Hexadecimal cell

Hexadecimal cell
Schlegel-diagram : projektion ( perspektiv ) av en sexton-cell i tredimensionellt rum
Sorts	Vanlig fyrdimensionell polytop
Schläfli symbol	{3,3,4}
celler	16
ansikten	32
revben	24
Toppar	åtta
Vertex figur	Vanlig oktaeder
Dubbel polytop	tesserakt

En vanlig sexton -cell , eller helt enkelt en sexton -cell [1] är en av de sex vanliga multi -cellerna i det fyrdimensionella rummet . Även känd under andra namn: hexadekaeder (från antikens grekiska ἕξ - "sex", δέκα - "tio" och χώρος - "plats, rymd"), fyrdimensionell hyperoktaeder (eftersom det är en analog till en tredimensionell oktaeder ), fyrdimensionell kokub [2] (eftersom den är dubbel till en fyrdimensionell hyperkub ), en fyrdimensionell ortoplex .

Upptäckt av Ludwig Schläfli i mitten av 1850-talet [3] . Schläfli-karaktären för en sexton cell är {3,3,4}.

Beskrivning

Begränsad till 16 tredimensionella celler - identiska vanliga tetraedrar . Vinkeln mellan två intilliggande celler är exakt $120^{\circ }.$

Dess 32 tvådimensionella ansikten är identiska regelbundna trianglar . Varje ansikte delar 2 intilliggande celler.

Den har 24 lika långa revben. Varje kant har 4 ytor och 4 celler.

Har 8 toppar. Varje vertex har 6 kanter, 12 ytor och 8 celler. Vilken vertex som helst är ansluten med en kant till vilken som helst annan - förutom vertexen som är symmetrisk till den med avseende på multicellens centrum.

En sexton-cell kan representeras som två identiska regelbundna oktaedriska pyramider fästa vid varandra med sina baser, eller som en fyrdimensionell duopyramid byggd på två kvadrater .

I koordinater

En hexadecimal cell kan placeras i ett kartesiskt koordinatsystem så att dess 8 hörn har koordinater $(\pm 1;0;0;0),$ $(0;\pm 1;0;0),$ $(0;0;\pm 1;0),$ $(0;0;0;\pm 1).$

I detta fall kommer sektionerna av multicellen med 6 koordinatplan att vara 6 kvadrater, vars hörn och kanter är respektive hörn och kanter på multicellen.

Var och en av de 16 cellerna i multicellen kommer att vara placerade i en av de 16 orthanterna i det fyrdimensionella rummet.

Ursprunget för koordinaterna kommer att vara centrum för symmetri för sexton-cellen, såväl som centrum för dess inskrivna, omskrivna och halvinskrivna tredimensionella hypersfärer . $(0;0;0;0)$

Ytan på en sexton cell kommer då att vara platsen för punkter vars koordinater uppfyller ekvationen $(x;y;z;w),$

|x|+|y|+|z|+|w|=1,

och det inre av en multicell är platsen för punkter för vilka

|x|+|y|+|z|+|w|<1.

Ortogonala projektioner på ett plan

Metriska egenskaper

Om en sextoncell har en längdkant, uttrycks dess fyrdimensionella hypervolym respektive tredimensionella ythyperarea som $a,$

V_{4}={\frac {1}{6}}\;a^{4}\approx 0{,}1666667a^{4},

S_{3}={\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 1{,}8856181a^{3}.

Radien för den beskrivna tredimensionella hypersfären (som går genom alla hörn i multicellen) blir då lika med

R={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a,

radien för den yttre halvinskrivna hypersfären (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\;a=0{,}5000000a,

radie för den inre halvinskrivna hypersfären (berörande alla ansikten i deras centra) —

\rho _{2}={\frac {\sqrt {6}}{6}}\;a\approx 0{,}4082483a,

radie för den inskrivna hypersfären (berör alla celler i deras centra) —

r={\frac {\sqrt {2}}{4}}\;a\approx 0{,}3535534a.

Utrymmesfyllning

Sexton celler kan bana fyrdimensionellt utrymme utan luckor och överlappningar.

Anteckningar

↑ D.K. Bobylev . Fyrdimensionellt utrymme // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ E. Yu. Smirnov. Reflektionsgrupper och vanliga polyedrar. — M.: MTsNMO, 2009. — S. 44.
↑ George Olshevsky. Hexadecachoron // Ordlista för Hyperspace.

Länkar

Weisstein, Eric W. Hexadecimal cell vid Wolfram MathWorld .

Grundläggande konvexa regelbundna och homogena polytoper i dimensionerna 2–10
Familj	A n	B n	I2 (p) / Dn	E6 / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H4
vanlig polygon	rät triangel	Fyrkant	Vanlig p-gon	Vanlig hexagon	vanlig femhörning
Uniform polyeder	vanlig tetraeder	Vanlig oktaeder • Kub	halv kub		Vanlig dodekaeder • Vanlig ikosaeder
Uniform multicell	Femceller	16-celler • Tesseract	Semitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Homogen 5-polytop	Vanlig 5-simplex	5-ortoplex • 5-hyperkub	5-semihyperkub
Homogen 6-polytop	Vanlig 6-simplex	6-ortoplex • 6-hyperkub	6-semihyperkub	1 22 • 2 21
Homogen 7-polytop	Vanlig 7-simplex	7-ortoplex • 7-hyperkub	7-semihyperkub	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogen 8-polytop	Vanlig 8-simplex	8-ortoplex • 8-hyperkub	8-halv-hyperkub	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogen 9-polytop	Vanlig 9-simplex	9-ortoplex • 9-hyperkub	9-semihyperkub
Homogen 10-polytop	Vanlig 10-simplex	10-ortoplex • 10-hyperkub	10-halv-hyperkub
Uniform n - polytop	Vanlig n - simplex	n - ortoplex • n - hyperkub	n - semi-hyperkub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantig polyeder
Ämnen: Familjer av polytoper • Regelbundna polytoper • Lista över vanliga polytoper och deras sammansättningar

Polyedra

Korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}