Flexibel polyeder

En böjbar polyeder är en polyeder (närmare bestämt en polyeder yta ), vars rumsliga form kan ändras genom kontinuerlig deformation i tiden, där varje yta inte ändrar sin storlek (det vill säga den rör sig som en solid kropp), och deformation utförs endast på grund av en kontinuerlig förändring i dihedriska vinklar . En sådan deformation kallas kontinuerlig böjning av polyedern.

Exempel

• De första exemplen på flexibla polyedrar konstruerades av den belgiske ingenjören och matematikern Raoul Bricard 1897 [ 1] . De kallas nu Bricard octahedra . De är inte bara icke-konvexa, utan har också självkorsningar, vilket gör det omöjligt att bygga sin rörliga kartongmodell.

• År 1976 konstruerade den amerikanske matematikern Robert Connelly först en flexibel polyeder utan självkorsningar [2] .

• Av alla för närvarande kända böjbara polyedrar utan självkorsningar har polyedern som konstruerats av den tyske matematikern Klaus Steffen [3] det minsta antalet hörn ( nio ) . Steffen-polyedern kan enkelt skäras ur papper (se artikel).

• Det finns exempel på flexibla polyedrar som är realiseringar av en torus [4] eller en Klein-flaska eller i allmänhet en tvådimensionell yta av vilket topologiskt släkte som helst.

• Böjbar Bricard-oktaeder av den första typen

• Böjbar Bricard-oktaeder av den andra typen

• Flexibel Steffen polyeder

• Utveckling av en flexibel Steffen-polyeder

Egenskaper

Det finns många vackra och icke-triviala uttalanden i teorin om flexibla polyedrar. Följande är de viktigaste fakta som har fastställts hittills:

• Ingen konvex polyeder kan vara flexibel. Detta följer omedelbart av Cauchys sats om den unika definititeten hos en konvex polyeder, bevisad 1813 .

• Det följer av Schläfli-formeln att varje böjbar polyeder behåller den så kallade integralmedelkurvaturen under böjning, det vill säga ett tal lika med , där är längden på kanten , är värdet på den inre dihedriska vinkeln vid kanten , och summan räknar upp alla kanter på polyedern [5] .

• Sabitovs sats : varje böjbar polyeder behåller sin volym under böjning , det vill säga den kommer att böjas även om den är fylld med en inkompressibel vätska [6] .

• År 2012 bevisade A. Gaifullin en flerdimensionell analog till Sabitovs teorem - varje böjbar polyeder i dimension behåller sin volym under böjning. [7]

Variationer och generaliseringar

Allt ovan hänvisade till polyedrar i tredimensionellt euklidiskt rum. Ovanstående definition av en flexibel polyeder gäller dock för både högdimensionella utrymmen och icke-euklidiska utrymmen som sfäriskt utrymme och Lobatsjovskij utrymme . Både icke-triviala satser och öppna frågor är också kända för dem. Till exempel:

• Flexibla polyedrar finns i alla dimensioner, både i det euklidiska rummet och i det sfäriska rummet och i Lobachevskys geometri. Exempel på analoger av flexibla Bricard-oktaedrar i den tredimensionella sfären och i Lobachevsky-rymden konstruerades av Stachel. Det första exemplet på en flexibel självkorsande fyrdimensionell polyeder konstruerades av A. Waltz. Slutligen konstruerade Gaifullin exempel på flexibla polyedrar i alla dimensioner och i alla tre geometrier (Euklidiska, sfäriska, Lobatsjovskij). [8] [9]

• I ett sfäriskt utrymme av vilken dimension som helst, finns det en flexibel polyeder vars volym inte är konstant under böjningsprocessen. Ett exempel på en sådan självskärande polytop i dimension 3 konstruerades 1997 av Aleksandrov [10] , och ett exempel på en icke-självkorsande polytop i ett sfäriskt utrymme av vilken dimension som helst konstruerades av A. A. Gaifullin i hans uppsats från 2015 [ 11] . Tvärtom, i det tredimensionella Lobatsjovskij-rummet, och i allmänhet i Lobatsjovskij-rummet av vilken udda dimension som helst, måste volymen av en flexibel polyeder bevaras (precis som i det euklidiska fallet). [12] [13] .

Öppna frågor

• Är det sant att Steffen-polyedern har det minsta antalet hörn bland alla flexibla polyedrar som inte har självkorsningar [14] ;

• Är det sant att om en polyeder som inte har självskärningar erhålls från en annan polyeder, som inte heller har självskärningar, genom kontinuerlig böjning, då är dessa polyedrar likvärdiga , det vill säga den första kan delas till ett ändligt antal tetraedrar , var och en av dessa tetraedrar kan flyttas oberoende av de andra i rymden och få en uppdelning av den andra polyedern [15] .

