Andel av enhet

En bråkdel av ett (en alikvot) är ett rationellt tal i form av ett bråk vars täljare är ett och nämnaren är ett positivt heltal . Enhetsfraktionen är alltså den reciproka av ett positivt heltal, 1/ n . Exempel är 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 osv.

Elementär aritmetik

Att multiplicera två valfria bråkdelar av en ger en bråkdel av ett:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Men att addera , subtrahera eller dividera två bråkdelar av en enhet ger i allmänhet ett resultat som skiljer sig från bråkdelar av en enhet:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Modulär aritmetik

Bråk av en spelar en viktig roll i modulo jämförelse , eftersom de kan användas för att reducera modulo division till beräkningen av den största gemensamma divisorn. Antag särskilt att vi vill beräkna resultatet av division med x modulo y . För att division med x ska definieras modulo y måste x och y vara coprime . Sedan, med hjälp av den utökade Euklidiska algoritmen för att hitta den största gemensamma divisorn , kan vi hitta a och b så att

\displaystyle axe+by=1,

varifrån det följer

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y)),

vilket motsvarar

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

För att dividera med x (modulo y ), behöver man helt enkelt multiplicera med a .

Den slutliga summan av bråkdelen av en enhet

Varje positivt rationellt tal kan representeras som summan av bråkdelar av ett på flera sätt. Till exempel,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

De gamla egyptierna använde summor av olika bråkdelar av en för att skriva rationella tal , och sådana summor kallas ofta egyptiska bråk . Hittills finns det intresse för analys av metoder som användes av de gamla för att välja ut möjliga representationer och beräkna sådana representationer [1] . Ämnet egyptiska bråk är också av intresse för modern talteori . Till exempel rör Erdős-Graham- förmodan och Erdős-Strauss-förmodan summor av bråkdelar av enheter, liksom definitionen av harmoniska malmtal .

I geometrisk gruppteori klassificeras grupper av trianglar som euklidiska, sfäriska och hyperboliska, beroende på om summan av enhetsfraktioner associerade med dem är lika med en, mindre än en eller större än en.

Sekvenser av bråkdelar av en

Många välkända oändliga serier har termer i form av bråkdelar av en. Bland dem:

Övertonsserien är summan av alla positiva bråkdelar av en. Denna summa avviker, och dess delsummor

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

är nära approximerade av ln n + γ när n ökar .

Baselproblemet betraktar summan av kvadraterna av bråkdelar av en, som konvergerar till π 2 /6.
Aperi-konstanten är summan av kuber av bråkdelar av en.
Geometriska progressioner och den inversa Fibonacci-serien är ytterligare exempel på bråkdelar av en serie.

Bråkmatriser

Hilbertmatrisen har siffror som element

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Den har en ovanlig egenskap - alla delar av dess inversa matris är heltal [2] . På liknande sätt definierade Richardson [3] en matris med element

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

där F i betecknar det i - te Fibonacci-talet . Han kallade denna matris för "filbertmatrisen" och den har samma egenskap [4] .

Intilliggande bråk

Två bråk kallas angränsande om deras skillnad är bråkdelen av ett [5] [6] .

Bråkdelar av enhet i sannolikhetsteori och statistik

I en diskret enhetlig fördelning är alla sannolikheter en bråkdel av en. Enligt principen om likgiltighet uppstår ofta sannolikheter av denna typ i statistiska beräkningar [7] . Dessutom säger Zipfs lag att för många observerbara händelser, inklusive urval av objekt från en ordnad sekvens, är sannolikheten att det n :te objektet kommer att väljas proportionell mot en bråkdel av en 1/ n [8] .

Bråkdelar av enhet i fysik

Energinivåerna för fotoner som kan absorberas eller emitteras av en väteatom, enligt Rydbergs formel , är proportionella mot skillnaden mellan två fraktioner av en. En förklaring till detta fenomen ges av Bohr-modellen , enligt vilken energinivåerna för elektronorbitaler i en väteatom är omvänt proportionella mot kvadraten av bråkdelar av enhet, och fotonenergin kvantiseras av nivåskillnaden [9] .

Arthur Eddington uppgav att finstrukturkonstanten är en bråkdel av ett, först 1/136 och sedan 1/137. Detta påstående visade sig vara felaktigt, och den moderna uppskattningen av värdet av finstrukturkonstanten är (upp till 6 decimaler) 1/137.036 [10] .

Se även

egyptiska fraktioner

Anteckningar

↑ Guy, 2004 , sid. 252-262.
↑ Choi, 1983 , sid. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , sid. 268-275.
↑ Adjacent Fraction på PlanetMath- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Adjacent Fraction på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Welsh, 1996 , sid. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , sid. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Litteratur

Richard K Guy. Olösta problem i talteorin. — 3:a. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Man Duen Choi. Knep eller godsaker med Hilbert-matrisen // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , nr. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. Filbertmatrisen // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , nr. 3 . - . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Modern atom- och kärnfysik. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Eddingtons sökande efter en grundläggande teori: en nyckel till universum. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. Aspekter av statistisk slutledning. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Wiley Series in Probability and Statistics). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Theory of Zipf's Law and Beyond. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .