Tjugofyra celler

Korrekt tjugofyra -celler , eller helt enkelt tjugofyra -celler , eller ikositetrahor (från annan grekisk εἴκοσι - "tjugo", τέτταρες - "fyra" och χώρος - "plats, utrymmets regelbundna multi ", - är en celler i fyrdimensionellt utrymme .

Upptäckt av Ludwig Schläfli i mitten av 1850-talet [1] . Schläfli-symbolen för en tjugofyra cell är {3,4,3}.

Dubbel till sig själv; En tjugofyra cell är den enda självdubbla reguljära polytopen med dimension större än 2 som inte är en simplex . Detta är anledningen till det unika med tjugofyra-cellen: till skillnad från de fem andra vanliga multicellerna har den ingen liknelse bland de platonska fasta kropparna .

Beskrivning

Begränsad till 24 tredimensionella celler - identiska oktaedrar . Vinkeln mellan två intilliggande celler är exakt

Dess 96 tvådimensionella ansikten är identiska regelbundna trianglar . Varje ansikte delar 2 intilliggande celler.

Den har 96 lika långa kanter, arrangerade på samma sätt som kanterna på tre tesserakter med ett gemensamt centrum. Varje kant har 3 ytor och 3 celler.

Den har 24 hörn, arrangerade på samma sätt som hörn av tre sexton -celler med ett gemensamt centrum. Varje vertex har 8 kanter, 12 ytor och 6 celler.

En tjugofyra cell kan ses som en fullständigt trunkerad sexton cell.

En tjugofyra-cell kan sättas ihop av två lika stora tesserakter genom att skära en av dem i 8 identiska kubiska pyramider , vars baser är 8 celler i tesserakten, och hörnen sammanfaller med dess centrum, och sedan fästa dessa pyramider till 8 kubiska celler av en annan tesserakt. I det tredimensionella rymden är det på liknande sätt möjligt att sätta ihop en rombisk dodekaeder av två lika stora kuber - vilket dock inte är korrekt .

I koordinater

Det första sättet att placera

En tjugofyra cell kan placeras i ett kartesiskt koordinatsystem så att 8 av dess hörn har koordinater (dessa hörn är belägna på samma sätt som hörnen i en sexton cell ), och de återstående 16 hörnen är koordinater (de är belägna på samma sätt som tesseraktens hörn ; dessutom bildar de 8 av dem, bland vilkas koordinater ett udda antal negativa, hörn på en annan sexton-cell, och de andra 8 bildar hörnen på den tredje sexton-cellen ).

I detta fall kommer kanterna att förbinda de hörn för vilka alla fyra koordinaterna skiljer sig åt - eller en av koordinaterna skiljer sig åt och resten sammanfaller.

Ursprunget för koordinaterna kommer att vara centrum för symmetri för tjugofyra-cellen, såväl som centrum för dess inskrivna, omskrivna och halvinskrivna tredimensionella hypersfärer .

Det andra sättet att placera

Dessutom kan en tjugofyra cell placeras så att koordinaterna för alla dess 24 hörn är alla möjliga permutationer av siffror (dessa punkter är mitten av de 24 cellerna i multicellen som beskrivs i föregående avsnitt).

I det här fallet kommer kanterna att förbinda de hörn för vilka två koordinater skiljer sig åt och de andra två sammanfaller.

Multicellens centrum kommer återigen att vara ursprunget.

Ortogonala projektioner på ett plan

Metriska egenskaper

Om en tjugofyra cell har en längdkant, uttrycks dess fyrdimensionella hypervolym respektive tredimensionella ythyperarea som

Radien för den beskrivna tredimensionella hypersfären (som går genom alla hörn i multicellen) blir då lika med

radien för den yttre halvinskrivna hypersfären (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) —

radie för den inre halvinskrivna hypersfären (berörande alla ansikten i deras centra) —

radie för den inskrivna hypersfären (berör alla celler i deras centra) —

Utrymmesfyllning

Tjugofyra celler kan bana fyrdimensionellt utrymme utan luckor och överlappningar.

Anteckningar

1. ↑ George Olshevsky. Icositetrachoron // Ordlista för Hyperspace.

Länkar

• Weisstein, Eric W. Twenty-  Four Cell på Wolfram MathWorld .