Octamino

Octamino  - åttacelliga polyominoer , det vill säga platta figurer som består av åtta lika kvadrater förbundna med sidor. Med oktaminofigurer, som med alla polyominoer, finns det många problem med att underhålla matematik.

Om vi ​​inte räknar de olika figurerna som sammanfaller under rotationer och spegelreflektioner, så finns det 369 olika ("fria") former av oktamino (se figur) [1] . Det finns 704 typer av "ensidig" oktamino (om spegelreflektioner anses olika figurer) och 2725 typer av "fast" oktamino (svängar anses också olika) [2] .

Klassificering av oktaminofigurer enligt deras symmetriegenskaper

369 fria oktaminofigurer enligt deras symmetriegenskaper kan delas in i 8 kategorier:

• 316 oktaminofigurer (visade i grått i figuren) är asymmetriska;
• 23 octamino (avbildad i rött) har en symmetriaxel parallell med linjerna i det kvadratiska rutnätet;
• 5 octamino (avbildad i grönt) har en diagonal symmetriaxel;
• 18 octamino (avbildad i blått) har andra ordningens centrala (rotations) symmetri;
• 1 octamino (avbildad i gult) har en central (rotations) symmetri av fjärde ordningen;
• 4 octamino (avbildad i lila) har två symmetriaxlar parallella med rutnätslinjerna;
• 1 octamino (avbildad i orange) har två diagonala symmetriaxlar.
• 1 octamino (avbildad i blågrönt) har fyra symmetriaxlar - två parallella med rutnätslinjerna och två diagonala.

Octamino är den minsta polyominoordningen i vilken alla åtta möjliga typer av symmetri realiseras. Nästa ordning av polyominoer med denna egenskap är dodekamino (tolv cells polyominoer).

Om figurernas spegelbilder anses vara olika, fördubblas den första, fjärde och femte kategorin i antal, vilket ger ytterligare 335 oktamino, det vill säga totalt 704 ensidiga oktamino.

Om rotationer också betraktas som olika siffror, då

• figurer av den första kategorin kan orienteras på åtta olika sätt;
• figurer från kategorier från den andra till den fjärde - fyra;
• siffror från kategorierna fem till sju - två;
• den enda figuren från den sista kategorin kan orienteras på ett unikt sätt.

Detta ger fixerad oktamino.

Rita figurer från octamino

Bland de 369 fria octaminoerna finns 6 figurer med hål ("icke-enkelt kopplade"). Det följer av detta att en fullständig täckning av en rektangel med en area av kvadrater med en komplett uppsättning oktamino är omöjlig. De kan dock staplas i vissa rektanglar med en yta på 2958 rutor med sex encellshål. Eftersom talet 2958 är en produkt av primtalsfaktorerna 2×3×17×29 kan vi ta upp frågan om att rita upp rektanglar 6×493, 17×174, 29×102, 34×87 och 51×58.

För en 51×58 rektangel finns det en lösning med ett symmetriskt arrangemang av hål, som visas i figuren. Det finns också en stapling av octamino i tre 29x34 rektanglar, var och en med två hål nära mitten. Genom att kombinera dem på olika sätt kan du få en 34x87 eller 29x102 rektangel med ett symmetriskt arrangemang av tre par hål. Lösningar för rektanglar 6×493 och 17×174 är ännu inte kända.

Spatial octamino

Från 369 spatial octamino, formad som vanlig "plat" octamino, kan en 8  ×  9  ×  41 kuboid sättas ihop. En lösning använder alla utom den raka octamino för att montera åtta separata 1  ×  9  ×  41 lager; direkt oktamino passerar genom mitten av alla åtta lagren [3] .

Pseudoctamino

Pseudopolyomino är en generalisering av polyomino, en uppsättning fält av ett oändligt schackbräde som kungen kan kringgå [1] . Det finns 18 770 fria (tvåsidiga) [4] , 37 196 ensidiga [5] och 147 941 fasta [6] pseudo-oktamino.

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 .
2. ↑ Weisstein, Eric W. Octomino  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
3. ↑ Ed Pegg, Jr. material tillagt 11 mars 2001 . Patrick Hamlyn packade de solida oktominoerna på ett imponerande sätt, med en trefärgad! . MathPuzzle.com . Hämtad 20 november 2015. Arkiverad från originalet 26 januari 2016. (obestämd)
4. ↑ OEIS - sekvens A030222 _
5. ↑ OEIS - sekvens A030233 _
6. ↑ OEIS - sekvens A006770 _

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. från engelska. V. Firsova. Förord och ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 sid.