Cullen-siffror

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2022; verifiering kräver 1 redigering .

I matematik är Cullen-tal naturliga tal av formen (skriven C n ). Cullen-tal studerades först av den irländska matematikern James Cullen 1905. Cullen-tal är en speciell sorts Proth-tal . $n\cdot 2^{n}+1$

Egenskaper

1976 visade Christopher Hooley att densiteten för en sekvens av positiva heltal för vilka C n är primtal är o(x) för . I denna mening är nästan alla Cullen-tal sammansatta . Christopher Hooleys bevis omarbetades av matematikern Hirmi Suyama för att visa att det är sant för alla talföljder där a och b är heltal, och delvis även för Woodall-tal . Alla kända Cullen -primtal motsvarar n lika med: $n\leq x$ $x\till \infty$ $n\cdot 2^{n+a}+b$

1, 161, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825 , 262419 .

Det finns ett antagande att det finns oändligt många Cullen-primtal.

I augusti 2009 var den största kända Cullen prime . Denna megaprime , med 2 010 852 siffror, upptäcktes av en PrimeGrid-bidragsgivare i Japan . [ett] $6679881\cdot 2^{6679881}+1$

Cullen-talen C n är delbara med om p är ett primtal av formen . Detta följer av Fermats lilla sats , så om p är ett udda primtal, så delar p C m ( k ) för varje (för k > 0). Det har också visat sig att primtalet p delar sig när Jacobi-symbolen är −1, och att p dividerar när Jacobi-symbolen är +1. $p=2n-1$ $8k-3$ $m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ $C_{(p+1)/2}$ $\left({\frac {2}{p}}\right)$ $C_{(3p-1)/2}$ $\left({\frac {2}{p}}\right)$

Det är inte känt om det finns ett primtal p så att C p också är primtal.

Generaliseringar

Ibland är generaliserade Cullen-tal tal av formen , där n + 2 > b . Om ett primtal kan skrivas i denna form kallas det ett generaliserat Cullen-primtal . Woodall-nummer kallas ibland Cullen-nummer av det andra slaget . $n\cdot b^{n}+1$

I februari 2012 var den största kända generaliserade Cullen-primen . Den har 877 069 tecken och öppnades av en amerikansk PrimeGrid-bidragsgivare . [2] $427194\cdot 113^{427194}+1$

Länkar

↑ The Prime Database: 6679881*2^6679881+1 , < http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536 > . Hämtad 22 december 2009.
↑ The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1 , < http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121 > . Hämtad 30 januari 2012.

Ytterligare läsning

Cullen, James (1905), Fråga 15897, Educ. Tider : 534 .
Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3:e upplagan), New York: Springer Verlag , sid. avsnitt B20, ISBN 0-387-20860-7 .
Hooley, Christopher (1976), Applications of sieve methods , New York: Cambridge University Press , sid. 115–119, ISBN 0-521-20915-3 .
Keller, Wilfrid (1995), New Cullen Primes , Mathematics of Computation vol . 64 (212): 1733–1741 , < http://www.ams.org/mcom/1995-64-212/S0025-5718-1995- 1308456-3/S0025-5718-1995-1308456-3.pdf > .

Länkar

Chris Caldwell, The Top Twenty: Cullen primerar på The Prime Pages .
Prime-ordlistan: Cullen-nummer på The Prime Pages.
Weisstein, Eric W. Cullens nummer (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Cullen prime: definition och status (föråldrad), Cullen Prime Search finns nu hos PrimeGrid
Paul Leyland, Generalized Cullen och Woodall Numbers