• I dimensioner från 4 är det inte känt om flexibla icke-självkorsande polyedrar existerar. [12]

• Det är inte känt om bälgsatsen gäller (om volymen måste bevaras under böjning) i Lobachevsky-rum med jämn dimension (4, 6,...). [12]

Populärlitteratur

• V. A. Aleksandrov, Flexibla polyedriska ytor  (otillgänglig länk) , Soros Educational Journal . 1997 nr. 5. S. 112-117. Samma artikel återpublicerades i en bok redigerad av V. N. Soifer och Yu. P. Solovyov: Modern natural science . Uppslagsverk . Vol 3: Mathematics and Mechanics M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometri . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Kontinuerligt flexibel polyeder , Kvant . 1978 nr. 9. S. 13-19.
• A. I. Medyanik, The Connelly polyhedron model , Kvant . 1979 nr. 7. S. 39. (Observera att utvecklingen av Connelly-polyedern ges i samma nummer av tidningen på baksidan . )
• DEM. Sabitov,. Volymer av polyedrar . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 sid.
• David A. Klarner . Matematisk blomsterträdgård. Artikelsamling och problem = The Mathematical Gardner / Per. från engelska. Yu. A. Danilova ; red., med förord. och app. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 sid.
• Föreläsning 25 i Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matematisk divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 sid. - 2000 exemplar.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Film " Flexibla polyedrar ", webbplats Matematiska etuder
• Actual Mathematics: Flexible Polyhedra på YouTube

Vetenskaplig litteratur

• V. A. Aleksandrov, Ett nytt exempel på en flexibel polyhedron , Sibirsk. matta. tidskrift 1995. V. 36, nr 6. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexibla polyedriska sfärer , efter Robert Connelly , i Vol. ed. A. N. Kolmogorova och S. P. Novikova : Studier i den metriska teorin om ytor. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly , Om ett förhållningssätt till problemet med oflexibilitet . Där. sid. 164-209.
• R. Connelly , Några antaganden och olösta frågor i teorin om böjningar . Där. sid. 228-238.
• I. G. Maksimov, Inflexible polyhedra with a little number of vertices , Fundam. appl. matematik. 2006. Vol. 12, nr. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Några nödvändiga metriska villkor för böjning av upphängningar , Vestnik MGU, Ser. I, 2001, nej. 3, 15-21.
• I. Kh Sabitov , Volymen av en polyeder som en funktion av dess metriska , Fundam. appl. matematik. 1996. Vol 2, nr. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh Sabitov , Den generaliserade Heron-Tartaglia-formeln och några av dess konsekvenser , Mat. lö. 1998. Vol. 189, nr. 10. S. 105-134.

Anteckningar

1. ↑ R. Bricard. Arkiverad från originalet den 17 juli 2011, för närvarande, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pures Appl. 1897. 3 . S. 113-150 (se även engelsk översättning ).
2. ↑ R. Connelly, The rigidity of polyhedral ytor , Math. Mag. 52 (1979), nr. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometry . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, Ett nytt exempel på en flexibel polyeder , Sib. matta. tidskrift 1995. V. 36, nr 6. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitziska kartläggningar och total medelkrökning av polyedriska ytor. I , Trans. amer. Matematik. soc. 1985 vol. 288, nr. 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh Sabitov , Volymen av en polyeder som funktion av längden på dess kanter , Fundam. appl. matematik. 1996. V. 2, nr 1. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Generalisering av Sabitovs teorem till godtyckliga dimensioner (2012). (obestämd)
8. ↑ H. Stachel , Flexibla oktaedrar i det hyperboliska utrymmet , i bokutg. A. Prekopa: Icke-euklidiska geometrier. Janos Bolyai minnesmärke. Bidrag från den internationella konferensen om hyperbolisk geometri, Budapest, Ungern, 6-12 juli 2002 . New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Flexibla korspolytoper i utrymmen med konstant krökning, Tr. MIAN , 286 (2014), 88–128.
10. ↑ V. Alexandrov, Ett exempel på en flexibel polyeder med icke-konstant volym i det sfäriska rummet, Beitr. Algebra Geom. 38 , nr 1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Kapslade flexibla sfäriska tvärpolytoper med icke-konstanta volymer , Tr. MIAN, 288 (2015), 67–94.
12. ↑ 1 2 3 "Flexible polyhedra", Mathematical studies, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, Analytisk fortsättning av volym och bälghypotesen i Lobachevsky-utrymmen , Mat. lö. , 206 :11 (2015), 61–112
14. ↑ I. G. Maksimov, Inflexibla polyedrar med ett litet antal hörn , Fundam. appl. matematik. 2006. Vol. 12, nr. 1. S. 143-165.
15. ↑ Se s. 231 i boken, red. AN Kolmogorova och SP Novikova : Studier i metrisk teori om ytor . M.: Mir. 1980. Denna gissning publicerades först på engelska i R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 1979 vol. 52. s. 275-283.