En uppsättning självbeläggningsplattor ( eng. setiset ) av ordningen n är en uppsättning av n former, vanligtvis platta, som var och en kan beläggas med mindre kopior av samma n former. Mer exakt kan n figurer sättas ihop på n olika sätt, vilket ger stora kopior av figurerna från samma uppsättning, och förstoringsfaktorn är densamma. Figur 1 visar ett exempel för n = 4 med användning av olika formade decaminos . Begreppet kan generaliseras och större siffror kan användas. Namnet setisets gavs av Lee Sallows 2012 [ 1] [ 2] , men problemet med att hitta sådana uppsättningar för n = 4 sattes långt innan det av C. Dudley Langford , och exempel på polyabolofigurer (hittade av Martin Gardner , Wade Philpott et al.) och polyominoer (funna av Maurice J. Povah ) publicerade tidigare av Gardner [3] .
Det följer av definitionen ovan att en uppsättning självbeläggande plattor som består av n identiska former är en "delande" platta , för vilken självbeläggande plattor är en generalisering [4] . Uppsättningar av n olika former, som den i figur 1, kallas perfekt . Figur 2 visar ett exempel för n = 4 och det är inte perfekt eftersom två brickor i uppsättningen har samma form.
Formerna i seten behöver inte vara sammankopplade områden. Frånkopplade figurer som består av två eller flera separata öar är också tillåtna. Sådana figurer anses vara frånkopplade eller svagt sammankopplade (om öarna har en gemensam punkt), som visas i figur 3.
Det minsta antalet brickor i en uppsättning är 2. Figur 4 inkluderar en oändlig familj av uppsättningar av ordning 2, som var och en består av två trianglar P och Q . Som visas i figuren kan trianglar ledas så att rotation runt gångjärnet ger samma P eller Q (större) trianglar. Dessa trianglar ger ett exempel på gångjärnsskärning .
Egenskaperna hos självplattande kakeluppsättningar gör att dessa plattor har substitutionsegenskapen , det vill säga de bildar en plattsättning , där prototiler kan skäras eller kombineras för att göra en kopia av sig själva (mindre eller större). Det är tydligt att genom att upprepa processen med att kombinera brickor kan man få större och större kopior (processen kallas expansion) eller mindre och mindre (komprimering), och dessa processer kan fortsätta i det oändliga. På så sätt kan självbeläggningssatser bilda icke-periodiska plattsättningar. Men ingen av dessa icke-periodiska plattsättningar som hittas är aperiodiska , eftersom prototiler kan kombineras för att bilda en periodisk plattsättning. Figur 5 visar de två första stegen av expansionen av uppsättningen av ordning 4, vilket leder till en icke-periodisk plattsättning.
Förutom självplattande set, som kan ses som öglor med längd 1, finns det längre slingor eller slutna kedjor av kakelset där varje set liknar den föregående [5] . Figur 6 visar ett par ömsesidigt belagda uppsättningar av dekaminobrickor , med andra ord en slinga med längden 2. Sallows och Schotel genomförde en uttömmande sökning efter uppsättningar av ordningen 4 oktaminobrickor . Utöver de sju vanliga seten (med slingor av längd 1) hittade de ett förvånansvärt stort antal set med slingor i alla längder upp till 14. Det totala antalet slingor som hittats är cirka en och en halv miljon. Ytterligare forskning i denna riktning har inte slutförts, men det verkar vara sant att andra uppsättningar brickor kan innehålla slingor [6] .
Hittills har två metoder använts för att erhålla självbelagda kakeluppsättningar. I fallet när uppsättningen består av figurer av typen polyomino , där antalet delar är fast, är det möjligt att söka med direkt datoruppräkning. Det är lätt att visa att antalet brickor n måste vara en kvadrat [4] . Figurerna 1, 2, 3, 5 och 6 är exempel på detta sätt.
Ett annat sätt är att klippa flera kopior av den "delande" brickan på något sätt som resulterar i en självbeläggningsuppsättning. Figurerna 7 och 8 visar uppsättningarna erhållna på detta sätt. I dem är varje bricka en förening av två respektive tre "delande" brickor. I figur 8 kan du se hur 9 brickor (överst) tillsammans bricker 3 "delande" brickor (nederst), medan dessa 9 brickor själva bildas genom att kombinera samma tre "delande" brickor. Således kan varje bricka erhållas genom att kakla varje form med mindre plattor från samma uppsättning av 9 plattor [4] .
| geometriska mosaiker | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Periodisk |
| ||||||||
| Aperiodisk |
| ||||||||
| Övrig |
| ||||||||
| Genom vertexkonfiguration _ |
| ||||||||