Perfekt examen

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En perfekt potens är ett positivt heltal som är en heltalspotens av ett positivt heltal : . När talet kallas en perfekt (hel) kvadrat respektive en perfekt kub . Ibland anses siffrorna 0 och 1 också vara perfekta potenser (som de är för alla ). $n$ $k$ $m$ ${\displaystyle n=m^{k))$ $k=2.3$ $n$ $0^{k}=0$ $1^{k}=1$ $k>0$

Sekvensen av perfekta grader kan bildas genom uppräkning av möjliga värden för och ; de första av dess medlemmar (inklusive upprepade sådana) [1] : $m$ $k$

2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^ {2}=25,\ 3^{3}=27,

2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^ {2}=64,\dots

De första perfekta graderna utan dubbletter är [2] :

(ibland 0 och 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 43, 225, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …

Egenskaper

Summan av inversa perfekta potenser (inklusive dubbletter som ) är 1: $3^{4}=9^{2}=81$

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k))}=1

vilket kan bevisas enligt följande:

\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k))}=\summa _{m= 2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\ summa _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\summa _{m =2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)))=\summa _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1 ))-{\frac {1}{m}}\right)=1

Summan av en serie ömsesidiga krafter (inte inklusive en) utan dubbletter är [3] :

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k)) \approx 0{,}874464368\dots

var är Möbius-funktionen och är Riemanns zeta-funktion . $\mu(k)$ $\zeta (k)$

Enligt Euler , i ett av de förlorade breven , visade Goldbach att summan av ömsesidigheten i en sekvens av perfekta krafter utan en och dubbletter är 1: $n_{i}-1$ $\{n_{i}\}$

\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\ frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31 }}}+\cdots=1

ibland kallas detta uttalande Goldbach-Eulers sats .

2002 bevisade Preda Mihailescu att det enda paret av på varandra följande perfekta krafter är , vilket bevisade den katalanska gissningen . $2^{3}=8,3^{2}=9$

Ett olöst problem är Pillais gissning , enligt vilken det för ett givet positivt heltal bara finns ett ändligt antal par perfekta krafter vars skillnad är lika med . $k$ $k$

Identifiering av perfekta grader

Att avgöra om ett givet naturligt tal är en perfekt potens kan göras på många olika sätt med olika komplexitetsnivåer . En av de enklaste metoderna är att överväga alla möjliga värden för var och en av divisorerna för ett tal upp till . Om divisorerna är lika måste ett av värdena vara lika med om det verkligen är en perfekt makt. $n$ $k$ $n$ $k<n$ $n$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j))$ $n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3} ,\dots$ $n$ $n$

Denna metod kan omedelbart förenklas genom att bara överväga primtal i stället , eftersom för sammansatt , där är ett primtal, kan skrivas om som . På grund av detta följer att minimivärdet nödvändigtvis måste vara prime. $k$ $k=ap$ $sid$ ${\displaystyle n=m^{k))$ ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p))$ $k$

Om den fullständiga faktoriseringen är känd , till exempel, , där är distinkta primtal, då är en perfekt potens om och endast om ( är den största gemensamma delaren av ). Till exempel för : eftersom , är den perfekta 12:e potensen (och den perfekta 6:e potensen, 4:e potensen, kuben och kvadraten, eftersom 6, 4, 3 och 2 delar 12). $n$ $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ $pi}$ $n$ $\gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1$ $\gcd$ $n=2^{9624}$ $\gcd(96,60,24)=12$ $n$

Anteckningar

↑ OEIS - sekvens A072103 _
↑ OEIS - sekvens A001597 _
↑ Weisstein, Eric . Perfect Power (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Länkar

Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader och Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 (Pdf)

