Eulers gissning

Eulers gissning säger att för vilket naturligt tal som helst kan ingen n:te potens av ett naturligt tal representeras som summan av de e potenserna av andra naturliga tal. Det vill säga ekvationerna: $n > 2$ $(n-1)$ $n$

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\ a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\summa \limits _{{k=1}}^{{ n-1}}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matris}}

har ingen lösning i naturliga tal. Vederlagt av .

Gissningen gjordes 1769 av Euler som en generalisering av Fermats sista sats , som motsvarar specialfallet n = 3. Således är Eulers gissning sann för n = 3.

Motexempel

n = 5

1966 hittade L. Lander , T. Parkin och J. Selfridge det första motexemplet för n = 5 med CDC 6600- superdatorn : [1] 2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

n = 4

1986 hittade Noam Elkis ett motexempel för fallet n = 4: [3] [4]

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

1988 hittade Roger Frye det minsta motexemplet för n = 4: [5] [4]

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Generaliseringar

1966 antog L. D. Lander , T. R. Parkin Selfridge att om , var finns positiva heltal, , då . $\summa _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\summa _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$ $i={\overline {1,n)),j={\overline {1,m}}$ $m+n\geqslant k$

Om denna hypotes är sann, skulle det i synnerhet innebära att om , då . $\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=b^{k}$ $n\geqslant k-1$

En uppsättning positiva heltal som uppfyller likheten , där , kallas en ( k , n , m )-lösning. Sökandet efter sådana lösningar för olika värden på parametrarna k , n , m utförs av projekten för distribuerad datoranvändning EulerNet [6] och yoyo@home . $\summa _{{i=1}}^{{n}}a_{i}^{k}=\summa _{{j=1}}^{{m}}b_{j}^{k}$ $a_{i}\neq b_{j}$

Se även

Anteckningar

↑ LJ Lander, T.R. Parkin: Motexempel till Eulers gissning om summor av lika krafter . Tjur. amer. Matematik. soc. vol. 72, 1966, sid. 1079
↑ LJ Lander, TR Parkin, JL Selfridge. En undersökning av lika summor av lika potenser // Math . Comp. : journal. - 1967. - Vol. 21 . - s. 446-459 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 .
↑ Noam Elkies. På A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Mathematics of Computing. - 1988. - Vol. 51 , nr. 184 . - s. 825-835 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . — .
↑ 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. Alla lösningar av den diofantiska ekvationen a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 för a,b,c,d,e,f,g < 250000 funna med ett distribuerat Boinc-projekt Arkiverat 3 september 2015 på Wayback Machine , 2011, förtryck.
↑ Frye, Roger E. (1988), Finding 95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 on the Connection Machine , Proceedings of Supercomputing 88, Vol. II: Science and Applications , sid. 106–116 , DOI 10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Arkiverad 9 december 2013 på Wayback Machine .

Länkar

EulerNet Arkiverad 9 december 2013 på Wayback Machine
Euler Conjecture Arkiverad 21 juni 2013 på Wayback Machine