Lagranges sats om summan av fyra kvadrater

Lagranges fyrkvadratsats säger det

vilket naturligt tal som helst kan representeras som summan av fyra kvadrater av heltal .

Beviset för satsen ger en algoritm som låter dig hitta en sådan representation för ett tal med hjälp av aritmetiska operationer [1] , där — " o " är stort . $N$ $O(N^{2}\log _{2}{N})$ $O$

En annan version av beviset är baserad på användningen av algebraiska egenskaper hos kvaternioner [2] .

Teoremet är en lösning på Warings problem för examen . Eftersom talen för formen där inte representeras av summan av tre kvadrater enligt Legendre-satsen på tre kvadrater [3] , ger Lagrange-satsen ett av de två kända värdena för Hardy-funktionen . $n=2$ $4^{m}(8n+7),$ ${\overline {m,n}}={\overline {0,1,2,\;\ldots )),$ $G(2)=4$

Exempel

${\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2};\\31&=5^{2}+2^{2} +1^{2}+1^{2};\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2};\\9&=3^{2} +0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}$

Historik

Uttalandet av satsen dök först upp i Diophantus aritmetik , översatt till latin av Basche 1621 . Ett viktigt lemma för satsen att produkten av summan av fyra kvadrater är summan av fyra kvadrater bevisades av Euler , som var nära beviset för själva Lagrangesatsen [3] och gjorde mycket personligen för Lagrange . Lagrange var dock före Euler och bevisade satsen 1770 .

Anteckningar

↑ Tikhomirov V. M. Kapitel 4. Lagrange och hans fyrkvadratsats // Stora matematiker från det förflutna och deras stora teorem . — 2:a uppl., rättad. - MTSNMO , 2003. - T. 1. - 16 sid. - ( Bibliotek "Matematisk utbildning" ). — ISBN 5-94057-110-7 . Arkiverad 8 juli 2011 på Wayback Machine
↑ Drozd Yu. A. Fyrkvadratsatsen // Mathematics Today / Ed. A. Ya. Dorogovtsev . - K . : Vishcha shkola, 1982. - S. 88-93.
↑ 1 2 Modern Problems of Mathematics: Peer-reviewed upplaga av Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences. - 2008. - Nummer 11. - S. 22.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)