Conway-notationen för polytoper , utvecklad av Conway och främjad av Hart , används för att beskriva polytoper baserade på en frö (dvs. används för att skapa andra) polytop, modifierad av olika prefixoperationer .
Conway och Hart utökade idén om att använda operatorer som Keplers trunkeringsoperator för att skapa anslutna polyedrar med samma symmetri. Grundläggande operatörer kan generera alla arkimedeiska fasta ämnen och katalanska fasta ämnen från rätt frön. Till exempel representerar tC en trunkerad kub och taC, erhållen som t(aC), är en trunkerad oktaeder . Den enklaste dubbla operatören byter ut hörn och ytor. Så den dubbla polyedern för en kub är en oktaeder - dC \ u003d O. Tillämpade sekventiellt tillåter dessa operatorer generering av många högordningspolyedrar. De resulterande polyedrarna kommer att ha en fast topologi (hörn, kanter, ytor), medan den exakta geometrin inte är begränsad.
Fröpolyedrar som är vanliga polyedrar representeras av den första bokstaven i deras (engelska) namn ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = oktaeder, C ube = kub, I cosahedron = icosahedron, D odecahedron = dodecahedron). Dessutom prismor ( P n - från p rism för n -vinklade prismor), antiprismor ( A n - från A ntiprismor), kupoler ( U n - från c u polae), anti- dome ( V n ) och pyramider ( Y n - från p y ramid). Vilken polyeder som helst kan fungera som ett frö om operationer kan utföras på dem. Till exempel kan regelbundna facetterade polyedrar betecknas som J n (från J ohnson solids = Johnson solids ) för n =1…92.
I det allmänna fallet är det svårt att förutsäga resultatet av successiv applicering av två eller flera operationer på en given fröpolyeder. Till exempel är ambooperationen som tillämpas två gånger densamma som expanderingsoperationen, aa = e , medan trunkeringsoperationen efter ambooperationen ger samma som avfasningsoperationen, ta = b . Det finns ingen allmän teori som beskriver vilken typ av polyedrar som kan erhållas med någon uppsättning operatorer. Tvärtom erhölls alla resultat empiriskt .
Elementen i tabellen ges för ett frö med parametrar ( v , e , f ) (hörn, kanter, ytor) omvandlade till nya typer under antagandet att fröet är en konvex polyeder (en topologisk sfär med Euler-karaktäristik 2). Ett exempel baserat på ett kubfrö ges för varje operatör. De grundläggande operationerna är tillräckliga för att generera spegelsymmetriska enhetliga polyedrar och deras dualer. Vissa grundläggande verksamheter kan uttryckas i termer av sammansättningen av andra verksamheter.
Specialtyper
Operationen "kis" har en variant k n , i vilket fall endast pyramider läggs till på ytor med n -sidor . Trunkeringsoperationen har en variant t n , i vilket fall endast hörn av ordningen n trunkeras .Operatörer tillämpas som funktioner från höger till vänster. Till exempel är kuboktaedern en ambo-kub (en kub på vilken ambo-operationen tillämpas), det vill säga t(C) = aC , och den trunkerade kuboktaedern är t(a(C)) = t(aC) = taC .
Chiralitetsoperatör _
Operationerna i tabellen visas på ett exempel på en kub och är ritade på kubens yta. De blå ytorna skär originalkanterna, de rosa ytorna motsvarar de ursprungliga hörnen.
Operatör | Exempel | namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | fasetter | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
utsäde | v | e | f | Initial polyeder | |||
r | reflektera | v | e | f | Spegelbild för kirala former | ||
d | dubbel | f | e | v | Dubbla fröpolyeder - varje vertex skapar ett nytt ansikte | ||
a | ambo | dj djd |
e | 2e _ | f + v | Nya hörn läggs till i mitten av kanterna och gamla hörn skärs av ( korrigera ) Operationen skapar hörn med valens 4. | |
j | Ansluta sig | pappa pappa |
v + f | 2e _ | e | Pyramider med tillräcklig höjd läggs till fröet, så att två trianglar som tillhör olika pyramider och som har en gemensam sida av fröet blir i samma plan (liggande på samma plan) och bildar en ny yta. Operationen skapar fyrkantiga ansikten. | |
k k n |
kis | nd = dz dtd |
v + f | 3e _ | 2e _ | En pyramid läggs till på varje ansikte. Akisering eller kumulation, [1] ökning eller pyramidal expansion . | |
t t n |
stympa | nd = dz dkd |
2e _ | 3e _ | v + f | Trimmer alla hörn. Operationen är konjugerad till kis | |
n | nål | kd = dt dzd |
v + f | 3e _ | 2e _ | Den dubbla polyedern till ett stympat frö. Ytor trianguleras med två trianglar för varje kant. Detta delar upp ytorna genom alla hörn och kanter, samtidigt som de ursprungliga kanterna tas bort. Operationen omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till ( a +2 b , a - b ) för a > b . Den konverterar också ( a ,0) till ( a , a ), ( a , a ) till (3 a ,0), (2,1) till (4,1), etc. | |
z | blixtlås | dk = td dnd |
2e _ | 3e _ | v + f | Den dubbla polytopen till fröet efter operationen kis eller trunkeringen av den dubbla polytopen. Operationen skapar nya kanter som är vinkelräta mot de ursprungliga kanterna. Operationen kallas också bitruncation ( djup trunkering ). Denna operation omvandlar Goldberg-polytopen G ( a , b ) till G ( a +2 b , a - b ) för a > b . Den omvandlar också G ( a ,0) till G ( a , a ), G ( a , a ) till G (3 a ,0), G (2,1) till G (4,1) och så vidare. | |
e | expandera (sträcka ut) |
aa dod = gör |
2e _ | 4e _ | v + e + f | Varje vertex skapar ett nytt ansikte, och varje kant skapar en ny quad. ( kantella = avfasning) | |
o | orto | daa ded = de |
v + e + f | 4e _ | 2e _ | Varje n -gonal yta är uppdelad i n fyrhörningar. | |
rg = g _ |
gyro | dsd = ds | v + 2e + f | 5e _ | 2e _ | Varje n -gonal yta är uppdelad i n femhörningar. | |
s rs = s |
nonchalera | dgd = dg | 2e _ | 5e _ | v + 2e + f | "expansion och torsion" - varje vertex bildar ett nytt ansikte, och varje kant bildar två nya trianglar | |
b | fasa | dkda = ta dmd = dm |
4e _ | 6e _ | v + e + f | Nya ansikten läggs till istället för kanter och hörn. (cantruncation = avfasning-truncation ) | |
m | meta medialt |
kda = kj dbd = db |
v + e + f | 6e _ | 4e _ | Triangulering med tillägg av hörn i mitten av ytor och kanter. |
Alla fem vanliga polytoper kan genereras från prismatiska generatorer med noll till två operatorer:
Den korrekta euklidiska plattsättningen kan också användas som frö:
Kuben kan bilda alla konvexa enhetliga polyedrar med oktaedrisk symmetri . Den första raden visar arkimediska fasta ämnen och den andra visar katalanska fasta ämnen . Den andra raden är utformad som dubbla polyedrar till polyedrarna i den första raden. Om du jämför varje ny polyeder med en kub kan du förstå de visuellt utförda operationerna.
Kub "frö" |
ambo | stympa | blixtlås | bygga ut | fasa | nonchalera |
---|---|---|---|---|---|---|
CdO _ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
aC aO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
tC zO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
zC = dkC toO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
aaC = eCeO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
bC = taC taO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
sC sO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dubbel | Ansluta sig | nål | kis | orto | medial | gyro |
dCO _ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
jC jO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dtC = kdC kO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
kC dtO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
oC oO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
dtaC = mC mO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
gC goO ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
En trunkerad icosahedron , tI eller zD, som är en Goldberg G(2,0) polytop, skapar ytterligare polytoper som varken är vertex- eller ansiktstransitiva .
"utsäde" | ambo | stympa | blixtlås | förlängning | fasa | nonchalera |
---|---|---|---|---|---|---|
zD tI Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine |
azI atI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
tzD ttI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
tdzD tdtI Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine |
aazD = ezD aatI = etI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
bzD btI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
szD stI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
dubbel | Ansluta sig | nål | kis | orto | medial | gyro |
dzD dtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
jzD jtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
kdzD kdtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
kzD ktI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
ozD otI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
mzD mtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
gzD gtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine |
I det allmänna fallet kan ett frö ses som en plattsättning av ytan. Eftersom operatorerna representerar topologiska operationer, är de exakta positionerna för de härledda formernas hörn i allmänhet inte definierade. Konvexa vanliga polytoper som ett frö kan betraktas som plattsättningar av en sfär, och därför kan härledda polytoper anses vara placerade på en sfär. Liksom vanliga plana plattor som hexagonal parkett , kan dessa polyedrar på sfären fungera som ett frö till härledda plattor. Icke-konvexa polyedrar kan bli frön om sammankopplade topologiska ytor definieras för att begränsa positionen för topparna. Till exempel kan toroidformade polyedrar producera andra polyedrar med punkter på samma toriska yta.
D |
tD |
aD |
zD = dkD |
ed |
bD = taD |
SD |
dd |
nD = dtD |
jD = daD |
kD = dtdD |
oD = deD |
mD=dtaD |
gD |
H |
den |
ah |
tdH = H |
eH |
bH = taH |
sH |
dH |
nH = dtH |
jH = daH |
dtdH = kH |
oH = deH |
mH = dtaH |
gH = dsH |
Att blanda två eller flera grundläggande operationer resulterar i en mängd olika former. Det finns många andra derivatoperationer. Till exempel att blanda två ambo, kis eller expandera operationer tillsammans med dubbla operationer. Användning av alternativa operatorer som join, truncate, orto, bevel och medial kan förenkla namnen och ta bort de dubbla operatorerna. Det totala antalet flanker av derivatoperationer kan beräknas i termer av multiplikatorerna för varje enskild operatör.
Operatör(er) | d | a j |
k , tn , z _ |
e o |
gs _ |
a & k | a & e | k & k | k & e k & a 2 |
e & e |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
kantmultiplikator | ett | 2 | 3 | fyra | 5 | 6 | åtta | 9 | 12 | 16 |
Unika derivatoperatorer | åtta | 2 | åtta | tio | 2 |
Operationerna i tabellen visas för en kub (som ett exempel på ett frö) och är ritade på kubens yta. De blå ytorna skär originalkanterna och de rosa ytorna motsvarar de ursprungliga hörnen.
Operatör | Exempel | namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | fasetter | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
utsäde | v | e | f | Initial polyeder | |||
på | akd |
3e _ | 6e _ | v + 2e + f | ambo operation efter trunkering | ||
jk | dak | v + 2e + f | 6e _ | 3e _ | gå med operation efter kis. Liknar orto , förutom att de nya fyrkantiga ytorna sätts in i stället för de ursprungliga kanterna | ||
ak | dagar | 3e _ | 6e _ | v + 2e + f | Operation ambo efter kis. Liknar expandera, förutom att nya hörn läggs till de ursprungliga kanterna och bildar två trianglar. | ||
jt | dakd = dat | v + 2e + f | 6e _ | 3e _ | anslut operation efter trunkering. Den dubbla polyedern till den som erhålls efter operationerna trunkeras, sedan ambo | ||
tj | dka | 4e _ | 6e _ | v + e + f | trunkera sammanfoga | ||
ka | v + e + f | 6e _ | 4e _ | kis ambo | |||
ea eller ae | aaa | 4e _ | 8e _ | v + 3e + f | utökad ambo-drift, trippel ambo-drift | ||
oa eller je | daaa = jjj | v + 3e + f | 8e _ | 4e _ | Orth operation efter ambo, triple join operation | ||
x = kt | upphöja | kdkd dtkd |
v + e + f | 9e _ | 7e _ | Operationer går ut på att trunkera, triangulera, dela kanter i 3 delar och lägga till nya hörn till mitten av de ursprungliga ytorna. Operationen omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till (3 a ,3 b ). | |
y = tk | ryck | dkdk dktd |
v + e + f | 9e _ | 7e _ | Operationer trunkerar kis, expansion med hexagoner runt varje kant Operationen omvandlar Goldberg-polyedern G ( a , b ) till G (3 a ,3 b ). | |
nk | kdk = dtk = ktd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | nål-kyss | ||
tn | dkdkd = dkt = tkd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | stympad nål | ||
tt | dkkd | 7e _ | 9e _ | v + e + f | dubbel trunkerad operation | ||
kk | dttd | v + 2e + f | 9e _ | 6e _ | dubbel operation kis | ||
nt | kkd = dtt | v + e + f | 9e _ | 7e _ | nålen stympas | ||
tz | dkk = ttd | 6e _ | 9e _ | v + 2e + f | trunkerad dragkedja | ||
ke | kaa | v+3e+f | 12e | 8e | Kis expandera | ||
till | dkaa | 8e | 12e | v+3e+f | trunkera ortho | ||
ek | aak | 6e | 12e | v+5e+f | expandera kis | ||
ok | daak = dek | v+5e+f | 12e | 6e | orthokis | ||
et | aadkd | 6e | 12e | v+5e+f | utökad trunkeringsoperation | ||
ot | daadkd = det | v+5e+f | 12e | 6e | orto trunkerat | ||
te eller ba | dkdaa | 8e | 12e | v+3e+f | trunkera expandera | ||
ko eller ma | kdaa = dte ma = mj |
v+3e+f | 12e | 8e | kis ortho | ||
ab eller am | aka = ata | 6e _ | 12e _ | v + 5e + f | ambo avfasning | ||
jb eller jm | daka = data | v + 5e + f | 12e _ | 6e _ | sammanfogad fas | ||
ee | aaaa | v+7e+f | 16e | 8e | dubbelexpandera | ||
oo | daaaa = dee | 8e | 16e | v+7e+f | dubbel-orto |
Det finns andra härledda operationer om gyro används med ambo-, kis- eller expand-operationerna och upp till tre dubbla operationer.
Operatör(er) | d | a | k | e | g | a&g | k&g | t.ex | g&g |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
kantmultiplikator | ett | 2 | 3 | fyra | 5 | tio | femton | tjugo | 25 |
Unika derivatoperatorer | fyra | åtta | fyra | 2 |
Operatör | Exempel | namn | Byggnad | toppar | revben | ansikten | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
utsäde | v | e | f | Initial polyeder | |||
ag | som djsd = djs |
v + 4e + f | 10e _ | 5e _ | ambo gyro | ||
jg | dag = js dasd = das |
5e _ | 10e _ | v + 4e + f | sammanfogade gyro | ||
ga | gj dsjd = dsj |
v + 5e + f | 10e _ | 4e _ | gyro ambo | ||
sa | dga = sj dgjd = dgj |
4e _ | 10e _ | v + 5e + f | snubbig ambo | ||
kg | dtsd = dts | v + 4e + f | 15 e | 10e _ | kis gyro | ||
ts | dkgd = dkg | 10e _ | 15 e | v + 4e + f | stympad snubb | ||
gk | dstd | v + 8e + f | 15 e | 6e _ | gyrokis | ||
st | dgkd | 6e _ | 15 e | v + 8e + f | snubbig trunkering | ||
sk | dgtd | v + 8e + f | 15 e | 6e _ | snubkis | ||
gt | dskd | 6e _ | 15 e | v + 8e + f | gyro trunkering | ||
ks | kdg dtgd = dtg |
v + 4e + f | 15 e | 10e _ | kyss snubb | ||
tg | dkdg dksd |
10e _ | 15 e | v + 4e + f | stympat gyro | ||
t.ex | es aag |
v + 9e + f | 20e _ | 10e _ | utökat gyro | ||
og | os daagd = daag |
10e _ | 20e _ | v + 9e + f | expanderad snubb | ||
ge | gå gaa |
v + 11e + f | 20e _ | 8e _ | gyro expandera | ||
se | så dgaad = dgaa |
8e _ | 20e _ | v + 11e + f | snubb expandera | ||
gg | gs dssd = dss |
v + 14e + f | 25e _ | 10e _ | dubbelgyro | ||
ss | sg dggd = dgg |
10e _ | 25e _ | v + 14e + f | dubbel-snub |
Dessa utökade uttalanden kan inte generiskt skapas med ovanstående grundläggande operationer. Vissa operatorer kan skapas som specialfall med k- och t-operatorer, men tillämpas på vissa ytor och hörn. Till exempel kan en avfasad kub , cC , en,hörntrunkerade4valensmedjCellerdaC,dodekaederrombiskensom,t4daCsomkonstrueras deltoidal hexecontahedron kan konstrueras som deD eller oD med vertex trunkationer med valens trunkationer.
Vissa utökade operatorer bildar en sekvens och ges följt av ett nummer. Till exempel delar ortho en kvadratisk yta i 4 rutor, medan o3 kan dela upp i 9 rutor. o3 är en unik konstruktion, medan o4 kan erhållas som oo , ortooperatorn applicerad två gånger. Loftoperatören kan inkludera ett index, som kis - operatören , för att begränsa tillämpningen till ett ansikte med ett specificerat antal sidor.
Fasoperationen skapar en Goldberg G(2,0) polyhedron med nya hexagoner mellan de ursprungliga ytorna. Successiva avfasningsoperationer skapar G(2n , 0).
Operatör | Exempel | namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | ansikten | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
utsäde | v | e | f | Initial polyeder | |||
c (från c hamfer) | avfasning | dud | v + 2e | 4e _ | f + e | Trunkering av revben. Istället för kanter sätts nya sexkantiga ytor in. Goldberg polyhedron (0,2) | |
- | - | dc | f + e | 4e _ | v + 2e | drift dubbel efter fas | |
u | s du bdelar | dcd | v+e | 4e | f+2e | Ambo- drift medan ursprungliga hörn bevaras Driften liknar Surface Subdivision Loop för triangulära ytor | |
- | CD | f+2e | 4e | v+e | Operation dubbel efter underindelning | ||
lln _ _ |
loft _ | v + 2e | 5e _ | f +2 e | Förlänga varje yta med ett prisma , lägga till en mindre kopia av varje yta med trapetser mellan den inre och yttre ytan. | ||
dl dln _ |
f +2 e | 5e _ | v + 2e | Drift dubbel efter loft | |||
ld l n d |
f +2 e | 5e _ | v + 2e | Operation loft efter dual | |||
dld dl n d |
v + 2e | 5e _ | f +2 e | Drift i samband med loft | |||
dL0 | f + 3e | 6e _ | v + 2e | Drift dubbel efter sammanfogad spets | |||
L0d | f +2 e | 6e _ | v + 3e | fogade-snörsoperation efter dual | |||
dL0d | v + 3e | 6e _ | f +2 e | Operation i samband med sammanfogad spets | |||
q | q in i | v+3e | 6e | f+2e | Ortooperationen följt av trunkering av de hörn som ligger i mitten av de ursprungliga ytorna. Operationen skapar 2 nya femhörningar för varje originalkant. | ||
- | dq | f+2e | 6e | v+3e | Operation dual efter quinto | ||
qd | v+2e | 6e | f+3e | Operation quinto efter dual | |||
- | dqd | f+3e | 6e | v+2e | Operation förknippad med quinto | ||
L0 | sammanfogad-spets | v + 2e | 6e _ | f + 3e | Liknar spetsoperationen, men med nya quad-ytor i stället för originalkanterna | ||
L L n |
L ace | v + 2e | 7e _ | f +4 e | Förlänga varje ansikte med en antiprisma , lägga till en roterad mindre kopia av varje ansikte med trianglar mellan de gamla och nya ansiktena. Ett index kan läggas till för att begränsa operationen till ett ansikte med ett specificerat antal sidor. | ||
dL dLn _ |
f +4 e | 7e _ | v + 2e | dubbel operatör efter snörning | |||
Ld Ld n |
f +2 e | 7e _ | v + 4e | spetsoperatör efter dual | |||
dLd dL n d |
v + 4e | 7e _ | f +2 e | Sekvens av operationer dubbel, spets, dubbel | |||
K K n |
sta K e | v+2e+f | 7e | 4e | Ansiktsuppdelning med centrala fyrhjulingar och trianglar. Ett index kan läggas till för att begränsa operationen till ett ansikte med ett visst antal sidor. | ||
d K dK n |
4e | 7e | v+2e+f | Operation dubbel efter insats | |||
kd | v+2e+f | 7e | 4e | insatsdrift efter dual | |||
d K d | 4e | 7e | v+2e+f | Drift i samband med insats | |||
M3 | kant-medial-3 | v+2e+f | 7e | 4e | Driften liknar m3, men inga diagonala kanter läggs till | ||
dM3 | 4e | 7e | v+2e+f | Dubbel drift efter kant-medial-3 | |||
M3d | v+2e+f | 7e | 4e | kant-medial-3 operation efter dual | |||
dM3d | 4e | 7e | v+2e+f | Operation i samband med kant-medial-3 | |||
M0 | gick medial | v+2e+f | 8e | 5e | Operationen liknar medial, men med tillägg av rombiska ytor i stället för de ursprungliga kanterna. | ||
d M0 | v+2e+f | 8e | 5e | Dubbel drift efter sammanfogad-medial | |||
M0 d | v+2e+f | 8e | 5e | förenad-medial operation efter dual | |||
d M0 d | 5e | 8e | v+2e+f | Operation associerad med joined-medial | |||
m3 | medial-3 | v+2e+f | 9e | 7e | Triangulering som lägger till två hörn per kant och en vertex i mitten av varje yta. | ||
b3 | fas-3 | dm3 | 7e | 9e | v+2e+f | Operation dual efter medial-3 | |
m3d | 7e | 9e | v+2e+f | Operation medial-3 efter dual | |||
dm3d | v+2e+f | 9e | 7e | Operation i samband med medial-3 | |||
o3 | orto-3 | de 3 | v + 4e | 9e _ | f +4 e | Orth operatör med kantdelning med 3 | |
e3 | expandera-3 | gör 3 | f +4 e | 9e _ | v + 4e | utöka operatören med delning av kanter med 3 | |
X | korsa | v + f + 3e | 10e _ | 6e _ | En kombination av kis och subdivide- operationer . De initiala kanterna är uppdelade i hälften och triangulära och fyrsidiga ytor bildas. | ||
dX | 6e _ | 10e _ | v + f + 3e | Operation dubbel efter kors | |||
xd | 6e _ | 10e _ | v + f + 3e | korsdrift efter dual | |||
dXd | v + f + 3e | 10e _ | 6e _ | Operation förknippad med kors | |||
m4 | medialt-4 | v+3e+f | 12e | 8e | Triangulering med 3 hörn läggs till varje kant och hörn till mitten av varje yta. | ||
u5 | underindela-5 | v + 8e | 25e _ | f +16 e | Kanter uppdelade i 5 delar Denna operator delar in kanter och ytor så att 6 trianglar bildas runt varje ny vertex. |
Dessa operatörer kan inte genereras generiskt från de grundläggande operationerna som anges ovan. Den geometriska konstnären Hart skapade en operation som han kallade propellern .
Operatör | Exempel | namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | fasetter | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
"Utsäde" | v | e | f | Initial polyeder | |||
rp = p _ |
propeller | v + 2e | 5e _ | f + 2e | gyrodrift följt av ambo på hörnen i mitten av de ursprungliga ytorna | ||
- | - | dp=pd | f + 2e | 5e _ | v + 2e | Samma hörn som i gyro, men kanter bildas i stället för de ursprungliga hörnen | |
- | 4e _ | 7e _ | v + 2e + f | Operationen liknar snub , men de ursprungliga ansiktena har femhörningar istället för trianglar runt omkretsen. | |||
- | - | - | v + 2e + f | 7e _ | 4e _ | ||
w = w2 = w2,1 rw = w |
virvla | v+ 4e | 7e _ | f+2 e | Operationsgyro följt av trunkering av hörnen i mitten av de ursprungliga ytorna. Operationen skapar 2 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (2,1) Derivatoperatorn wrw omvandlar G(a,b) till G(7a,7b). | ||
rv = v _ |
volym | dwd | f+2 e | 7e _ | v+ 4e | dubbel operatör efter virvel, eller snubb följt av kis på de ursprungliga ansiktena. Den resulterande vrv- operatorn omvandlar den geodetiska polyedern (a,b) till (7a,7b). | |
g3 rg3 = g3 |
gyro-3 | v +6 e | 11 e | f +4 e | Gyrooperationen skapar 3 femhörningar längs varje källkant | ||
s3 rs3 = s3 |
snubb-3 | dg 3 d = dg 3 | f +4 e | 11 e | v +6 e | Den dubbla operationen efter gyro-3, snubboperationen som delar upp kanterna i 4 mitttrianglar och med trianglar i stället för de ursprungliga hörnen | |
w3.1 rw3.1 = w3.1 |
virvel-3.1 | v+ 8e | 13e _ | f+ 4e | Operationen skapar 4 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (3,1) | ||
w3 = w3,2 rw3 = w3 |
virvel-3,2 | v+ 12e | 19e _ | f+ 6e | Operationen skapar 12 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (3,2) |
Dessa expansionsoperationer lämnar de ursprungliga kanterna och gör att operatören kan appliceras på alla oberoende undergrupper av ytor. Conways notation upprätthåller ett ytterligare index för dessa operationer, som indikerar antalet sidor av ansikten som är involverade i operationen.
Operatör | kis | kopp | en kopp | loft | spets | insats | kis-kis |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Exempel | kC | UC | VC | lC | LC | KC | kkC |
revben | 3e _ | 4 e - f 4 | 5 e - f 4 | 5e _ | 6e _ | 7e _ | 9e _ |
Bild på kub |
|||||||
Förlängning | Pyramid | Kupol | antidom | Prisma | antiprisma |
Coxeter / Johnson -operatörer är ibland användbara när de blandas med Conway-operatörer. För tydlighetens skull, i Conways notation, anges dessa operationer med versaler. Coxeter t-notation definierar heta cirklar som index för ett Coxeter-Dynkin-diagram . Sålunda, i tabellen, definierar det stora T med index 0,1,2 homogena operatorer från rätt frö. Index noll representerar hörn, 1 representerar kanter och 2 representerar ytor. För T = T 0.1 kommer detta att vara en normal trunkering, och R = T 1 är en fullständig trunkering, eller korrigera operation , samma som Conways ambo-operatör. Till exempel är r{4,3} eller t 1 {4,3} Coxeter-namnet för kuboktaedern , och den trunkerade kuben är RC , samma som Conways ambo-kub , aC .
Operatör | Exempel | namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | fasetter | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
T0 _ | , t 0 {4,3} | "Utsäde" | v | e | f | fröform | |
R = T1 _ | , t 1 {4,3} | rätta | a | e | 2e _ | f + v | Samma som ambo , nya hörn läggs till i mitten av kanterna och nya ytor ersätter de ursprungliga hörnen. Alla hörn har valens 4. |
T2 _ | , t 2 {4,3} | dubbel dubbelriktad |
d | f | e | v | Den dubbla operationen för fröpolyedern - varje vertex skapar ett nytt ansikte |
T = T0.1 _ | , t 0,1 {4,3} | stympa | t | 2e _ | 3e _ | v + f | Alla hörn är avskurna. |
T 1.2 | , t 1,2 {4,3} | bitruncate | z = td | 2e _ | 3e _ | v + f | Samma som zip |
RR = T 0,2 | , t 0,2 {4,3} | kantellate | aa = e | 2e _ | 4e _ | v + e + f | Samma som expandera |
TR = T 0,1,2 | , t 0.1.2 {4.3} | kan inte springa | ta | 4e _ | 6e _ | v + e + f | Samma som avfasning |
Coxeters semi- eller demioperator , H (från Half ) , reducerar antalet sidor av varje yta med hälften och fyrkantiga sidor till digoner med två kanter som förbinder de två hörnen, och dessa två kanter kan eller inte kan ersättas av en enda kant . Till exempel är halvkuben, h{4,3}, halvkuben HC som representerar en av de två tetraedrarna. Ho förkortar ortho till ambo / Rectify .
Andra semi-operatorer (semi-operatorer) kan definieras med H -operatorn . Conway anropar Coxeters Snub -operatör S , semi-snub definierad som Ht . Conways snub s operatör definieras som SR . Till exempel är SRC en avstötningskub , sr{4,3}. Den snubbade Coxeter- oktaedern , s{3,4} kan definieras som SO , konstruktionen av pyrit-hedrisk symmetri för en vanlig ikosaeder . Detta överensstämmer också med definitionen av en vanlig snub square antiprisma som SA 4.
Semi-gyrooperatorn , G , definieras som dHt . Detta tillåter oss att definiera Conway-rotationsoperatorn g (gyro) som GR . Till exempel är GRC en gyrokub, gC eller en pentagonal icositetrahedron . GO definierar en pyritoeder med pyritedrisk symmetri , medan gT ( gyro tetrahedron ) definierar samma topologiska polyeder med tetraedrisk symmetri .
Båda operatörerna S och G kräver att den nakna polytopen har hörn med jämn valens. I alla dessa semi-operatorer finns det två val för vertexalternering för halvoperatorn . Dessa två konstruktioner är i allmänhet inte topologiskt identiska. Till exempel definierar HjC antingen en kub eller en oktaeder, beroende på vilken uppsättning av hörn som är vald.
De andra operatorerna gäller endast polytoper med ytor som har ett jämnt antal kanter. Den enklaste operatorn är semi-join , som är konjugatet av halvoperatorn , dHd .
Semi -orto-operatorn , F , är konjugerad till semi-snub. Den lägger till en vertex till mitten av ansiktet och halverar alla kanter, men förbinder mitten med bara hälften av kanterna med nya kanter, vilket skapar nya sexkantiga ytor. De ursprungliga fyrkantiga ytorna kräver inte en central vertex, utan kräver bara en kant genom ansiktet, vilket skapar ett par femhörningar. Till exempel kan dodecahedron -tetartoiden konstrueras som FC .
Den semi-expanderande operatorn , E , definieras som Htd eller Hz . Operatören skapar triangulära ytor. Till exempel skapar EC en konstruktion med pyroedrisk symmetri av pseudoikosaedern .
Operatör | Exempel (frö - kub) |
namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | ansikten | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
H = H1H2 _ |
semi-ambo H alf 1 och 2 |
v /2 | e - f 4 | f - f 4 + v /2 | Alternerande , tar bort hälften av hörnen. De fyrkantiga ytorna ( f 4 ) reduceras till enkelkanter. | ||
I = I1 I2 |
semi-truncate 1 och 2 |
v /2+ e | 2e _ | f + v /2 | Trunkerar varannan vertex | ||
halvnål 1 och 2 |
dI | v /2+ f | 2e _ | e + v /2 | Nåldriften för varannan vertex | ||
F = F1 F2 |
semi-orto Flex 1 och 2 |
dHtd = dHz dSd |
v + e + f - f 4 | 3 e - f 4 | e | Operation dual efter semi-expandera - nya hörn skapas på kanter och i mitten av ytor delas 2 n -goner upp i n hexagoner, fyrsidiga ytor ( f 4 ) kommer inte att innehålla en central vertex, så två femkantiga ytor bildas. | |
E = El E2 |
semi-expandera Eco 1 och 2 |
Htd = Hz dF = Sd dGd |
e | 3 e - f 4 | v + e + f - f 4 | Operation dubbel efter semi-orto - nya triangulära ytor skapas. De ursprungliga ytorna ersätts med polygoner med halva sidorna, fyrhörningarna ( f 4 ) reduceras till enkelkanter. | |
U = U 1 U 2 |
halvspets C U p 1 och 2 |
v + e | 4 e - f 4 | 2 e + f - f 4 | Kantförlängning med kupoler . | ||
V = V 1 V 2 |
halvspets Anticup 3 och 4 |
v + e | 5 e - f 4 | 3 e + f - f 4 | Kantförstärkning med anti-dome | ||
semimediala 1 och 2 |
XdH = XJd | v + e + f | 5e _ | 3e _ | Alternativ medial operation med avseende på diagonaler | ||
semimediala 3 och 4 |
v + e + f | 5e _ | 3e _ | Alternativ operation medialt med avseende på medianerna (förbinder mittpunkterna på motsatta sidor) | |||
halvfasade 1 och 2 |
dXdH = dXJd | 3e _ | 5e _ | v + e + f | Alternativ avfasning med avseende på diagonaler | ||
halvfasade 3 och 4 |
3e _ | 5e _ | v + e + f | Alternativ avfasning med avseende på median |
Operatör | Exempel (frö - oktaeder) |
namn | Alternativ konstruktion |
toppar | revben | ansikten | Beskrivning |
---|---|---|---|---|---|---|---|
J = Jl J2 |
semi-join 1 och 2 |
dhd | v - v 4 + f /2 | e - v 4 | f /2 | Operatör konjugera till hälften, gå med operatören på alternerande ytor. 4-valenta hörn ( v 4 ) reduceras till 2-valenta och ersätts av en enda kant. | |
semi-kis 1 och 2 |
gjorde det | v + f /2 | 2e _ | f /2+ e | Operation kis på halva (växelvis, inte vidrör längs en kant) ansikten | ||
halvdragkedja 1 och 2 |
ID | f /2+ e | 2e _ | v + f /2 | Dragkedja på halvsidor | ||
S = SI S2 |
semi-snub 1 och 2 |
Ht dFd |
v - v 4 + e | 3 e - v 4 | f + e | Den dubbla operationen efter semi-gyrot är en snubboperation , som roterar de ursprungliga ytorna samtidigt som nya triangulära ytor läggs till de resulterande luckorna. | |
G = G1 G2 |
semi-gyro 1 och 2 |
dHt dS = Fd dEd |
f + e | 3 e - v 4 | v - v 4 + e | Den dubbla operationen efter semi-snub skapar femkantiga och sexkantiga ytor längs originalkanterna. | |
semimediala 1 och 2 |
XdHd = XJ | 3e _ | 5e _ | v + e + f | Operation medial på halva (kanten som inte rör vid) ytor | ||
halvfasade 1 och 2 |
dXdHd = dXJ | v + e + f | 5e _ | 3e _ | Fasningsoperation på halva (icke-vidrörande) ytor |
Indelningsoperationen delar upp originalkanterna i n nya kanter, och ytornas inre är fyllda med trianglar eller andra polygoner.
Kvadratisk underavdelningOrtooperatorn kan appliceras på en serie potenser av två fyrsidiga underavdelningar. Andra underindelningar kan erhållas som ett resultat av faktoriserade underindelningar. Propelleroperatören, applicerad sekventiellt, resulterar i en 5-orts underindelning. Om fröet har icke-fyrkantiga ytor, förblir de som reducerade kopior för udda ortooperatorer.
Orto | o 2 = o | o 3 | o 4 = o 2 | o 5 = prp |
o 6 = oo 3 | o 7 | o 8 = o 3 | o 9 \ u003d o 3 2 | o 10 = oo 5 = oprp | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Exempel | ||||||||||
Toppar | v | v + e + f | v + 4e | v + 7e + f | v +12 e | v + 17e + f | v + 24e | v + 31e + f | v + 40e | v + 63e + f |
revben | e | 4e _ | 9e _ | 16e _ | 25e _ | 36e _ | 49e _ | 64e _ | 81e _ | 128e _ |
Fasett | f | 2e _ | f +4 e | 8e _ | f + 12e | 18e _ | f + 24e | 32e _ | f + 40e | 64e _ |
Expandera (dubbel) |
e2 = e _ | e 3 | e4 = e2 _ _ | e 5 = dprp |
e 6 = ee 3 | e 7 | e8 = e3 _ _ | e 9 \ u003d e 3 2 | e 10 = ee 5 = doprp | |
Exempel |
Virveloperatorn skapar en Goldberg G(2,1) polyhedron med nya hexagonala ytor runt varje ursprunglig vertex. Två på varandra följande virveloperationer skapar G(3,5). I allmänhet kan virveloperationen transformera G( a , b ) till G( a + 3b ,2a - b ) för a > b och i samma kirala riktning. Om de kirala riktningarna är omvända blir G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) för a >=2 b och G(3 a + b ,2 b - a ) för a < 2 b .
Virveloperatorerna bildar Goldberg-polytoper ( n , n -1) och kan definieras genom att dela upp kanterna på den kala polytopen i 2 n -1 underkanter .
Resultatet av operationen virvel- n och dess invers bildar en (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg polyhedron . wrw är (7,0), w 3 rw 3 är (19,0), w 4 rw 4 är (37,0), w 5 rw 5 är (61,0) och w 6 rw 6 är (91, 0). Resultatet av två virvel- n operationer är (( n -1)(3 n -1),2 n -1) eller (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). Produkten av w a med w b ger (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), och w a av inversen w b ger (3ab-a-2b+1,ab) för en ≥b.
Produkten av två identiska operatorer virvel- n bildar Goldberg-polytopen (( n -1)(3 n -1),2 n -1). Produkten av k-whirl och zip är (3k-2,1).
namn | utsäde | virvla | Virvel-3 | Virvel-4 | Virvel-5 | Virvel-6 | Virvel-7 | Virvel-8 | Virvel-9 | Virvel-10 | Virvel-11 | Virvel-12 | Virvel-13 | Virvel-14 | Virvel-15 | Virvel-16 | Virvel-17 | Virvel-18 | Virvel-19 | Virvel-20 | Virvel- n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Operator (sammansatt) |
- | w=w2 | w3 | w4 | w5 | w6 wrw 3.1 |
w7 | w8 w3,1w3,1 |
w9 ww5,1 |
w10 | w11 | w12 | w13 ww7.2 |
w14 | w15 | w16 ww9.2 |
w17 w3w6,1 |
w18 | w19 w3,1w7,3 |
w20 ww11.3 |
w n |
Goldberg polyhedron | (1,0) | (2.1) | (3.2) | (4.3) | (5.4) | (6,5) | (7,6) | (8,7) | (9,8) | (10,9) | (11.10) | (12.11) | (13.12) | (14.13) | (15.14) | (16.15) | (17.16) | (18.17) | (19.18) | (20.19) | ( n , n - 1) |
T sönderdelning |
ett | 7 | 19 | 37 | 61 | 91 7×13 |
127 | 169 13×13 |
217 7×31 |
271 | 331 | 397 | 469 7×67 |
547 | 631 | 721 7×103 |
817 19×43 |
919 | 1027 13×79 |
1141 7×163 |
3n ( n -1 ) +1 |
Exempel | |||||||||||||||||||||
Vertex | v | v + 4e | v +12 e | v + 24e | v + 40e | v + 60e | v +84 e | v +112 e | v +144 e | v +180 e | v + 220e | v +264 e | v +312 e | v +364 e | v +420 e | v +480 e | v +544 e | v +612 e | v +684 e | v +760 e | v + 2n ( n -1) e |
revben | e | 7e _ | 19e _ | 37 e | 61 e | 91 e | 127e _ | 169 e | 217e _ | 271e _ | 331e _ | 397 e | 469 e | 547 e | 631 e | 721e _ | 817e _ | 919e _ | 1027 e | 1141e _ | e + 3n ( n -1) e |
Fasett | f | f +2 e | f +6 e | f + 12e | f + 20e | f + 30e | f + 42e | f + 56e | f + 72e | f + 90e | f + 110e | f + 132e | f + 156e | f + 182e | f + 210e | f + 240e | f + 272e | f + 306e | f + 342e | f + 380e | f + n ( n - 1) e |
w n w n | (1,0) | (5.3) | (16,5) | (33,7) | (56,9) | (85,11) | (120,13) | (161,15) | (208.17) | (261,19) | (320,21) | (385,23) | (456,25) | (533,27) | (616,29) | (705,31) | (800,33) | (901,35) | (1008,37) | (1121,39) | (( n - 1)( 3n -1), 2n - 1) |
w n r w n | (1,0) | (7,0) | (19,0) | (37,0) | (61,0) | (91,0) | (127,0) | (169,0) | (217,0) | (271,0) | (331,0) | (397,0) | (469,0) | (547,0) | (631,0) | (721,0) | (817,0) | (919,0) | (1027.0) | (1141.0) | (1+ 3n ( n -1),0) |
w n z | (1.1) | (4.1) | (7.1) | (10.1) | (13.1) | (16.1) | (19,1) | (22.1) | (25,1) | (28,1) | (31,1) | (34,1) | (37,1) | (40,1) | (43,1) | (46,1) | (49,1) | (52,1) | (55,1) | (58,1) | ( 3n -2,1) |
Operationen u n delar upp ytorna i trianglar genom att dela upp varje kant i n delar, som kallas n - frekvensdelningen av Buckminster Fullers geodetiska polyeder 2] .
Conway-operatörer på polyedrar kan konstruera många av dessa underavdelningar.
Om alla de ursprungliga ansiktena är trianglar, kommer de nya polyedrarna också att ha alla ansikten som trianglar, och triangulära tessellationer skapas i stället för de ursprungliga ansiktena . Om de ursprungliga polyedrarna har ytor med fler sidor, kommer alla nya ytor inte nödvändigtvis att vara trianglar. I sådana fall kan polyedern först utsättas för kisoperationen med nya hörn i mitten av varje ansikte.
Operatör | u 1 | u2 = u |
u3 = x |
u 4 =uu |
u 5 | u 6 =ux |
u 7 \u003d vrv |
u 8 =uuu |
u9 =
xx |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Exempel | |||||||||
Conway notation |
C Arkiverad 2 februari 2017 på Wayback Machine | uC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | xC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine | uuC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | u 5 C | uxC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | vrvC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | uuuC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | xxC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine |
Toppar | v | v+e | v+e+f | v+4e | v+8e | v+11e+f | v+16e | v+21e | v+26e+f |
revben | e | 4e | 9e | 16e | 25e | 36e | 49e | 64e | 81e |
Fasett | f | f+2e | 7e | f+8e | f+16e | 24e | f+32e | f+42e | 54e |
Full triangulering | |||||||||
Operatör | u 1 k | u 2 k =uk |
u 3 k =xk |
u 4 k =uuk |
u 5 k | u 6 k =uxk |
u 7 k \u003d vrvk |
u 8 k =uuuk |
u 9 k =xxk |
Exempel | |||||||||
Conway | kC Arkiverad 5 februari 2017 på Wayback Machine | ukC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | xkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | uukC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine | u 5 kC | uxkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | vrvkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine | uuukC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine | xxkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine |
Dubbla Goldberg |
{3,n+} 1,1 | {3,n+} 2,2 | {3,n+} 3,3 | {3,n+} 4.4 | {3,n+} 5.5 | {3,n+} 6.6 | {3,n+} 7.7 | {3,n+} 8.8 | {3,n+} 9.9 |
Conways verksamhet kan duplicera en del av Goldberg-polyedrarna och dubbla till geodetiska polyedrar. Antalet hörn, kanter och ytor av Goldberg polyhedron G ( m , n ) kan beräknas från m och n och antalet nya trianglar i varje ursprungliga triangel beräknas med formeln T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 - mn . Konstruktionerna ( m ,0) och ( m , m ) är listade under notationen för Conway-verksamheten.
