Identitet för åtta rutor

Den åtta kvadratiska identiteten är följande identitet , som uttrycker produkten av summan av åtta kvadrater som summan av åtta kvadrater:

${\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5} ^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{ 2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{ 8}^{2})=\\=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{ 5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}+\\+(a_{2}b_{1 }+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8 }b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}+\\+(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3} +a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2} +\\+(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}- a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}+\\+(a_{5}b_{1}-a_{6}b_ {2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_ {4}b_{8})^{2}+\\+(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{ 4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}+\\+(a_{ 7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6 }+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}+\\+(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6 }b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8} )^{2}.\end{aligned}}$

Historik

Först upptäcktes den danske matematikern Ferdinand Degen 1818 , anmärkningsvärda identitet återupptäcktes två gånger : Graves 1843 och Arthur Cayley 1845 . Cayley härledde det medan han arbetade på en generalisering av quaternions , kallade oktonioner . I algebraiska termer betyder identitet att normen för produkten av två oktonioner är lika med produkten av deras normer: . $\|a\cdot b\|=\|a\|\cdot \|b\|$

Ett liknande uttalande gäller för kvaternioner (" identitet av fyra kvadrater "), komplexa tal (" identitet för Diophantus - Brahmagupta - Fibonacci ") och reella tal. År 1898 bevisade Adolf Hurwitz att varken för 16 ( sedenioner ), eller för något antal andra rutor än 1, 2, 4 och 8, en sådan identitet existerar.

Länkar

Degens åtta kvadratiska identitet