Eulers sats för polyedrar

Eulers sats för polyedrar  är en sats som fastställer ett förhållande mellan antalet hörn, kanter och ytor för polyedrar som topologiskt är ekvivalenta med en sfär .

Formulering

Låt vara  antalet hörn av en konvex polyeder,  vara antalet av dess kanter och  vara antalet ytor. Sedan jämställdheten

Exempel på vanliga polyedrar :

Historik

År 1620 visade René Descartes att summan av vinklarna för alla ytor på en polyeder är lika med och samtidigt . Detta innebär direkt påståendet av satsen.

1750 bevisade Leonhard Euler identiteten för konvexa polyedrar. Eulers teorem lade grunden för en ny gren av matematik- topologi . Ett mer rigoröst bevis gavs av Cauchy 1811.

Under lång tid trodde man att Euler-relationen är giltig för alla polyedrar. Det första motexemplet gavs av Simon Lhuillier 1812; när han undersökte en samling av mineraler, uppmärksammade han en genomskinlig kristall av fältspat , inuti vilken var en svart kubisk kristall av blysulfid . Luillier insåg att en kub med en kubisk hålighet inuti inte lyder Eulers formel. Senare upptäcktes andra motexempel (till exempel två tetraedrar limmade längs en kant eller med en gemensam vertex), och formuleringen av satsen förfinades: det är sant för polyedrar som topologiskt motsvarar en sfär [1] .

Generaliseringar

• Euler-egenskapen generaliserar Eulers formel till polyedrar med valfritt antal hål, och även, i en mer komplex form, till topologiska utrymmen .
• Eulers formel för en sammankopplad plan graf har samma form, men gäller för alla plana grafer, inte bara de som kan vara polyedriska ramverk i 3D-rymden.

Se även

• Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler

Anteckningar

1. ↑ Lakatos I. Bevis och vederläggning. Hur bevisas teorem? - M . : Nauka, 1967.