 59 . - ISBN 978-0-486-25357-2 .
↑ Pietenpol, JL; A.V. Sylwester, Erwin Just, R.M. Warten. Elementära problem och lösningar: E 1473, kvadrattriangulära tal // American Mathematical Monthly : journal . - Mathematical Association of America, 1962. - Februari ( vol. 69 , nr 2 ). - S. 168-169 . — ISSN 00029890 . — .
↑ Plouffe, Simon 1031 Generera funktioner (PDF) A.129. University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (augusti 1992). Hämtad 11 maj 2009. Arkiverad från originalet 6 februari 2013. (obestämd)

Länkar

Triangulära siffror som också är kvadratiska Arkiverad 27 april 2006 på Wayback Machine vid cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Michael Dummetts lösning Arkiverad 13 februari 2021 på Wayback Machine

lockiga siffror

platt

Klassisk polygonal	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Dodecagonal
Centrerad	triangulär Fyrkant Femsidig Hexagonal Heptagonal Åttkantig Niovinklad Dekagonal

Pyramidformad	tetraedrisk Fyrkantig pyramidform
mångfasetterad	kubisk Oktaedral Dodekaedral icosahedral Stellad oktaedral

mångfasetterad	Pentatopisk Bisquare