Legendres trekvadratsats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 augusti 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Legendres tre-kvadratsats säger att ett naturligt tal kan representeras av summan av tre kvadrater av heltal

{\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2))

om och endast om n inte kan representeras som , där a och b är heltal. $n=4^{a}(8b+7)$

Särskilt tal som inte kan representeras som summan av tre kvadrater och som kan representeras som , är $n=4^{a}(8b+7)$

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71, ... är OEIS - sekvensen A004215 .

Historik

Pierre de Fermat gav ett kriterium för representabiliteten av tal i formen summan av tre kvadrater, men gav inget bevis. Nicolas de Beguelin märkte 1774 [1] att varje naturligt tal som inte är representativt i formen och i formen är summan av högst tre kvadrater, men gav inget tillfredsställande bevis. [2] År 1796 bevisade Gauss att alla naturliga tal är summan av högst tre triangulära tal . Av detta följer att summan inte är mer än tre kvadrater. 1797 eller 1798 fick Legendre det första beviset för tre-kvadratsatsen. [3] År 1813 noterade Cauchy [4] att Legendres teorem är likvärdig med formuleringen ovan. Tidigare, 1801, fick Gauss ett mer allmänt resultat, [5] vilket resulterade i Legendres teorem. Gauss räknade i synnerhet antalet lösningar för heltals tre kvadratiska ekvationen och generaliserade samtidigt ett annat resultat av Legendre, vars bevis var ofullständigt [6] . Detta var förmodligen anledningen till de felaktiga påståendena om att Legendres bevis var ofullständigt och fullbordat av Gauss. [7] $3n+1$ $8b+7$ $4b$ $8n+3$

Lagranges fyrkvadratsats och trekvadratsatsen ger en fullständig lösning på Warings problem för k = 2.

Bevis

Beviset för att tal inte kan representeras som summan av tre kvadrater är enkelt och följer av det faktum att vilken kvadratmodulo 8 som helst är kongruent med 0, 1 eller 4. $n=4^{a}(8b+7)$

Det finns flera bevis på att resten av talen kan representeras som en summa av tre kvadrater, förutom Legendres bevis. Dirichlets bevis från 1850 har blivit en klassiker. [8] Den är baserad på tre lemman:

Kvadratisk lag om ömsesidighet ,
Dirichlets sats om primtal i aritmetisk progression ,
Ekvivalensklassen för en trivial treterms kvadratisk form .

Koppling till fyrkvadratsatsen

Gauss noterade [9] att trekvadratsatsen gör det lätt att bevisa fyrkvadratsatsen. Beviset för Three Squares Theorem är dock mycket svårare än det direkta beviset för Four Squares Theorem, som först bevisades 1770.

Se även

Fermat-Eulers sats

Anteckningar

↑ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), s. 313–369.
↑ Dixon, Leonard Eugene , History of theory of numbers , vol. II, sid. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, nytryck).
↑ A.-M. Legendre, Essai sur la théorie des nombres , Paris, An VI (1797–1798), P. och pp. 398–399.
↑ A. L. Cauchy, Mem. sci. Matematik. Phys. de l'Institut de France , (1) 14 (1813–1815), 177.
↑ C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae , Art. 291 och 292.
↑ A.-M. Legendre, Hist. et Mem. Acad. Roy. sci. Paris , 1785, sid. 514–515.
↑ Se till exempel: Elena Deza och M. Deza. Figurera siffror . World Scientific 2011, sid. 314 [1] Arkiverad 4 augusti 2018 på Wayback Machine
↑ vol. I, delar I, II och III av: Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , New York, Chelsea, 1927. Andra upplagan översatt till engelska av Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
↑ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, sid. 342, avsnitt 293, ISBN 0-300-09473-6