Tal efter delbarhetsegenskaper
Allmän information	Faktorisering av heltal Delbarhet enhetsdelare Delningsfunktion primtal Grundläggande sats för aritmetik Aritmetiskt tal
Faktoriseringsformer	primtal Sammansatt tal Semiprime rektangulärt tal Sfeniskt tal Kvadratlöst tal Full multipel Perfekt examen Achilles nummer jämnt antal Vanligt nummer grovt antal ovanligt antal
Med begränsade delare	perfekt nummer Lite otillräckliga siffror Lite överflödiga siffror Multiperfekt nummer Hemiperfekta siffror hyperperfekt siffra super perfekt nummer enhetligt primtal semiperfekt nummer pararytmiskt tal Erdős-Nicolas nummer
Tal med många delare	Överskjutande siffror Primitiva överskottstal Mycket redundanta nummer Superredundanta nummer Enormt överflödiga siffror superkompositnummer Ett mycket supersammansatt tal konstigt nummer
Relaterat till alikvotsekvenser	heligt nummer vänliga nummer offentliga nummer Kvasivänliga siffror
Övrig	Inte tillräckligt med siffror kompisnummer sublimerade tal Malmnummer ödmjukt nummer Lika siffror extravagant nummer

Klasser av naturliga tal

Befogenheter och
relaterade siffror

Akilles
Grad 2
10 grader
12 grader
rutor
Kuba
fjärde grader
Femte graden
Perfekt examen
Full multipel
Potens för ett primtal

Tal i formen
a × 2 b ± 1

Andra
polynomtal
_

Rekursivt
definierade
tal

Uppsättningar av nummer
med specifika
egenskaper

Uttryckt
i belopp

Icke-hypotenus
Praktisk
Principiellt halvenkelt
Ulama
Wolsenholm

Erhålls
med en sil

lyckotal

Relaterade koder
_

Mirtens

lockiga siffror

2-dimensionell

centrerad _	triangulär fyrkant femsidig hexagonal sjukantig åttkantig icke-kantig dekagonal stellate
utanför centrum	triangulär fyrkant kvadratisk triangulär hexagonal åttkantig

3-dimensionell

centrerad _	tetraedrisk kubisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral
utanför centrum	tetraedrisk oktaedrisk dodekaedral icosahedral Stjärnoktaedral
pyramidal _	fyrkant femsidig hexagonal sjukantig

4-dimensionell

centrerad _	pentakorisk triangulär i en kvadrat
utanför centrum	pentatop

Pseudoenkelt

Carmichael
Catalana
elliptisk
Euler
Euler-Jacobi
Odla
Frobenius
Luca
Somera - Luca
starkt pseudoenkelt

kombinatoriska
siffror

Klocknummer
tårtnummer
Catalana
Dedekind
Delanoya
Euler
Fussa - Catalana
central polygonal
Lobba
Motzkin-nummer
Narayana
Antal Bell-beställningar
Schroeder nummer
Schroeder - Hipparchus

Aritmetiska
funktioner

σ( n )	överflödig nästan perfekt aritmetisk kolossalt överflödig Descartes halvperfekta siffror mycket överflödiga siffror höga komponentnummer hyperperfekta siffror multiperfekta siffror engagerad praktisk primitiv överflödig något överflödig tau nummer majestätiska siffror överflödiga siffror supersammansatta tal superperfekta siffror
Ω( n )	nästan enkelt halvenkel
φ( n )	mycket kovalent hög satsning perfekt totient lite totient
s( n )	vänlig engagerad otillräcklig halvperfekt

Euklid
förmögenhetstal

Genom divisorer

Andra
primtalare eller
relaterade
till delbarhet

Underhållande
matematik

Nummersystem _	automorft nummer cyklisk Osiris Dudeni lika siffror extravagant Factorion Friedman nöjd Nivena Kita Lichrel belopp med saknad siffra Armstrong palindromisk pandigital parasitisk skadlig magisk primitiv repdigits återföreningar självgenererad självbeskrivande Smarandsha - Wellena strikt icke-palindromisk växlare förflyttning trimorf vågig vampyrer

Aronson sekvens
pannkaksnummer