Fyra rutors identitet

Eulers fyrkvadratidentitet är en nedbrytning av produkten av summan av fyra kvadrater till summan av fyra kvadrater.

Formulering

{\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{ 1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\\&=(a_{1}b_{1}-a_ {2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+ a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\\&+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{ 3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_ {4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}

Denna identitet gäller för delar av alla kommutativa ringar . Men om och är reella tal , då kan identiteten omformuleras i termer av kvaternioner , nämligen: modulen för produkten av två kvaternioner är lika med produkten av modulerna av faktorerna: $a_{i}$ $bi}$

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

Liknande identiteter

"identitet för en kvadrat"

a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}

betyder att modulen för produkten av två reella tal är lika med produkten av modulerna av faktorerna:

|ab|=|a||b|

"identiteten för två rutor" (den så kallade identiteten för Brahmagupta )

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}

betyder att modulen för produkten av två komplexa tal är lika med produkten av modulerna av faktorerna:

|ab|=|a||b|

" identiteten för åtta kvadrater " betyder att modulen för produkten av två oktonjoner är lika med produkten av modulerna av faktorerna: $|ab|=|a||b|$ .

I alla dessa fall är de resulterande funktionerna (vars summa av kvadrater och är lika med produkten av kvadraterna av de ursprungliga summorna) bilinjära funktioner av de ursprungliga variablerna.

Det finns dock ingen liknande "identitet av sexton rutor". Men det finns en liknande (för 2 N kvadrater, där N är vilket naturligt tal som helst) väsentligt annorlunda form, redan bara för rationella funktioner hos de ursprungliga variablerna - enligt A. Pfisters sats. [ett]

Historik

Identiteten introducerades av Euler 1750 - nästan 100 år före tillkomsten av quaternions .

Denna identitet användes av Lagrange i beviset för hans fyra kvadrat summa sats .

Se även

Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler

Anteckningar

↑ Se till exempel: V.V. Prasolov. Polynom arkiverade 4 mars 2016 på Wayback Machine Ch.7 (s.23.2)