Klass IFör dubbla Goldberg-polytoper definieras operatorn u k här som en uppdelning av ytor med uppdelning av kanter i k delar. I detta fall är Conway-operatören u = u 2 , och dess adjoint operatör dud är operatörens avfasning , c . Denna operator används i datorgrafik , i Loop-underdelningsschemat . Operatören u 3 ges av Conway-operatorn kt = x , och dess adjoint operator y = dxd = tk . Produkten av två virveloperatorer med kiralitetsomkastning, wrw eller w w , ger en 7-underavdelning i form av en Goldberg-polytop G(7,0), så u 7 = vrv . Mindre underavdelningar och virveloperationer på kirala par kan konstruera ytterligare former av klass I. Operationen w(3,1)rw(3,1) ger Goldberg-polytopen G(13,0). Operationen w(3,2)rw(3,2) ger G(19,0).
( m ,0) | (1,0) | (2.0) | (3.0) | (4.0) | (5,0) | (6,0) | (7,0) | (8,0) | (9,0) | (10,0) | (11,0) | (12,0) | (13,0) | (14,0) | (15,0) | (16,0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | ett | fyra | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 |
Operation Composite |
u 1 | u 2 = u = dcd |
u 3 \ u003d x \ u003d kt |
u 4 = u 2 2 = dccd |
u 5 | u 6 = u 2 u 3 = dctkd |
u 7 = v v = dwrwd |
u 8 = u 2 3 = dcccd |
u 9 = u 3 2 = ktkt |
u 10 = u 2 u 5 | u 11 | u 12 = u 2 2 u 3 = dccdkt |
u 13 v 3.1 v 3.1 |
u 14 = u 2 u 7 = uv v = dcwrwd |
u 15 = u 3 u 5 = u 5 x |
u 16 = u 2 4 = dccccd |
triangulärt ansikte |
||||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
Jag arkiverade 30 december 2016 på Wayback Machine { 3.5+ } 1.0 |
uI = k5aI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 2.0 |
xI = ktI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 3.0 |
u 2 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 4.0 |
{3.5+} 5.0 |
uxI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 6.0 |
vrvI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 7.0 |
u 3 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 8.0 |
x 2 Jag arkiverade 8 januari 2018 på Wayback Machine { 3.5+ } 9.0 |
{3,5+} 10,0 |
{3,5+} 11,0 |
u 2 x I Arkiverad 10 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 12.0 |
{3,5+} 13,0 |
uvrvI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 14.0 |
{3,5+} 15,0 |
u 4 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 16.0 |
Dubbel operatör | c | y = tk |
cc | från 5 | cy = ctk |
ww = ww _ |
ccc | y 2 = tktk |
cc5 _ | från 11 | ccy = cctk |
w 3,1 w 3,1 | cw w = cwrw |
c 5 år | cccc | |
Dodecahedron Conway Goldberg |
D Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 1.0 |
cD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.0 |
yD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 3.0 |
ccD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.0 |
c3D { 5+,3 } 5,0 |
cyD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 6.0 |
wrwD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 7.0 |
cccD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 8.0 |
y 2 D Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 9.0 |
cc 5 D {5+,3} 10,0 |
c 11 D {5+,3} 11,0 |
ccyD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 12.0 |
w3,1rw3,1D {5+,3} 13.0 |
cwrwD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 14.0 |
c 5 yD {5+,3} 15,0 |
ccccD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine G{5+,3} 16.0 |
En ortogonal division kan också definieras med operatorn n = kd . Operatören omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till ( a +2 b , a - b ) för a > b . Den omvandlar ( a ,0) till ( a , a ) och ( a , a ) till (3 a ,0). Operatorn z = dk gör samma sak för Goldberg polyhedra.
( m , m ) | (1.1) | (2.2) | (3.3) | (4.4) | (5,5) | (6,6) | (7,7) | (8,8) | (9,9) | (10.10) | (11.11) | (12.12) | (13.13) | (14.14) | (15.15) | (16.16) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T = m 2 × 3 |
3 1×3 |
12 4×3 |
27 3×3 |
48 24×3 |
75 25×3 |
108 36×3 |
147 49×3 |
192 64×3 |
243 81×3 |
300 100×3 |
363 121×3 |
432 144×3 |
507 169×3 |
588 196×3 |
675 225×3 |
768 256×3 |
Drift | u 1 n n = kd |
u 2 n = un = dct |
u 3 n = xn = ktkd |
u 4 n = u 2 2 n = dcct |
u 5 n | u 6 n = u 2 = u 3 n = dctkt |
u 7 n = v v n = dwrwt |
u 8 n = u 2 3 n = dccct |
u 9 n = u 3 2 n = ktktkd |
u 10 n = u 2 u 5 n |
u 11 n | u 12 n = u 2 2 u 3 n = dcctkt |
u 13 n | u 14 n = u 2 u 7 n = dcwrwt |
u 15 n = u 3 u 5 n |
u 16 n = u 2 4 n = dcccct |
triangulärt ansikte |
||||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 1.1 |
unI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 2.2 |
xnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 3.3 |
u 2 nI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 4.4 |
{3.5+} 5.5 |
uxnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 6.6 |
vrvnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 7.7 |
u 3 nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 8.8 |
x 2 nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 9.9 |
{3.5+} 10.10 |
{3.5+} 11.11 |
u 2 xnI Arkiverad 10 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 12.12 |
{3.5+} 13.13 |
dcwrwdnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 14.14 |
{3.5+} 15.15 |
u 4 nI {3,5+} 16.16 |
Dubbel operatör | z = dk |
cz = cdk |
yz = tkdk |
c2z = ccdk _ _ |
c5z | cyz = ctkdk |
w w z = wrwdk |
c3z = cccdk _ _ |
y 2 z = tktkdk |
cc5z | cllz | c 2 yz = c 2 tkdk |
c13z | cwwz = cwrwdk _ _ |
c3c5z | c4z = ccccdk _ _ |
Dodecahedron Conway Goldberg |
zD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 1.1 |
czD Arkiverad 7 april 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.2 |
yzD Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 3.3 |
cczD Arkiverad 7 april 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.4 |
{5+,3} 5.5 |
cyzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 6.6 |
wrwzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 7.7 |
c 3 zD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 8.8 |
y 2 zD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 9.9 |
{5+,3} 10.10 |
G{5+,3} 11.11 |
ccyzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 12.12 |
{5+,3} 13.13 |
cwrwzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine G{5+,3} 14.14 |
{5+,3} 15.15 |
cccczD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 16.16 |
De flesta geodetiska polytoper och dualerna av Goldberg-polyedrarna G(n,m) kan inte konstrueras med hjälp av operatorer härledda från Conway-operatörer. Virveloperationen skapar en Goldberg-polyeder G(2,1) med nya hexagonala ytor runt varje ursprunglig vertex, och n -virvel producerar G( n , n -1). På former med icosaedrisk symmetri motsvarar t5g i detta fall virvel. Operationen v (= v olut = sväng) representerar den triangulära underavdelningen dual to whirl . På icosahedriska former kan operationen utföras med hjälp av derivatoperatorn k5s , pentakis snub .
Två på varandra följande virveloperationer skapar G(3,5). I allmänhet kan virveloperationen transformera G( a , b ) till G( a + 3b ,2a - b ) för a > b med samma kirala riktning. Om den kirala riktningen är omvänd blir G( a , b ) G( 2a +3 b , a -2 b ) för a >=2 b , och G(3 a + b ,2 b - a ) för a < 2 b .
Operation Composite |
v 2,1 = v |
v 3.1 | v 3,2 = v 3 | v4,1 = vn _ |
v 4,2 = vu |
v 5.1 | v 4,3 = v 4 | v 5,2 = v 3 n |
v 6.1 | v 6,2 = v 3,1 u |
v 5,3 = vv |
v 7,1 = v 3 n |
v 5,4 = v 5 | v 6,3 = vx |
v 7.2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 7 | 13 | 19 | 21 7×3 |
28 7×4 |
31 | 37 | 39 13×3 |
43 | 52 13×4 |
49 7×7 |
57 19×3 |
61 | 63 9×7 |
67 |
triangulärt ansikte |
|||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
vI {3.5+} 2.1 |
v 3.1 I {3.5+} 3.1 |
v 3 I {3.5+} 3.2 |
vnI Arkiverad 3 februari 2017 på Wayback Machine {3.5+} 4.1 |
vui {3.5+} 4.2 |
{3.5+} 5.1 |
v 4 I {3.5+} 4.3 |
v 3 nI {3.5+} 5.2 |
{3.5+} 6.1 |
v 3.1uI { 3.5+ } 6.2 |
vvl {3.5+} 5.3 |
v 3 nI {3.5+} 7.1 |
v 5 I {3.5+} 5.4 |
vxI Arkiverad 8 januari 2018 på Wayback Machine {3.5+} 6.3 |
v 7.2 I {3.5+} 7.2 |
Operatör | w | w 3.1 | w 3 | wz | toalett | w 5,1 | w 4 | w 3,1 z | w 6,1 | w 3,1 s | www | w 3 z | w 5 | wy | w 7,2 |
Conway dodekaeder |
wD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.1 |
w 3.1 D {5+,3} 3.1 |
w 3 D {5+,3} 3,2 |
wzD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.1 |
wcD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.2 |
w 5.1 D {5+,3} 5.1 |
w4D { 5 + ,3} 4.3 |
w 3 zD {5+,3} 5.2 |
{5+,3} 6.1 |
w 3,1 cD {5+,3} 6,2 |
wwD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 5.3 |
w 3 zD {5+,3} 7.1 |
w5D { 5 +,3} 5.4 |
wyD Arkiverad 8 januari 2018 på Wayback Machine {5+,3} 6.3 |
w 7,2 D {5+,3} 7,2 |
Operation Composite |
v 8.1 | v 6,4 = v 3 u |
v 7.3 | v 8,2 = wcz |
v 6,5 = v 6 = vrv 3,1 |
vv 9.1 = vv 3.1 |
v 7.4 | v 8.3 | v 9.2 | v 7.5 | v 10,1 = v 4 n |
v 8,4 = vuu |
v 9,3 = v 3,1 x |
v 7,6 = v 7 | v 8,6 v 4 u |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
T | 73 | 76 19×4 |
79 | 84 7×4×3 |
91 13×7 |
93 | 97 | 103 | 109 | 111 37×3 |
112 7×4×4 |
117 13×9 |
127 | 148 37×4 | |
triangulärt ansikte |
|||||||||||||||
Icosahedron Conway Geodesic |
v 8.1 I {3.5+} 8.1 |
v 3 ui { 3.5+ } 6.4 |
v 7.3 I {3.5+} 7.3 |
vunI {3.5+} 8.2 |
vv3.1I {3.5+} 6.5 |
vrv3.1I {3.5+} 9.1 |
v 7.4 I {3.5+} 7.4 |
v 8.3 I {3.5+} 8.3 |
v 9.2 I {3.5+} 9.2 |
v 7.5 I {3.5+} 7.5 |
v 4 nI {3.5+} 10.1 |
vuui {3.5+} 8.4 |
v 3.1xI { 3.5+ } 9.3 |
v 7 I {3.5+} 7.6 |
v 4 ui { 3.5+ } 8.6 |
Operatör | w 8,1 | wrw 3.1 | w 7,3 | w3,1c | wcz | w 3,1 w | w 7,4 | w 8,3 | w 9,2 | w 7,5 | w 4 z | wcc | w 3,1 år | w 7 | w 4 c |
Conway dodekaeder |
w 8.1 D {5+,3} 8.1 |
w 3 cD {5+,3} 6.4 |
w 7,3 D {5+,3} 7,3 |
wczD {5+,3} 8.2 |
ww3,1D {5+,3} 6.5 |
wrw3,1D {5+,3} 9,1 |
w 7,4 D {5+,3} 7,4 |
w 8,3 D {5+,3} 8,3 |
w 9,2 D {5+,3} 9,2 |
w 7,5 D {5+,3} 7,5 |
w4zD { 5 +,3} 10.1 |
wccD {5+,3} 8.4 |
w 3,1 yD {5+,3} 9,3 |
w 7 D {5+,3} 7.6 |
w 4 cD {5+,3} 8,6 |
Upprepning av operationer, som börjar med en enkel form, kan ge polyedrar med ett stort antal ansikten som bevarar fröets symmetri.
t6dtT
atT
tatT
stT
XT (10e)
dxt (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
Fto
daC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (2e)
cC (4e) * Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine
dcC (4e) * Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine
cO Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (4e)
akC (6e) * Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine
dakC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O(6e)
atC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (6e)
qC(6e)
edaC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (8e)
dktO=tkC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (9e)
taaC (12e) * Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
cdkC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (12e)
ccC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (16e)
tkdkC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (18e)
tatO Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (18e)
tatC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (18e)
l6l8taC Arkiverad 4 mars 2017 på Wayback Machine (22e)
ccdkC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (48e)
wrwC Arkiverad 16 januari 2017 på Wayback Machine (49e)
cccC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (64e)
tktkC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC
wC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (7e)
saC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (10e)
gaC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (10e)
saC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (10e)
stO Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (15e)
stC Arkiverad 4 januari 2017 på Wayback Machine (15e)
kD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
dkD=tI (3e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
cI(4e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
t5daD = cD (4e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
dcI (4e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
dakD (6e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
atD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (6e)
atI = akD (6e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
qD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
tkdD (9e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
gaD (10e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
XI (10e)
XD (10e)
dXI(10e)
dXD (10e)
teD (12e) * Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
cdkD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (12e)
m3aI (12e)
tatI Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine = takD (18e)
tatD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (18e)
atkD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (18e)
m3tD (18e)
qtI Arkiverad 4 mars 2017 på Wayback Machine = t5t6otI (18e)
dqtI Arkiverad 4 mars 2017 på Wayback Machine = k5k6etI (18e)
actI Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (24e)
kdktI Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (27e)
tktI Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (27e)
dctkD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (36e)
ctkD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine (36e)
k6k5tI Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
kt5daD Arkiverad 3 mars 2017 på Wayback Machine
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD
dsD (5e)
SD (5e)
wD(7e)
k5sD (7e)
sAD (10e)
sAD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD(15e)
wtI(21e)
k5k6stI (21e)
t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (sida)
t4daA4=cA4 (överst)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4
Toroidformade plattor finns på en platt torus , på ytan av en duocylinder i 4D-rymden, men kan projiceras in i 3D-rymden som en vanlig torus . Dessa plattsättningar liknar topologiskt delmängder av plattsättningar i det euklidiska planet.
1x1 vanlig kvadratisk torus, {4,4} 1,0
Vanlig 4x4 kvadratisk torus, {4,4} 4,0
tQ24×12 projektion på torus
taQ24×12 torusprojektion
actQ24×8 projektion på torus
tH24×12 torusprojektion
taH24×8 torusprojektion
kH24×12 torusprojektion
tQ
cQ
akQ
HDXQ
dHdXQ
tH
cA
CH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, liksidig