120 celler

120 celler
Schlegel-diagram : projektion ( perspektiv ) av hundra och tjugo celler i tredimensionell rymd
Sorts	Vanlig fyrdimensionell polytop
Schläfli symbol	{5,3,3}
celler	120
ansikten	720
revben	1200
Toppar	600
Vertex figur	vanlig tetraeder
Dubbel polytop	Sexhundra celler

En vanlig 120 -cell , eller helt enkelt en 120 -cell [1] är en av de sex vanliga multicellerna i fyrdimensionell rymd . Det är också känt under andra namn: hekatonikosakhor (från andra grekiska ἑκατόν - "hundra", εἴκοσι - "tjugo" och χώρος - "plats, utrymme"), hyperdodecahedron (eftersom det är en fyrdimensionell analog av dodecahedronen ), dodecahedron (det vill säga "komplex dodekaeder"), polydodekaeder . Dubbel till sexhundracellen .

Upptäckt av Ludwig Schläfli i mitten av 1850-talet [2] . Schläfli-symbolen för en 120 -cell är {5,3,3}.

Alla 9 av dess stjärnformade former är vanliga stjärnformade polyceller. Av de 10 vanliga stellerade multicellerna är bara en inte en 120-cells stellation.

Beskrivning

Begränsad till 120 tredimensionella celler - identiska dodekaedrar . Vinkeln mellan två intilliggande celler är exakt $144^{\circ }.$

Dess 720 tvådimensionella ansikten är identiska regelbundna femhörningar . Varje ansikte delar 2 intilliggande celler.

Den har 1200 revben av samma längd. Varje kant har 3 ytor och 3 celler.

Har 600 hörn. Varje vertex har 4 kanter, 6 ytor och 4 celler.

I koordinater

En 120-cell kan placeras i ett kartesiskt koordinatsystem så att:

koordinaterna för dess 24 hörn var alla möjliga permutationer av tal $(0;0;\pm 2;\pm 2);$

koordinater för 64 hörn - genom olika permutationer $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5)))$

koordinater för 64 hörn - med alla möjliga permutationer där - förhållandet mellan det gyllene snittet ; $(\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),$ $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

koordinater för 64 hörn - genom olika permutationer $(\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});$

koordinater för 96 hörn - med alla möjliga jämna permutationer $(0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});$

koordinater för 96 hörn - med alla möjliga jämna permutationer $(0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});$

koordinaterna för de återstående 192 hörnen - med alla möjliga jämna permutationer $(\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).$

I detta fall kommer ursprunget för koordinaterna att vara multicellens symmetricentrum, såväl som centrum för dess inskrivna, omskrivna och halvinskrivna tredimensionella hypersfärer . $(0;0;0;0)$

Projektion av en roterande 120-cell i 3D-rymden

Ortogonala projektioner på ett plan

Metriska egenskaper

Om en 120-cell har en längdkant, uttrycks dess fyrdimensionella hypervolym respektive tredimensionella ythyperarea som $a,$

V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4} ,

S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.

Radien för den beskrivna tredimensionella hypersfären (som går genom alla hörn i multicellen) blir då lika med

R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,

radien för den yttre halvinskrivna hypersfären (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a ,

radie för den inre halvinskrivna hypersfären (berörande alla ansikten i deras centra) —

\rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)))\;a\approx 3{, }6034146a,

radie för den inskrivna hypersfären (berör alla celler i deras centra) —

r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.

Anteckningar

↑ D.K. Bobylev . Fyrdimensionellt utrymme // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ George Olshevsky. Hecatonicosachoron // Ordlista för Hyperspace.

Länkar

Weisstein, Eric W. 120 cell på Wolfram MathWorld .
Bygger hundra och tjugo celler på YouTube
Kapitel 3 och 4: Den fjärde dimensionen . Mått . dimensions-math.org. Arkiverad från originalet den 4 mars 2015. (obestämd)

Grundläggande konvexa regelbundna och homogena polytoper i dimensionerna 2–10
Familj	A n	B n	I2 (p) / Dn	E6 / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H4
vanlig polygon	rät triangel	Fyrkant	Vanlig p-gon	Vanlig hexagon	vanlig femhörning
Uniform polyeder	vanlig tetraeder	Vanlig oktaeder • Kub	halv kub		Vanlig dodekaeder • Vanlig ikosaeder
Uniform multicell	Femceller	16-celler • Tesseract	Semitesseract	24-celler	120-celler • 600-celler
Homogen 5-polytop	Vanlig 5-simplex	5-ortoplex • 5-hyperkub	5-semihyperkub
Homogen 6-polytop	Vanlig 6-simplex	6-ortoplex • 6-hyperkub	6-semihyperkub	1 22 • 2 21
Homogen 7-polytop	Vanlig 7-simplex	7-ortoplex • 7-hyperkub	7-semihyperkub	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogen 8-polytop	Vanlig 8-simplex	8-ortoplex • 8-hyperkub	8-halv-hyperkub	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogen 9-polytop	Vanlig 9-simplex	9-ortoplex • 9-hyperkub	9-semihyperkub
Homogen 10-polytop	Vanlig 10-simplex	10-ortoplex • 10-hyperkub	10-halv-hyperkub
Uniform n - polytop	Vanlig n - simplex	n - ortoplex • n - hyperkub	n - semi-hyperkub	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantig polyeder
Ämnen: Familjer av polytoper • Regelbundna polytoper • Lista över vanliga polytoper och deras sammansättningar

Polyedra

korrekt

Tredimensionell (platoniska fasta ämnen)	vanlig tetraeder Kub Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Femceller tesserakt Hexadecimal cell tjugofyra celler 120 celler Sexhundra celler
Större dimension (anges inom parentes)	Vanlig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaeder

Vanlig
icke-konvex

Tredimensionell med antalet
ytor (anges inom parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexaeder (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvex

Arkimedeiska fasta ämnen

Katalanska kroppar

Prismor
trekantsprisma fyrkantigt prisma Pentagonal prisma Sexkantigt prisma Heptagonal prisma Åttakantigt prisma Niovinklat prisma Dekagonalt prisma Elvavinklat prisma Dodecagonal prisma

Johnson polyeder

Formler ,
satser ,
teorier

Övrig

Schläfli symbol
Polygoner	{ett} {2} {3} {fyra} {5} {6} {7} {åtta} {9} {tio} {elva} {12} {fjorton} {femton} {17} {arton} {tjugo} {trettio} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjärnpolygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Plana parketter _	{3,6} {4,4} {6,3}
Vanliga polyedrar och sfäriska parketter	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedrar	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honungskakor	{4,3,4}
Fyrdimensionella polyedrar	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}