Conway-notation för polyedrar

Conway-notationen för polytoper , utvecklad av Conway och främjad av Hart , används för att beskriva polytoper baserade på en frö (dvs. används för att skapa andra) polytop, modifierad av olika prefixoperationer .

Conway och Hart utökade idén om att använda operatorer som Keplers trunkeringsoperator för att skapa anslutna polyedrar med samma symmetri. Grundläggande operatörer kan generera alla arkimedeiska fasta ämnen och katalanska fasta ämnen från rätt frön. Till exempel representerar tC en trunkerad kub och taC, erhållen som t(aC), är en trunkerad oktaeder . Den enklaste dubbla operatören byter ut hörn och ytor. Så den dubbla polyedern för en kub är en oktaeder - dC \ u003d O. Tillämpade sekventiellt tillåter dessa operatorer generering av många högordningspolyedrar. De resulterande polyedrarna kommer att ha en fast topologi (hörn, kanter, ytor), medan den exakta geometrin inte är begränsad.

Fröpolyedrar som är vanliga polyedrar representeras av den första bokstaven i deras (engelska) namn ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = oktaeder, C ube = kub, I cosahedron = icosahedron, D odecahedron = dodecahedron). Dessutom prismor ( P n - från p rism för n -vinklade prismor), antiprismor ( A n - från A ntiprismor), kupoler ( U n - från c u polae), anti- dome ( V n ) och pyramider ( Y n - från p y ramid). Vilken polyeder som helst kan fungera som ett frö om operationer kan utföras på dem. Till exempel kan regelbundna facetterade polyedrar betecknas som J n (från J ohnson solids = Johnson solids ) för n =1…92.

I det allmänna fallet är det svårt att förutsäga resultatet av successiv applicering av två eller flera operationer på en given fröpolyeder. Till exempel är ambooperationen som tillämpas två gånger densamma som expanderingsoperationen, aa = e , medan trunkeringsoperationen efter ambooperationen ger samma som avfasningsoperationen, ta = b . Det finns ingen allmän teori som beskriver vilken typ av polyedrar som kan erhållas med någon uppsättning operatorer. Tvärtom erhölls alla resultat empiriskt .

Operationer på polytoper

Elementen i tabellen ges för ett frö med parametrar ( v , e , f ) (hörn, kanter, ytor) omvandlade till nya typer under antagandet att fröet är en konvex polyeder (en topologisk sfär med Euler-karaktäristik 2). Ett exempel baserat på ett kubfrö ges för varje operatör. De grundläggande operationerna är tillräckliga för att generera spegelsymmetriska enhetliga polyedrar och deras dualer. Vissa grundläggande verksamheter kan uttryckas i termer av sammansättningen av andra verksamheter.

Specialtyper

Operationen "kis" har en variant k n , i vilket fall endast pyramider läggs till på ytor med n -sidor . Trunkeringsoperationen har en variant t n , i vilket fall endast hörn av ordningen n trunkeras .

Operatörer tillämpas som funktioner från höger till vänster. Till exempel är kuboktaedern en ambo-kub (en kub på vilken ambo-operationen tillämpas), det vill säga t(C) = aC , och den trunkerade kuboktaedern är t(a(C)) = t(aC) = taC .

Chiralitetsoperatör _

Operationerna i tabellen visas på ett exempel på en kub och är ritade på kubens yta. De blå ytorna skär originalkanterna, de rosa ytorna motsvarar de ursprungliga hörnen.

Grundläggande operationer
Operatör Exempel namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben fasetter Beskrivning
utsäde v e f Initial polyeder
r reflektera v e f Spegelbild för kirala former
d dubbel f e v Dubbla fröpolyeder - varje vertex skapar ett nytt ansikte
a ambo dj
djd		 e 2e _ f + v Nya hörn läggs till i mitten av kanterna och gamla hörn skärs av ( korrigera )
Operationen skapar hörn med valens 4.
j Ansluta sig pappa
pappa		 v + f 2e _ e Pyramider med tillräcklig höjd läggs till fröet, så att två trianglar som tillhör olika pyramider och som har en gemensam sida av fröet blir i samma plan (liggande på samma plan) och bildar en ny yta.
Operationen skapar fyrkantiga ansikten.
k
k n		 kis nd = dz
dtd		 v + f 3e _ 2e _ En pyramid läggs till på varje ansikte.
Akisering eller kumulation, [1] ökning eller pyramidal expansion .
t
t n		 stympa nd = dz
dkd		 2e _ 3e _ v + f Trimmer alla hörn.
Operationen är konjugerad till kis
n nål kd = dt
dzd		 v + f 3e _ 2e _ Den dubbla polyedern till ett stympat frö. Ytor trianguleras med två trianglar för varje kant. Detta delar upp ytorna genom alla hörn och kanter, samtidigt som de ursprungliga kanterna tas bort.
Operationen omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till ( a +2 b , a - b ) för a > b .
Den konverterar också ( a ,0) till ( a , a ), ( a , a ) till (3 a ,0), (2,1) till (4,1), etc.
z blixtlås dk = td
dnd		 2e _ 3e _ v + f Den dubbla polytopen till fröet efter operationen kis eller trunkeringen av den dubbla polytopen. Operationen skapar nya kanter som är vinkelräta mot de ursprungliga kanterna. Operationen kallas också bitruncation ( djup trunkering ).
Denna operation omvandlar Goldberg-polytopen G ( a , b ) till G ( a +2 b , a - b ) för a > b .
Den omvandlar också G ( a ,0) till G ( a , a ), G ( a , a ) till G (3 a ,0), G (2,1) till G (4,1) och så vidare.
e expandera
(sträcka ut) 		aa
dod = gör		 2e _ 4e _ v + e + f Varje vertex skapar ett nytt ansikte, och varje kant skapar en ny quad. ( kantella = avfasning)
o orto daa
ded = de		 v + e + f 4e _ 2e _ Varje n -gonal yta är uppdelad i n fyrhörningar.

rg = g _		 gyro dsd = ds v + 2e + f 5e _ 2e _ Varje n -gonal yta är uppdelad i n femhörningar.
s
rs = s		 nonchalera dgd = dg 2e _ 5e _ v + 2e + f "expansion och torsion" - varje vertex bildar ett nytt ansikte, och varje kant bildar två nya trianglar
b fasa dkda = ta
dmd = dm		 4e _ 6e _ v + e + f Nya ansikten läggs till istället för kanter och hörn. (cantruncation = avfasning-truncation )
m meta
medialt 		kda = kj
dbd = db		 v + e + f 6e _ 4e _ Triangulering med tillägg av hörn i mitten av ytor och kanter.

Bildning av korrekta frön

Alla fem vanliga polytoper kan genereras från prismatiska generatorer med noll till två operatorer:

Den korrekta euklidiska plattsättningen kan också användas som frö:

Exempel

Kuben kan bilda alla konvexa enhetliga polyedrar med oktaedrisk symmetri . Den första raden visar arkimediska fasta ämnen och den andra visar katalanska fasta ämnen . Den andra raden är utformad som dubbla polyedrar till polyedrarna i den första raden. Om du jämför varje ny polyeder med en kub kan du förstå de visuellt utförda operationerna.

Kub
"frö"		 ambo stympa blixtlås bygga ut fasa nonchalera

CdO
_
CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
aC
aO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
tC
zO
CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
zC = dkC
toO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel nod 1.png
aaC =
eCeO
CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod 1.png
bC = taC
taO
CDel nod 1.pngCDel 4.pngCDel nod 1.pngCDel 3.pngCDel nod 1.png
sC
sO
CDel nod h.pngCDel 4.pngCDel nod h.pngCDel 3.pngCDel nod h.png
dubbel Ansluta sig nål kis orto medial gyro

dCO
_
CDel nod f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
jC
jO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
dtC =
kdC kO
CDel nod f1.pngCDel 4.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
kC
dtO
CDel node.pngCDel 4.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel nod f1.png
oC
oO
CDel nod f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod f1.png
dtaC = mC
mO
CDel nod f1.pngCDel 4.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel nod f1.png
gC
goO
CDel nod fh.pngCDel 4.pngCDel nod fh.pngCDel 3.pngCDel nod fh.png

En trunkerad icosahedron , tI eller zD, som är en Goldberg G(2,0) polytop, skapar ytterligare polytoper som varken är vertex- eller ansiktstransitiva .

Stympad icosahedron som frö
"utsäde" ambo stympa blixtlås förlängning fasa nonchalera

zD
tI Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
azI
atI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
tzD
ttI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
tdzD
tdtI Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
aazD = ezD
aatI = etI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
bzD
btI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
szD
stI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
dubbel Ansluta sig nål kis orto medial gyro

dzD
dtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
jzD
jtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
kdzD
kdtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
kzD
ktI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
ozD
otI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
mzD
mtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine
gzD
gtI Arkiverad 1 februari 2017 på Wayback Machine

Geometriska koordinater för härledda former

I det allmänna fallet kan ett frö ses som en plattsättning av ytan. Eftersom operatorerna representerar topologiska operationer, är de exakta positionerna för de härledda formernas hörn i allmänhet inte definierade. Konvexa vanliga polytoper som ett frö kan betraktas som plattsättningar av en sfär, och därför kan härledda polytoper anses vara placerade på en sfär. Liksom vanliga plana plattor som hexagonal parkett , kan dessa polyedrar på sfären fungera som ett frö till härledda plattor. Icke-konvexa polyedrar kan bli frön om sammankopplade topologiska ytor definieras för att begränsa positionen för topparna. Till exempel kan toroidformade polyedrar producera andra polyedrar med punkter på samma toriska yta.

Exempel: Dodekaederfrö som en sfärisk plattsättning

D
tD
aD
zD = dkD
ed
bD = taD
SD

dd
nD = dtD
jD = daD
kD = dtdD
oD = deD
mD=dtaD
gD
Exempel: Euklidiskt hexagonalt kakelfrö (H)

H
den
ah
tdH = H
eH
bH = taH
sH

dH
nH = dtH
jH = daH
dtdH = kH
oH = deH
mH = dtaH
gH = dsH

Derivatoperationer

Att blanda två eller flera grundläggande operationer resulterar i en mängd olika former. Det finns många andra derivatoperationer. Till exempel att blanda två ambo, kis eller expandera operationer tillsammans med dubbla operationer. Användning av alternativa operatorer som join, truncate, orto, bevel och medial kan förenkla namnen och ta bort de dubbla operatorerna. Det totala antalet flanker av derivatoperationer kan beräknas i termer av multiplikatorerna för varje enskild operatör.

Operatör(er) d a
j		 k , tn
, z _		 e
o		 gs
_		 a & k a & e k & k k & e
k & a 2		 e & e
kantmultiplikator ett 2 3 fyra 5 6 åtta 9 12 16
Unika derivatoperatorer åtta 2 åtta tio 2

Operationerna i tabellen visas för en kub (som ett exempel på ett frö) och är ritade på kubens yta. De blå ytorna skär originalkanterna och de rosa ytorna motsvarar de ursprungliga hörnen.

Derivatverksamhet
Operatör Exempel namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben fasetter Beskrivning
utsäde v e f Initial polyeder
på akd
 3e _ 6e _ v + 2e + f ambo operation efter trunkering
jk dak v + 2e + f 6e _ 3e _ gå med operation efter kis. Liknar orto , förutom att de nya fyrkantiga ytorna sätts in i stället för de ursprungliga kanterna
ak dagar 3e _ 6e _ v + 2e + f Operation ambo efter kis. Liknar expandera, förutom att nya hörn läggs till de ursprungliga kanterna och bildar två trianglar.
jt dakd = dat v + 2e + f 6e _ 3e _ anslut operation efter trunkering. Den dubbla polyedern till den som erhålls efter operationerna trunkeras, sedan ambo
tj dka 4e _ 6e _ v + e + f trunkera sammanfoga
ka v + e + f 6e _ 4e _ kis ambo
ea eller ae aaa 4e _ 8e _ v + 3e + f utökad ambo-drift, trippel ambo-drift
oa eller je daaa = jjj v + 3e + f 8e _ 4e _ Orth operation efter ambo, triple join operation
x = kt upphöja kdkd
dtkd		 v + e + f 9e _ 7e _ Operationer går ut på att trunkera, triangulera, dela kanter i 3 delar och lägga till nya hörn till mitten av de ursprungliga ytorna.
Operationen omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till (3 a ,3 b ).
y = tk ryck dkdk
dktd		 v + e + f 9e _ 7e _ Operationer trunkerar kis, expansion med hexagoner runt varje kant
Operationen omvandlar Goldberg-polyedern G ( a , b ) till G (3 a ,3 b ).
nk kdk = dtk = ktd 7e _ 9e _ v + e + f nål-kyss
tn dkdkd = dkt = tkd 7e _ 9e _ v + e + f stympad nål
tt dkkd 7e _ 9e _ v + e + f dubbel trunkerad operation
kk dttd v + 2e + f 9e _ 6e _ dubbel operation kis
nt kkd = dtt v + e + f 9e _ 7e _ nålen stympas
tz dkk = ttd 6e _ 9e _ v + 2e + f trunkerad dragkedja
ke kaa v+3e+f 12e 8e Kis expandera
till dkaa 8e 12e v+3e+f trunkera ortho
ek aak 6e 12e v+5e+f expandera kis
ok daak = dek v+5e+f 12e 6e orthokis
et aadkd 6e 12e v+5e+f utökad trunkeringsoperation
ot daadkd = det v+5e+f 12e 6e orto trunkerat
te eller ba dkdaa 8e 12e v+3e+f trunkera expandera
ko eller ma kdaa = dte
ma = mj		 v+3e+f 12e 8e kis ortho
ab eller am aka = ata 6e _ 12e _ v + 5e + f ambo avfasning
jb eller jm daka = data v + 5e + f 12e _ 6e _ sammanfogad fas
ee aaaa v+7e+f 16e 8e dubbelexpandera
oo daaaa = dee 8e 16e v+7e+f dubbel-orto

Kirala derivatoperationer

Det finns andra härledda operationer om gyro används med ambo-, kis- eller expand-operationerna och upp till tre dubbla operationer.

Operatör(er) d a k e g a&g k&g t.ex g&g
kantmultiplikator ett 2 3 fyra 5 tio femton tjugo 25
Unika derivatoperatorer fyra åtta fyra 2
Kirala barnoperationer
Operatör Exempel namn Byggnad toppar revben ansikten Beskrivning
utsäde v e f Initial polyeder
ag som
djsd = djs		 v + 4e + f 10e _ 5e _ ambo gyro
jg dag = js
dasd = das		 5e _ 10e _ v + 4e + f sammanfogade gyro
ga gj
dsjd = dsj		 v + 5e + f 10e _ 4e _ gyro ambo
sa dga = sj
dgjd = dgj		 4e _ 10e _ v + 5e + f snubbig ambo
kg dtsd = dts v + 4e + f 15 e 10e _ kis gyro
ts dkgd = dkg 10e _ 15 e v + 4e + f stympad snubb
gk dstd v + 8e + f 15 e 6e _ gyrokis
st dgkd 6e _ 15 e v + 8e + f snubbig trunkering
sk dgtd v + 8e + f 15 e 6e _ snubkis
gt dskd 6e _ 15 e v + 8e + f gyro trunkering
ks kdg
dtgd = dtg		 v + 4e + f 15 e 10e _ kyss snubb
tg dkdg
dksd		 10e _ 15 e v + 4e + f stympat gyro
t.ex es
aag		 v + 9e + f 20e _ 10e _ utökat gyro
og os
daagd = daag		 10e _ 20e _ v + 9e + f expanderad snubb
ge gå
gaa		 v + 11e + f 20e _ 8e _ gyro expandera
se så
dgaad = dgaa		 8e _ 20e _ v + 11e + f snubb expandera
gg gs
dssd = dss		 v + 14e + f 25e _ 10e _ dubbelgyro
ss sg
dggd = dgg
 10e _ 25e _ v + 14e + f dubbel-snub

Utökade operatorer

Dessa utökade uttalanden kan inte generiskt skapas med ovanstående grundläggande operationer. Vissa operatorer kan skapas som specialfall med k- och t-operatorer, men tillämpas på vissa ytor och hörn. Till exempel kan en avfasad kub , cC , en,hörntrunkerade4valensmedjCellerdaC,dodekaederrombiskensom,t4daCsomkonstrueras deltoidal hexecontahedron kan konstrueras som deD eller oD med vertex trunkationer med valens trunkationer.

Vissa utökade operatorer bildar en sekvens och ges följt av ett nummer. Till exempel delar ortho en kvadratisk yta i 4 rutor, medan o3 kan dela upp i 9 rutor. o3 är en unik konstruktion, medan o4 kan erhållas som oo , ortooperatorn applicerad två gånger. Loftoperatören kan inkludera ett index, som kis - operatören , för att begränsa tillämpningen till ett ansikte med ett specificerat antal sidor.

Fasoperationen skapar en Goldberg G(2,0) polyhedron med nya hexagoner mellan de ursprungliga ytorna. Successiva avfasningsoperationer skapar G(2n , 0).

Avancerade operationer
Operatör Exempel namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben ansikten Beskrivning
utsäde v e f Initial polyeder
c (från c hamfer) avfasning dud v  + 2e  4e _ f  +  e Trunkering av revben.
Istället för kanter sätts nya sexkantiga ytor in.
Goldberg polyhedron (0,2)
- - dc f  +  e 4e _ v  + 2e drift dubbel efter fas
u s du bdelar dcd v+e 4e f+2e Ambo- drift medan ursprungliga hörn bevaras
Driften liknar Surface Subdivision Loop för triangulära ytor
- CD f+2e 4e v+e Operation dubbel efter underindelning
lln
_ _		 loft _ v + 2e  5e _ f +2 e Förlänga varje yta med ett prisma , lägga till en mindre kopia av varje yta med trapetser mellan den inre och yttre ytan.
dl
dln _		 f +2 e  5e _ v + 2e Drift dubbel efter loft
ld
l n d		 f +2 e  5e _ v + 2e Operation loft efter dual
dld
dl n d		 v + 2e  5e _ f +2 e Drift i samband med loft
dL0 f + 3e 6e _ v + 2e Drift dubbel efter sammanfogad spets
L0d f +2 e 6e _ v + 3e fogade-snörsoperation efter dual
dL0d v + 3e 6e _ f +2 e Operation i samband med sammanfogad spets
q q in i v+3e 6e f+2e Ortooperationen följt av trunkering av de hörn som ligger i mitten av de ursprungliga ytorna.
Operationen skapar 2 nya femhörningar för varje originalkant.
- dq f+2e 6e v+3e Operation dual efter quinto
qd v+2e 6e f+3e Operation quinto efter dual
- dqd f+3e 6e v+2e Operation förknippad med quinto
L0 sammanfogad-spets v + 2e 6e _ f + 3e Liknar spetsoperationen, men med nya quad-ytor i stället för originalkanterna
L
L n		 L ace v + 2e 7e _ f +4 e Förlänga varje ansikte med en antiprisma , lägga till en roterad mindre kopia av varje ansikte med trianglar mellan de gamla och nya ansiktena.
Ett index kan läggas till för att begränsa operationen till ett ansikte med ett specificerat antal sidor.
dL
dLn _		 f +4 e 7e _ v + 2e dubbel operatör efter snörning
Ld
Ld n		 f +2 e 7e _ v + 4e spetsoperatör efter dual
dLd
dL n d		 v + 4e 7e _ f +2 e Sekvens av operationer dubbel, spets, dubbel
K
K n		 sta K e v+2e+f 7e 4e Ansiktsuppdelning med centrala fyrhjulingar och trianglar.
Ett index kan läggas till för att begränsa operationen till ett ansikte med ett visst antal sidor.
d K
dK n		 4e 7e v+2e+f Operation dubbel efter insats
kd v+2e+f 7e 4e insatsdrift efter dual
d K d 4e 7e v+2e+f Drift i samband med insats
M3 kant-medial-3 v+2e+f 7e 4e Driften liknar m3, men inga diagonala kanter läggs till
dM3 4e 7e v+2e+f Dubbel drift efter kant-medial-3
M3d v+2e+f 7e 4e kant-medial-3 operation efter dual
dM3d 4e 7e v+2e+f Operation i samband med kant-medial-3
M0 gick medial v+2e+f 8e 5e Operationen liknar medial, men med tillägg av rombiska ytor i stället för de ursprungliga kanterna.
d M0 v+2e+f 8e 5e Dubbel drift efter sammanfogad-medial
M0 d v+2e+f 8e 5e förenad-medial operation efter dual
d M0 d 5e 8e v+2e+f Operation associerad med joined-medial
m3 medial-3 v+2e+f 9e 7e Triangulering som lägger till två hörn per kant och en vertex i mitten av varje yta.
b3 fas-3 dm3 7e 9e v+2e+f Operation dual efter medial-3
m3d 7e 9e v+2e+f Operation medial-3 efter dual
dm3d v+2e+f 9e 7e Operation i samband med medial-3
o3 orto-3 de 3 v + 4e 9e _ f +4 e Orth operatör med kantdelning med 3
e3 expandera-3 gör 3 f +4 e 9e _ v + 4e utöka operatören med delning av kanter med 3
X korsa v + f + 3e 10e _ 6e _ En kombination av kis och subdivide- operationer . De initiala kanterna är uppdelade i hälften och triangulära och fyrsidiga ytor bildas.
dX 6e _ 10e _ v + f + 3e Operation dubbel efter kors
xd 6e _ 10e _ v + f + 3e korsdrift efter dual
dXd v + f + 3e 10e _ 6e _ Operation förknippad med kors
m4 medialt-4 v+3e+f 12e 8e Triangulering med 3 hörn läggs till varje kant och hörn till mitten av varje yta.
u5 underindela-5 v + 8e 25e _ f +16 e Kanter uppdelade i 5 delar
Denna operator delar in kanter och ytor så att 6 trianglar bildas runt varje ny vertex.

Utökade kirala operatorer

Dessa operatörer kan inte genereras generiskt från de grundläggande operationerna som anges ovan. Den geometriska konstnären Hart skapade en operation som han kallade propellern .

Avancerade kirala operationer
Operatör Exempel namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben fasetter Beskrivning
"Utsäde" v e f Initial polyeder

rp = p _		 propeller v  + 2e 5e _ f  + 2e gyrodrift följt av ambo på hörnen i mitten av de ursprungliga ytorna
- - dp=pd f  + 2e 5e _ v  + 2e Samma hörn som i gyro, men kanter bildas i stället för de ursprungliga hörnen
- 4e _ 7e _ v + 2e + f Operationen liknar snub , men de ursprungliga ansiktena har femhörningar istället för trianglar runt omkretsen.
- - - v + 2e + f 7e _ 4e _
w = w2 = w2,1
rw = w		 virvla v+ 4e 7e _ f+2 e Operationsgyro följt av trunkering av hörnen i mitten av de ursprungliga ytorna.
Operationen skapar 2 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (2,1) Derivatoperatorn wrw
omvandlar G(a,b) till G(7a,7b).

rv = v _		 volym dwd f+2 e 7e _ v+ 4e dubbel operatör efter virvel, eller snubb följt av kis på de ursprungliga ansiktena.
Den resulterande vrv- operatorn omvandlar den geodetiska polyedern (a,b) till (7a,7b).
g3
rg3 = g3		 gyro-3 v +6 e 11 e f +4 e Gyrooperationen skapar 3 femhörningar längs varje källkant
s3
rs3 = s3		 snubb-3 dg 3 d = dg 3 f +4 e 11 e v +6 e Den dubbla operationen efter gyro-3, snubboperationen som delar upp kanterna i 4 mitttrianglar och med trianglar i stället för de ursprungliga hörnen
w3.1
rw3.1 = w3.1		 virvel-3.1 v+ 8e 13e _ f+ 4e Operationen skapar 4 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (3,1)
w3 = w3,2
rw3 = w3		 virvel-3,2 v+ 12e 19e _ f+ 6e Operationen skapar 12 nya hexagoner för varje originalkant, Goldberg polyhedron (3,2)

Operationer som bevarar ursprungliga kanter

Dessa expansionsoperationer lämnar de ursprungliga kanterna och gör att operatören kan appliceras på alla oberoende undergrupper av ytor. Conways notation upprätthåller ett ytterligare index för dessa operationer, som indikerar antalet sidor av ansikten som är involverade i operationen.

Operatör kis kopp en kopp loft spets insats kis-kis
Exempel kC UC VC lC LC KC kkC
revben 3e _ 4 e - f 4 5 e - f 4 5e _ 6e _ 7e _ 9e _
Bild
på kub
Förlängning Pyramid Kupol antidom Prisma antiprisma

Coxeter-operatorer

Coxeter / Johnson -operatörer är ibland användbara när de blandas med Conway-operatörer. För tydlighetens skull, i Conways notation, anges dessa operationer med versaler. Coxeter t-notation definierar heta cirklar som index för ett Coxeter-Dynkin-diagram . Sålunda, i tabellen, definierar det stora T med index 0,1,2 homogena operatorer från rätt frö. Index noll representerar hörn, 1 representerar kanter och 2 representerar ytor. För T = T 0.1 kommer detta att vara en normal trunkering, och R = T 1 är en fullständig trunkering, eller korrigera operation , samma som Conways ambo-operatör. Till exempel är r{4,3} eller t 1 {4,3} Coxeter-namnet för kuboktaedern , och den trunkerade kuben är RC , samma som Conways ambo-kub , aC .

Utökad Coxeter-verksamhet
Operatör Exempel namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben fasetter Beskrivning
T0 _ , t 0 {4,3} "Utsäde" v e f fröform
R = T1 _ , t 1 {4,3} rätta a e 2e _ f + v Samma som ambo , nya hörn läggs till i mitten av kanterna och nya ytor ersätter de ursprungliga hörnen.
Alla hörn har valens 4.
T2 _ , t 2 {4,3} dubbel
dubbelriktad 		d f e v Den dubbla operationen för fröpolyedern - varje vertex skapar ett nytt ansikte
T = T0.1 _ , t 0,1 {4,3} stympa t 2e _ 3e _ v + f Alla hörn är avskurna.
T 1.2 , t 1,2 {4,3} bitruncate z = td 2e _ 3e _ v + f Samma som zip
RR = T 0,2 , t 0,2 {4,3} kantellate aa = e 2e _ 4e _ v + e + f Samma som expandera
TR = T 0,1,2 , t 0.1.2 {4.3} kan inte springa ta 4e _ 6e _ v + e + f Samma som avfasning

Semioperatorer

Coxeters semi- eller demioperator , H (från Half ) , reducerar antalet sidor av varje yta med hälften och fyrkantiga sidor till digoner med två kanter som förbinder de två hörnen, och dessa två kanter kan eller inte kan ersättas av en enda kant . Till exempel är halvkuben, h{4,3}, halvkuben HC som representerar en av de två tetraedrarna. Ho förkortar ortho till ambo / Rectify .

Andra semi-operatorer (semi-operatorer) kan definieras med H -operatorn . Conway anropar Coxeters Snub -operatör S , semi-snub definierad som Ht . Conways snub s operatör definieras som SR . Till exempel är SRC en avstötningskub , sr{4,3}. Den snubbade Coxeter- oktaedern , s{3,4} kan definieras som SO , konstruktionen av pyrit-hedrisk symmetri för en vanlig ikosaeder . Detta överensstämmer också med definitionen av en vanlig snub square antiprisma som SA 4.

Semi-gyrooperatorn , G , definieras som dHt . Detta tillåter oss att definiera Conway-rotationsoperatorn g (gyro) som GR . Till exempel är GRC en gyrokub, gC eller en pentagonal icositetrahedron . GO definierar en pyritoeder med pyritedrisk symmetri , medan gT ( gyro tetrahedron ) definierar samma topologiska polyeder med tetraedrisk symmetri .

Båda operatörerna S och G kräver att den nakna polytopen har hörn med jämn valens. I alla dessa semi-operatorer finns det två val för vertexalternering för halvoperatorn . Dessa två konstruktioner är i allmänhet inte topologiskt identiska. Till exempel definierar HjC antingen en kub eller en oktaeder, beroende på vilken uppsättning av hörn som är vald.

De andra operatorerna gäller endast polytoper med ytor som har ett jämnt antal kanter. Den enklaste operatorn är semi-join , som är konjugatet av halvoperatorn , dHd .

Semi -orto-operatorn , F , är konjugerad till semi-snub. Den lägger till en vertex till mitten av ansiktet och halverar alla kanter, men förbinder mitten med bara hälften av kanterna med nya kanter, vilket skapar nya sexkantiga ytor. De ursprungliga fyrkantiga ytorna kräver inte en central vertex, utan kräver bara en kant genom ansiktet, vilket skapar ett par femhörningar. Till exempel kan dodecahedron -tetartoiden konstrueras som FC .

Den semi-expanderande operatorn , E , definieras som Htd eller Hz . Operatören skapar triangulära ytor. Till exempel skapar EC en konstruktion med pyroedrisk symmetri av pseudoikosaedern .

Halvoperatorer på polyedrar med ytor som har ett jämnt antal sidor
Operatör Exempel
(frö - kub)		 namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben ansikten Beskrivning
H = H1H2
_		 semi-ambo
H alf
1 och 2 		v /2 e - f 4 f - f 4 + v /2 Alternerande , tar bort hälften av hörnen.
De fyrkantiga ytorna ( f 4 ) reduceras till enkelkanter.
I = I1
I2		 semi-truncate
1 och 2 		v /2+ e 2e _ f + v /2 Trunkerar varannan vertex
halvnål
1 och 2 		dI v /2+ f 2e _ e + v /2 Nåldriften för varannan vertex
F = F1
F2		 semi-orto Flex
1 och
2 		dHtd = dHz
dSd		 v + e + f - f 4 3 e - f 4 e Operation dual efter semi-expandera - nya hörn skapas på kanter och i mitten av ytor delas 2 n -goner upp i n hexagoner, fyrsidiga ytor ( f 4 ) kommer inte att innehålla en central vertex, så två femkantiga ytor bildas.
E = El
E2		 semi-expandera
Eco
1 och 2		 Htd = Hz
dF = Sd
dGd		 e 3 e - f 4 v + e + f - f 4 Operation dubbel efter semi-orto - nya triangulära ytor skapas. De ursprungliga ytorna ersätts med polygoner med halva sidorna, fyrhörningarna ( f 4 ) reduceras till enkelkanter.
U = U 1
U 2		 halvspets
C U p
1 och 2		 v + e 4 e - f 4 2 e + f - f 4 Kantförlängning med kupoler .
V = V 1
V 2		 halvspets
Anticup
3 och 4		 v + e 5 e - f 4 3 e + f - f 4 Kantförstärkning med anti-dome
semimediala
1 och 2 		XdH = XJd v + e + f 5e _ 3e _ Alternativ medial operation med avseende på diagonaler
semimediala
3 och 4 		v + e + f 5e _ 3e _ Alternativ operation medialt med avseende på medianerna (förbinder mittpunkterna på motsatta sidor)
halvfasade
1 och 2 		dXdH = dXJd 3e _ 5e _ v + e + f Alternativ avfasning med avseende på diagonaler
halvfasade
3 och 4 		3e _ 5e _ v + e + f Alternativ avfasning med avseende på median
Halvoperationer på polyedrar med hörn av jämn valens
Operatör Exempel
(frö - oktaeder)		 namn Alternativ
konstruktion		 toppar revben ansikten Beskrivning
J = Jl
J2		 semi-join
1 och 2 		dhd v - v 4 + f /2 e - v 4 f /2 Operatör konjugera till hälften, gå med operatören på alternerande ytor.
4-valenta hörn ( v 4 ) reduceras till 2-valenta och ersätts av en enda kant.
semi-kis
1 och 2 		gjorde det v + f /2 2e _ f /2+ e Operation kis på halva (växelvis, inte vidrör längs en kant) ansikten
halvdragkedja
1 och 2 		ID f /2+ e 2e _ v + f /2 Dragkedja på halvsidor
S = SI
S2		 semi-snub
1 och 2		 Ht
dFd		 v - v 4 + e 3 e - v 4 f + e Den dubbla operationen efter semi-gyrot är en snubboperation , som roterar de ursprungliga ytorna samtidigt som nya triangulära ytor läggs till de resulterande luckorna.
G = G1
G2		 semi-gyro
1 och 2		 dHt
dS = Fd
dEd		 f + e 3 e - v 4 v - v 4 + e Den dubbla operationen efter semi-snub skapar femkantiga och sexkantiga ytor längs originalkanterna.
semimediala
1 och 2 		XdHd = XJ 3e _ 5e _ v + e + f Operation medial på halva (kanten som inte rör vid) ytor
halvfasade
1 och 2 		dXdHd = dXJ v + e + f 5e _ 3e _ Fasningsoperation på halva (icke-vidrörande) ytor

Underavdelningar

Indelningsoperationen delar upp originalkanterna i n nya kanter, och ytornas inre är fyllda med trianglar eller andra polygoner.

Kvadratisk underavdelning

Ortooperatorn kan appliceras på en serie potenser av två fyrsidiga underavdelningar. Andra underindelningar kan erhållas som ett resultat av faktoriserade underindelningar. Propelleroperatören, applicerad sekventiellt, resulterar i en 5-orts underindelning. Om fröet har icke-fyrkantiga ytor, förblir de som reducerade kopior för udda ortooperatorer.

Kubexempel
Orto o 2 = o o 3 o 4 = o 2 o 5
= prp		 o 6 = oo 3 o 7 o 8 = o 3 o 9 \ u003d o 3 2 o 10 = oo 5
= oprp
Exempel
Toppar v v + e + f v + 4e v + 7e + f v +12 e v + 17e + f v + 24e v + 31e + f v + 40e v + 63e + f
revben e 4e _ 9e _ 16e _ 25e _ 36e _ 49e _ 64e _ 81e _ 128e _
Fasett f 2e _ f +4 e 8e _ f + 12e 18e _ f + 24e 32e _ f + 40e 64e _
Expandera
(dubbel)		 e2 = e _ e 3 e4 = e2 _ _ e 5
= dprp		 e 6 = ee 3 e 7 e8 = e3 _ _ e 9 \ u003d e 3 2 e 10 = ee 5
= doprp
Exempel
Kiral hexagonal underavdelning

Virveloperatorn skapar en Goldberg G(2,1) polyhedron med nya hexagonala ytor runt varje ursprunglig vertex. Två på varandra följande virveloperationer skapar G(3,5). I allmänhet kan virveloperationen transformera G( a , b ) till G( a + 3b ,2a - b ) för a > b och i samma kirala riktning. Om de kirala riktningarna är omvända blir G( a , b ) G(2 a +3 b , a -2 b ) för a >=2 b och G(3 a + b ,2 b - a ) för a < 2 b .

Virveloperatorerna bildar Goldberg-polytoper ( n , n -1) och kan definieras genom att dela upp kanterna på den kala polytopen i 2 n -1 underkanter .

Resultatet av operationen virvel- n och dess invers bildar en (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg polyhedron . wrw är (7,0), w 3 rw 3 är (19,0), w 4 rw 4 är (37,0), w 5 rw 5 är (61,0) och w 6 rw 6 är (91, 0). Resultatet av två virvel- n operationer är (( n -1)(3 n -1),2 n -1) eller (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). Produkten av w a med w b ger (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), och w a av inversen w b ger (3ab-a-2b+1,ab) för en ≥b.

Produkten av två identiska operatorer virvel- n bildar Goldberg-polytopen (( n -1)(3 n -1),2 n -1). Produkten av k-whirl och zip är (3k-2,1).

virvel- operatörer
namn utsäde virvla Virvel-3 Virvel-4 Virvel-5 Virvel-6 Virvel-7 Virvel-8 Virvel-9 Virvel-10 Virvel-11 Virvel-12 Virvel-13 Virvel-14 Virvel-15 Virvel-16 Virvel-17 Virvel-18 Virvel-19 Virvel-20 Virvel- n
Operator
(sammansatt)		 - w=w2 w3 w4 w5 w6
wrw 3.1		 w7 w8
w3,1w3,1		 w9
ww5,1		 w10 w11 w12 w13
ww7.2		 w14 w15 w16
ww9.2		 w17
w3w6,1		 w18 w19
w3,1w7,3		 w20
ww11.3		 w n
Goldberg polyhedron (1,0) (2.1) (3.2) (4.3) (5.4) (6,5) (7,6) (8,7) (9,8) (10,9) (11.10) (12.11) (13.12) (14.13) (15.14) (16.15) (17.16) (18.17) (19.18) (20.19) ( n , n - 1)
T
sönderdelning 		ett 7 19 37 61 91
7×13		 127 169
13×13		 217
7×31		 271 331 397 469
7×67		 547 631 721
7×103		 817
19×43		 919 1027
13×79		 1141
7×163		 3n ( n -1 ) +1
Exempel
Vertex v v + 4e v +12 e v + 24e v + 40e v + 60e v +84 e v +112 e v +144 e v +180 e v + 220e v +264 e v +312 e v +364 e v +420 e v +480 e v +544 e v +612 e v +684 e v +760 e v + 2n ( n -1) e
revben e 7e _ 19e _ 37 e 61 e 91 e 127e _ 169 e 217e _ 271e _ 331e _ 397 e 469 e 547 e 631 e 721e _ 817e _ 919e _ 1027 e 1141e _ e + 3n ( n -1) e
Fasett f f +2 e f +6 e f + 12e f + 20e f + 30e f + 42e f + 56e f + 72e f + 90e f + 110e f + 132e f + 156e f + 182e f + 210e f + 240e f + 272e f + 306e f + 342e f + 380e f + n ( n - 1) e
w n w n (1,0) (5.3) (16,5) (33,7) (56,9) (85,11) (120,13) (161,15) (208.17) (261,19) (320,21) (385,23) (456,25) (533,27) (616,29) (705,31) (800,33) (901,35) (1008,37) (1121,39) (( n - 1)( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n (1,0) (7,0) (19,0) (37,0) (61,0) (91,0) (127,0) (169,0) (217,0) (271,0) (331,0) (397,0) (469,0) (547,0) (631,0) (721,0) (817,0) (919,0) (1027.0) (1141.0) (1+ 3n ( n -1),0)
w n z (1.1) (4.1) (7.1) (10.1) (13.1) (16.1) (19,1) (22.1) (25,1) (28,1) (31,1) (34,1) (37,1) (40,1) (43,1) (46,1) (49,1) (52,1) (55,1) (58,1) ( 3n -2,1)
Triangulerad underavdelning

Operationen u n delar upp ytorna i trianglar genom att dela upp varje kant i n delar, som kallas n - frekvensdelningen av Buckminster Fullers geodetiska polyeder 2] .

Conway-operatörer på polyedrar kan konstruera många av dessa underavdelningar.

Om alla de ursprungliga ansiktena är trianglar, kommer de nya polyedrarna också att ha alla ansikten som trianglar, och triangulära tessellationer skapas i stället för de ursprungliga ansiktena . Om de ursprungliga polyedrarna har ytor med fler sidor, kommer alla nya ytor inte nödvändigtvis att vara trianglar. I sådana fall kan polyedern först utsättas för kisoperationen med nya hörn i mitten av varje ansikte.

Exempel på underavdelningar i en kub
Operatör u 1 u2 =
u		 u3 =
x		 u 4
=uu		 u 5 u 6
=ux		 u 7
\u003d vrv		 u 8
=uuu		 u9 = xx
Exempel

Conway notation		 C Arkiverad 2 februari 2017 på Wayback Machine uC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine xC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine uuC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine u 5 C uxC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine vrvC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine uuuC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine xxC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine
Toppar v v+e v+e+f v+4e v+8e v+11e+f v+16e v+21e v+26e+f
revben e 4e 9e 16e 25e 36e 49e 64e 81e
Fasett f f+2e 7e f+8e f+16e 24e f+32e f+42e 54e
Full triangulering
Operatör u 1 k u 2 k
=uk		 u 3 k
=xk		 u 4 k
=uuk		 u 5 k u 6 k
=uxk		 u 7 k
\u003d vrvk		 u 8 k
=uuuk		 u 9 k
=xxk
Exempel
Conway kC Arkiverad 5 februari 2017 på Wayback Machine ukC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine xkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine uukC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine u 5 kC uxkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine vrvkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine uuukC Arkiverad 16 mars 2017 på Wayback Machine xxkC Arkiverad 15 mars 2017 på Wayback Machine
Dubbla
Goldberg		 {3,n+} 1,1 {3,n+} 2,2 {3,n+} 3,3 {3,n+} 4.4 {3,n+} 5.5 {3,n+} 6.6 {3,n+} 7.7 {3,n+} 8.8 {3,n+} 9.9
Geodesiska polyedrar

Conways verksamhet kan duplicera en del av Goldberg-polyedrarna och dubbla till geodetiska polyedrar. Antalet hörn, kanter och ytor av Goldberg polyhedron G ( m , n ) kan beräknas från m och n och antalet nya trianglar i varje ursprungliga triangel beräknas med formeln T  =  m 2  +  mn  +  n 2  = ( m  +  n ) 2  -  mn . Konstruktionerna ( m ,0) och ( m , m ) är listade under notationen för Conway-verksamheten.

Klass I

För dubbla Goldberg-polytoper definieras operatorn u k här som en uppdelning av ytor med uppdelning av kanter i k delar. I detta fall är Conway-operatören u = u 2 , och dess adjoint operatör dud är operatörens avfasning , c . Denna operator används i datorgrafik , i Loop-underdelningsschemat . Operatören u 3 ges av Conway-operatorn kt = x , och dess adjoint operator y = dxd = tk . Produkten av två virveloperatorer med kiralitetsomkastning, wrw eller w w , ger en 7-underavdelning i form av en Goldberg-polytop G(7,0), så u 7 = vrv . Mindre underavdelningar och virveloperationer på kirala par kan konstruera ytterligare former av klass I. Operationen w(3,1)rw(3,1) ger Goldberg-polytopen G(13,0). Operationen w(3,2)rw(3,2) ger G(19,0).

Klass I: Indelningsoperationer på ikosaedern som geodetiska polyedrar
( m ,0) (1,0) (2.0) (3.0) (4.0) (5,0) (6,0) (7,0) (8,0) (9,0) (10,0) (11,0) (12,0) (13,0) (14,0) (15,0) (16,0)
T ett fyra 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256
Operation
Composite 		u 1 u 2 = u
= dcd 		u 3 \ u003d x
\ u003d kt 		u 4
= u 2 2
= dccd 		u 5 u 6 = u 2 u 3
= dctkd 		u 7
= v v
= dwrwd 		u 8 = u 2 3
= dcccd 		u 9 = u 3 2
= ktkt 		u 10 = u 2 u 5 u 11 u 12 = u 2 2 u 3
= dccdkt 		u 13
v 3.1 v 3.1 		u 14 = u 2 u 7
= uv v
= dcwrwd 		u 15 = u 3 u 5
= u 5 x 		u 16 = u 2 4
= dccccd
triangulärt
ansikte
Icosahedron
Conway
Geodesic
Jag arkiverade 30 december 2016 på Wayback Machine { 3.5+ } 1.0
uI = k5aI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 2.0
xI = ktI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{3.5+} 3.0
u 2 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 4.0
 
{3.5+} 5.0
uxI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 6.0
vrvI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 7.0
u 3 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 8.0
x 2 Jag arkiverade 8 januari 2018 på Wayback Machine { 3.5+ } 9.0
 
{3,5+} 10,0
 
{3,5+} 11,0
u 2 x I Arkiverad 10 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 12.0
 
{3,5+} 13,0
uvrvI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 14.0
 
{3,5+} 15,0
u 4 I Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Dubbel operatör c y
= tk		 cc från 5 cy
= ctk		 ww
= ww _		 ccc y 2
= tktk		 cc5 _ från 11 ccy
= cctk		 w 3,1 w 3,1 cw w
= cwrw		 c 5 år cccc
Dodecahedron
Conway
Goldberg
D Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 1.0
cD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 2.0
yD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 3.0
ccD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 4.0
c3D {
5+,3 } 5,0
cyD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 6.0
wrwD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 7.0
cccD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 8.0
y 2 D Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 9.0
cc 5 D
{5+,3} 10,0
c 11 D
{5+,3} 11,0
ccyD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 12.0
w3,1rw3,1D
{5+,3} 13.0
cwrwD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 14.0
c 5 yD
{5+,3} 15,0
ccccD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
G{5+,3} 16.0
Klass II

En ortogonal division kan också definieras med operatorn n = kd . Operatören omvandlar den geodetiska polytopen ( a , b ) till ( a +2 b , a - b ) för a > b . Den omvandlar ( a ,0) till ( a , a ) och ( a , a ) till (3 a ,0). Operatorn z = dk gör samma sak för Goldberg polyhedra.

Klass II: Ortogonal indelningsverksamhet
( m , m ) (1.1) (2.2) (3.3) (4.4) (5,5) (6,6) (7,7) (8,8) (9,9) (10.10) (11.11) (12.12) (13.13) (14.14) (15.15) (16.16)
T =
m 2 × 3		 3
1×3		 12
4×3		 27
3×3		 48
24×3		 75
25×3		 108
36×3		 147
49×3		 192
64×3		 243
81×3		 300
100×3		 363
121×3		 432
144×3		 507
169×3		 588
196×3		 675
225×3		 768
256×3
Drift u 1 n
n
= kd 		u 2 n
= un
= dct 		u 3 n
= xn
= ktkd 		u 4 n
= u 2 2 n
= dcct 		u 5 n u 6 n
= u 2 = u 3 n
= dctkt 		u 7 n
= v v n
= dwrwt 		u 8 n
= u 2 3 n
= dccct 		u 9 n
= u 3 2 n
= ktktkd 		u 10 n
= u 2 u 5 n 		u 11 n u 12 n
= u 2 2 u 3 n
= dcctkt 		u 13 n u 14 n
= u 2 u 7 n
= dcwrwt 		u 15 n
= u 3 u 5 n 		u 16 n
= u 2 4 n
= dcccct
triangulärt
ansikte
Icosahedron
Conway
Geodesic
nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 1.1
unI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{3.5+} 2.2
xnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 3.3
u 2 nI Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{3.5+} 4.4
 
{3.5+} 5.5
uxnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 6.6
vrvnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 7.7
u 3 nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 8.8
x 2 nI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 9.9
{3.5+} 10.10
{3.5+} 11.11
u 2 xnI Arkiverad 10 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 12.12
{3.5+} 13.13
dcwrwdnI Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 14.14
{3.5+} 15.15
u 4 nI
{3,5+} 16.16
Dubbel operatör z
= dk		 cz
= cdk		 yz
= tkdk		 c2z = ccdk _
_		 c5z cyz
= ctkdk		 w w z
= wrwdk		 c3z = cccdk _ _
 y 2 z
= tktkdk		 cc5z cllz c 2 yz
= c 2 tkdk		 c13z cwwz
= cwrwdk _ _		 c3c5z c4z = ccccdk _ _
Dodecahedron
Conway
Goldberg
zD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 1.1
czD Arkiverad 7 april 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 2.2
yzD Arkiverad 30 december 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 3.3
cczD Arkiverad 7 april 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 4.4
 
{5+,3} 5.5
cyzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 6.6
wrwzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 7.7
c 3 zD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 8.8
y 2 zD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 9.9
{5+,3} 10.10
G{5+,3} 11.11
ccyzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
{5+,3} 12.12
{5+,3} 13.13
cwrwzD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine
G{5+,3} 14.14
{5+,3} 15.15
cccczD Arkiverad 9 januari 2017 på Wayback Machine {5+,3} 16.16
Klass III

De flesta geodetiska polytoper och dualerna av Goldberg-polyedrarna G(n,m) kan inte konstrueras med hjälp av operatorer härledda från Conway-operatörer. Virveloperationen skapar en Goldberg-polyeder G(2,1) med nya hexagonala ytor runt varje ursprunglig vertex, och n -virvel producerar G( n , n -1). På former med icosaedrisk symmetri motsvarar t5g i detta fall virvel. Operationen v (= v olut = sväng) representerar den triangulära underavdelningen dual to whirl . På icosahedriska former kan operationen utföras med hjälp av derivatoperatorn k5s , pentakis snub .

Två på varandra följande virveloperationer skapar G(3,5). I allmänhet kan virveloperationen transformera G( a , b ) till G( a + 3b ,2a - b ) för a > b med samma kirala riktning. Om den kirala riktningen är omvänd blir G( a , b ) G( 2a +3 b , a -2 b ) för a >=2 b , och G(3 a + b ,2 b - a ) för a < 2 b .

Klass III: Operationer för uppdelning i ojämlika delar
Operation
Composite		 v 2,1
= v		 v 3.1 v 3,2 = v 3 v4,1 = vn _
 v 4,2
= vu		 v 5.1 v 4,3 = v 4 v 5,2
= v 3 n		 v 6.1 v 6,2
= v 3,1 u		 v 5,3
= vv		 v 7,1
= v 3 n		 v 5,4 = v 5 v 6,3
= vx		 v 7.2
T 7 13 19 21
7×3		 28
7×4		 31 37 39
13×3		 43 52
13×4		 49
7×7		 57
19×3		 61 63
9×7		 67
triangulärt
ansikte
Icosahedron
Conway
Geodesic
vI
{3.5+} 2.1
v 3.1 I
{3.5+} 3.1
v 3 I
{3.5+} 3.2
vnI Arkiverad 3 februari 2017 på Wayback Machine
{3.5+} 4.1
vui
{3.5+} 4.2
{3.5+} 5.1
v 4 I
{3.5+} 4.3
v 3 nI
{3.5+} 5.2
{3.5+} 6.1
v 3.1uI { 3.5+
} 6.2
vvl
{3.5+} 5.3
v 3 nI
{3.5+} 7.1
v 5 I
{3.5+} 5.4
vxI Arkiverad 8 januari 2018 på Wayback Machine
{3.5+} 6.3
v 7.2 I
{3.5+} 7.2
Operatör w w 3.1 w 3 wz toalett w 5,1 w 4 w 3,1 z w 6,1 w 3,1 s www w 3 z w 5 wy w 7,2

Conway dodekaeder
wD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 2.1
w 3.1 D
{5+,3} 3.1
w 3 D
{5+,3} 3,2
wzD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 4.1
wcD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 4.2
w 5.1 D
{5+,3} 5.1
w4D { 5 +
,3} 4.3
w 3 zD
{5+,3} 5.2
{5+,3} 6.1
w 3,1 cD
{5+,3} 6,2
wwD Arkiverad 21 oktober 2016 på Wayback Machine
{5+,3} 5.3
w 3 zD
{5+,3} 7.1
w5D { 5
+,3} 5.4
wyD Arkiverad 8 januari 2018 på Wayback Machine
{5+,3} 6.3
w 7,2 D
{5+,3} 7,2
Andra klass III-operationer: Operationer för uppdelning i ojämlika delar
Operation
Composite 		v 8.1 v 6,4
= v 3 u 		v 7.3 v 8,2
= wcz 		v 6,5 = v 6
= vrv 3,1 		vv 9.1
= vv 3.1 		v 7.4 v 8.3 v 9.2 v 7.5 v 10,1
= v 4 n 		v 8,4
= vuu 		v 9,3
= v 3,1 x 		v 7,6 = v 7 v 8,6
v 4 u
T 73 76
19×4		 79 84
7×4×3		 91
13×7		 93 97 103 109 111
37×3		 112
7×4×4		 117
13×9		 127 148
37×4
triangulärt
ansikte
Icosahedron
Conway
Geodesic
v 8.1 I
{3.5+} 8.1
v 3 ui { 3.5+
} 6.4
v 7.3 I
{3.5+} 7.3
vunI
{3.5+} 8.2
vv3.1I
{3.5+} 6.5
vrv3.1I
{3.5+} 9.1
v 7.4 I
{3.5+} 7.4
v 8.3 I
{3.5+} 8.3
v 9.2 I
{3.5+} 9.2
v 7.5 I
{3.5+} 7.5
v 4 nI
{3.5+} 10.1
vuui
{3.5+} 8.4
v 3.1xI { 3.5+
} 9.3
v 7 I
{3.5+} 7.6
v 4 ui { 3.5+
} 8.6
Operatör w 8,1 wrw 3.1 w 7,3 w3,1c wcz w 3,1 w w 7,4 w 8,3 w 9,2 w 7,5 w 4 z wcc w 3,1 år w 7 w 4 c

Conway dodekaeder
w 8.1 D
{5+,3} 8.1
w 3 cD
{5+,3} 6.4
w 7,3 D
{5+,3} 7,3
wczD
{5+,3} 8.2
ww3,1D
{5+,3} 6.5
wrw3,1D
{5+,3} 9,1
w 7,4 D
{5+,3} 7,4
w 8,3 D
{5+,3} 8,3
w 9,2 D
{5+,3} 9,2
w 7,5 D
{5+,3} 7,5
w4zD { 5
+,3} 10.1
wccD
{5+,3} 8.4
w 3,1 yD
{5+,3} 9,3
w 7 D
{5+,3} 7.6
w 4 cD
{5+,3} 8,6

Symmetriexempel på polyedrar

Upprepning av operationer, som börjar med en enkel form, kan ge polyedrar med ett stort antal ansikten som bevarar fröets symmetri.

Tetraedrisk symmetri

  • t6dtT

  • atT

  • tatT

  • stT

  • XT (10e)

  • dxt (10e)

  • m3T

  • b3T

  • dHccC

  • dFtO

  • Fto

Oktaedrisk symmetri

Chiral

Isoedrisk symmetri

Chiral

  • dsD (5e)

  • SD (5e)

  • wD(7e)

  • k5sD (7e)

  • sAD (10e)

  • sAD (10e)

  • g3D (11e)

  • s3D (11e)

  • g3I (11e)

  • s3I (11e)

  • stI (15e)

  • stD(15e)

  • wtI(21e)

  • k5k6stI (21e)

Dihedral symmetri

  • t4daA4=cA4

  • t4daA4=cA4 (sida)

  • t4daA4=cA4 (överst)

  • tA4

  • tA5

  • htA2

  • htA3=I

  • htA4

  • htA5

  • eP3 = aaP3

  • eA4 = aaA4

Toroidal symmetri

Toroidformade plattor finns på en platt torus , på ytan av en duocylinder i 4D-rymden, men kan projiceras in i 3D-rymden som en vanlig torus . Dessa plattsättningar liknar topologiskt delmängder av plattsättningar i det euklidiska planet.

  • 1x1 vanlig kvadratisk torus, {4,4} 1,0

  • Vanlig 4x4 kvadratisk torus, {4,4} 4,0

  • tQ24×12 projektion på torus

  • taQ24×12 torusprojektion

  • actQ24×8 projektion på torus

  • tH24×12 torusprojektion

  • taH24×8 torusprojektion

  • kH24×12 torusprojektion

Euklidisk kvadratsymmetri

  • tQ

  • cQ

  • akQ

  • HDXQ

  • dHdXQ

Euklidisk triangulär symmetri

  • tH

  • cA

  • CH

  • ctH

  • dakH

  • aaaH

  • aaaH, liksidig

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Kumulering - från Wolfram MathWorld . Hämtad 25 oktober 2017. Arkiverad från originalet 24 november 2017.
  2. ↑ Pugh, 1976 , sid. 63.

Litteratur

  • George W. Hart , Skulptur baserad på propelloriserade polyhedrar , Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, augusti 2000, s. 61–70 [1] Arkiverad 3 november 2017 på Wayback Machine
  • John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitel 21: Namngivning av arkimediska och katalanska polyedrar och plattsättningar // Sakernas symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
  • Visualisering av Conway Polyhedron Notation  // World Academy of Science, Engineering and Technology 50. - 2009.
  • Anthony Pugh. Kapitel 6, Geodesic polyhedral // Polyhedra: a visual approach . - 1976. - S. s.63.

Länkar