Hexamino

Hexamino  är en sexcellig polyomino , det vill säga en platt figur som består av sex lika stora kvadrater förbundna med sidor. Med hexaminofigurer, som med alla polyominoer, finns det många problem med att underhålla matematik.

Om vi ​​inte räknar de olika figurerna som sammanfaller under rotationer och spegelreflektioner, så finns det 35 olika (”fria”) former av hexamino (se figur) [1] [2] . Det finns 60 typer av "ensidiga" hexaminoer (om spegelreflektioner betraktas som olika figurer) och 216 typer av "fasta" hexaminoer (svängar anses också olika) [3] .

Hexaminoklassificering efter symmetri

De 35 fria hexaminofigurerna kan delas in i 5 kategorier enligt deras symmetriegenskaper:

• 20 hexaminofigurer (visade i grått i figuren) är asymmetriska;
• 6 hexaminos (avbildade i rött) har en symmetriaxel parallell med linjerna i det kvadratiska rutnätet;
• 2 hexaminos (avbildade i grönt) har en diagonal symmetriaxel;
• 5 hexaminos (visade i blått) har en central (roterande) andra ordningens symmetri;
• De 2 hexaminos (visas i lila) har två symmetriaxlar parallella med rutnätslinjerna.

För ensidiga hexaminos (det vill säga om spegelbilderna av bitarna anses olika) fördubblas den första och fjärde kategorin i antal, vilket ger ytterligare 25 hexaminos, för totalt 60. För fasta hexaminos (det vill säga, om svängarna också behandlas som olika siffror), kommer den första kategorin att öka med åtta gånger jämfört med fria hexaminos, de kommande tre kategorierna med fyra gånger, och från den sista kategorin med två. Detta kommer att ge fasta hexaminos.

Sammanställning av figurer från hexamino

Även om en komplett uppsättning av 35 hexaminos har en total yta på 210 rutor, är det omöjligt att bilda någon rektangel med en sådan yta (3x70, 5x42, 6x35, 7x30, 10x21, 14x15) - till skillnad från 12 pentominoer, som kan vara används för att bilda någon av rektanglarna 3x20, 4x15, 5x12 och 6x10. Du kan bevisa detta genom att färga hexaminon och rektangeln i ett rutmönster. Då kommer 11 hexaminobitar att ha ett jämnt antal rutor i båda färgerna (2 vita och 4 svarta eller vice versa), och de återstående 24 hexaminobitarna kommer att ha ett udda antal (3 vita och 3 svarta). Således, i varje figur som består av en komplett uppsättning hexaminos, kommer antalet rutor i varje färg att vara jämnt. Men varje rektangel med 210 rutor kommer att ha 105 svarta rutor och 105 vita rutor, vilket är ett udda tal.

Det finns dock andra symmetriska figurer på 210 rutor som kan vara uppbyggda av hexaminos. Till exempel har en 15x15 kvadrat med ett 3x5 rektangulärt hål i mitten 106 vita och 104 svarta rutor (eller vice versa) och kan bestå av en hel uppsättning av 35 hexaminos [4] .

Några symmetriska hexaminostackar

• "Parallelogram" 15×14 med tandade sidor

• Rektangel 19x11 med en cellöverhäng

• Rektangel 13x16 med 2 flikar

• "Triangel" med taggig hypotenusa

• Rektangel 17×15 med tvärhål

Dessutom kan 60 ensidiga hexaminoer med en total yta på 360 enhetsrutor göras till 5x72, 6x60, 8x45, 9x40, 10x36, 12x30, 15x24 och 18x20 rektanglar. [5] .

Kubutvecklingar

11 av 35 hexaminofigurer är ovikta kuber (se figur) [6] . Det är omöjligt att lägga till en rektangel med en area på 66 enhetsrutor från dem [7] .

Anteckningar

1. ↑ Golomb, 1975 .
2. ↑ Golomb, 1994 .
3. ↑ Weisstein, Eric W. Hexomino  på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
4. ↑ Hexominos . Hämtad 18 september 2011. Arkiverad från originalet 27 september 2011. (obestämd)
5. ↑ Gerards Polyomino Solution Page . Datum för åtkomst: 30 september 2011. Arkiverad från originalet den 18 januari 2012. (obestämd)
6. ↑ I. Konstantinov Pentamino et al. Arkivkopia daterad 19 november 2015 på Wayback Machine Science and Life, nr 4, 2002
7. ↑ Gardner, Matematiska romaner, 1974 .

Litteratur

• Golomb S.V. . Polyomino \u003d Polyominoes / Per. från engelska. V. Firsova. Förord och ed. I. Yagloma . —M.:Mir, 1975. — 207 sid.
• Solomon W. Golomb . polyominoer. — 2:a uppl. - Princeton, New Jersey: Princeton University Press , 1994. - ISBN 0-691-02444-8 .
• Gardner M. Matematiska romaner. — M .: Mir, 1974.
• D. Hugh Redelmeier. Räkna polyominoer: ännu en attack // Diskret matematik: journal. - 1981. - Vol. 36. - S. 191-203. - doi : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
• Daniel A. Rawsthorne. Kakelkomplexitet för små n -ominoer ( n < 10)  // Diskret matematik: journal. - 1988. - Vol. 70.—S. 71–75. - doi : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
• Glenn C. Rhoads. Plana plattor av polyominoer, polyhexes och polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics: journal. - 2005. - Vol. 174. - S. 329-353. - doi : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .