Ursprunglig

Primorial , primorial ( eng. Primorial ) - i talteorin, en funktion över en serie naturliga tal , liknande den faktoriella funktionen , med skillnaden att primorial är en sekventiell produkt av primtal mindre än eller lika med ett givet, medan factorial är en sekventiell produkt av alla naturliga tal mindre än eller lika med ett givet tal.

Termen "primorial" introducerades i vetenskaplig cirkulation av den amerikanske ingenjören och matematikern Harvey Dubner [1] .

Definition för primtal

För det n :te primtal p n definieras primtal p n # som produkten av de första n primtal [ 2 ] [ 3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

där p k är det k -te primtalet.

Till exempel, p 5 # betecknar produkten av de första 5 primtal:

p_{5}\#=2\ gånger 3\ gånger 5\ gånger 7\ gånger 11=2310.

Så de första sex primorialerna är:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (OEIS-sekvensen A002110 inkluderar också p 0 # = 1 som den tomma produkten ).

Asymptotiskt växer primorialerna p n # enligt

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

var är notationen "o" liten [3] . $o(\cdot )$

Definition för naturliga tal

I allmänhet, för ett positivt heltal n , kan primorial n # definieras som produkten av primtal mindre än eller lika med n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

var är fördelningsfunktionen för primtal (sekvens A000720 i OEIS ) som ger antalet primtal ≤ n , vilket är ekvivalent med $\stift)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{när }}n=1,\\n\gånger ((n-1)\#)&{\text{när enkelt }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{när }}n>1.\end{fall}}

Till exempel är 12# produkten av primtal, som vart och ett är ≤ 12:

12\#=2\ gånger 3\ gånger 5\ gånger 7\ gånger 11=2310.

Så det kan beräknas som $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Tänk på de första 12 primorialerna:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vi ser att för sammansatta tal duplicerar varje medlem i denna sekvens helt enkelt den föregående. I exemplet ovan har vi att 12# = p 5 # = 11# eftersom 12 är ett sammansatt tal.

Den naturliga logaritmen n # är den första Chebyshev-funktionen skriven som eller , som närmar sig ett linjärt n för stora värden på n [5] . $\theta(n)$ $\vartheta (n)$

Primorials n # växer enligt

\ln(n\#)\sim n.

Funktioner och applikationer

Primorials spelar en viktig roll för att hitta primtal i aritmetiska progressioner av primtal . Att till exempel lägga till talen 2236133941 + 23# resulterar i ett primtal som börjar en sekvens av tretton primtal, som kan erhållas genom att lägga till 23# i följd, och slutar med talet 5136341251. 23# är också den vanliga skillnaden i aritmetik progressioner av femton och sexton primtal.

Varje flerdelat nummer kan representeras som en produkt av primorialer (till exempel 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Alla primorialer är kvadratfria , och var och en har primtalsdelare av valfritt tal som är mindre än primorialen. För varje primorial n är förhållandet mindre än för något heltal, där är Euler-funktionen . $\phi (n)/n$ $\phi$

Varje primorial är ett svagt totient nummer [7] .

Approximation

Riemann zeta-funktionen för positiva tal större än ett kan uttryckas [8] med hjälp av primorial- och Jordan-funktionen : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\summa _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Värdetabell

n	n #	p n	p n #
0	ett	existerar inte	existerar inte
ett	ett	2	2
2	2	3	6
3	6	5	trettio
fyra	6	7	210
5	trettio	elva	2310
6	trettio	13	30030
7	210	17	510510
åtta	210	19	9699690
9	210	23	223092870
tio	210	29	6469693230
elva	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
fjorton	30030	43	13082761331670030
femton	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
arton	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
tjugo	9699690	71	557940830126698960967415390

Kompositör

Sammansättningen av talet n, till skillnad från urtalet, är produkten av sammansatta tal mindre än n. Sammansättningen är lika med förhållandet mellan faktorial och primorial för ett tal: . De första femton kompositörerna (exklusive upprepande värden) är 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 1254112800, 250822656000, 526777577776000 , 11588800607070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707070707 . $n!/n\#$

Se även

Anteckningar

↑ Dubner, 1987 , s. 197–203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 1 2 sekvens A002110 i OEIS .
↑ OEIS -sekvens A034386 . _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ A002182 - OEIS . Tillträdesdatum: 5 januari 2016. Arkiverad från originalet 24 december 2015. (obestämd)
↑ På glest totient nummer . Tillträdesdatum: 5 januari 2016. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ István Mező. Primorial och Riemann zeta-funktionen: [ eng. ] // The American Mathematical Monthly. - 2013. - Vol. 120. - S. 321.
↑ kompositmaterial . _ www.numbersaplenty.com. Hämtad 1 februari 2018. Arkiverad från originalet 24 januari 2018.
↑ OEIS - sekvens A036691 _
↑ Kompositmaterial - OeisWiki . oeis.org. Hämtad 1 februari 2018. Arkiverad från originalet 2 februari 2018.

Litteratur

Harvey Dubner. Faktor- och primtal // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - Vol. 19. - P. 197-203.