Perfekt totient nummer

Den stabila versionen kontrollerades den 29 september 2022 . Det finns overifierade ändringar i mallar eller .

Ett perfekt totienttal  är ett heltal som är lika med summan av dess itererade totienter (värden för Euler-funktionen). Det vill säga, vi tillämpar Euler-funktionen på talet n och sekventiellt på alla resulterande totienter tills vi når talet 1, och sekventiellt adderar de resulterande talen. Om summan är n är n ett perfekt totienttal. Algebraiskt, om

var

rekursiv itererad Euler-funktion, och c  är ett heltal så att

då är n ett perfekt totienttal.

Ett perfekt totienttal är per definition udda .

Flera första perfekta totientnummer

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 3069, … 3, 4 sekvens A082897 i OEIS ).

Till exempel, med start från 327 beräknar vi φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ( 2) = 1, vi får 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327.

Siffror som a(n)=2^(2^n)-1

Flera nummer i formuläret ( OEIS -sekvens A051179 ), såsom 255 , 65 535 , 4 294 967 295 , och 18 446 744 073 709 551 615 , är perfekta sammanlagda siffror, och maximala heltal utan tecken, 8-, 16-, 32- respektive 64-bitars variabler. De tidigare siffrorna 3 och 15 från samma sekvens är också perfekta totientnummer.

Trippelgrader

Det kan ses att många perfekta totienttal är delbara med 3. Faktum är att talet 4375 är det minsta perfekta totienttalet som inte är delbart med 3. Alla potenser av 3 är perfekta totienttal, vilket kan visas genom induktion med hjälp av faktum

Venkataraman (1975) hittade en annan familj av perfekta totienttal — om p = 4×3 k +1 är primtal, så är 3 p ett perfekt totienttal. Värden på k som leder till perfekta totienttal på detta sätt:

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ... (sekvens A005537 i OEIS ).

Mer generellt, om p är ett primtal större än 3 och 3 p är ett perfekt totienttal, då p ≡ 1 (mod 4) [1] . Inte alla p av detta slag leder till perfekta totienttal. 51 är alltså inte ett perfekt totienttal. Ianucci, Deng och Cohen [2] visade att om 9 p är ett perfekt totienttal, så är p primtal och har en av de tre formerna som anges i tidningen. Det är inte känt om det finns perfekta totienttal av formen 3 k p , där p är primtal och k > 3.

Anteckningar

  1. ↑ Mohan, Suryanarayana, 1982 , sid. 101–105.
  2. ↑ Iannucci, Deng, Cohen, 2003 , sid. 03.4.5.

Litteratur

Obs : Den ursprungliga artikeln innehåller material från artikeln Perfect Totient Number från PlanetMath under en Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported-licens.