Ammann-Binker mosaik

Ammann-Binker plattsättning  är en icke-periodisk plattsättning som kan erhållas antingen med en aperiodisk uppsättning prototiler , som gjordes av Robert Ammann på 1970-talet, eller med cut-and-project-metoden, som gjordes självständigt av F. P. M. Binker. Eftersom alla plattor som produceras av dessa plattor är icke-periodiska, anses Ammann-Binkers plattsättningar vara icke-periodiska. De är bland de fem uppsättningar av plattsättningar som hittats av Ammann och beskrivs i boken Tilings and Patterns [1] .

Ammann-Binker plattsättningar har många liknande egenskaper som de mer kända Penrose plattorna . Av dessa är de mest anmärkningsvärda:

• De är icke-periodiska, vilket betyder att de saknar någon translationssymmetri .
• Varje ändlig region (fragment) av en plattsättning dyker upp ett oändligt antal gånger i denna plattsättning och faktiskt i alla andra plattsättningar. Således ser de oändliga plattorna alla lika ut när endast ändliga fragment beaktas.
• De är kvasi -kristallina-  liknande den fysiska strukturen av Ammann-Binker plattsättningen ger Bragg diffraktion . Diffraktionsmönstret visar både den underliggande åttafaldiga symmetrin och långdistansordningen. Denna ordning återspeglar det faktum att plattsättningarna inte är organiserade genom translationssymmetri, utan genom en process som ibland kallas "reduktion" eller "fyllning".

Olika metoder har föreslagits för att beskriva mosaik-matchningsregler, substitution, klippning och projektion [2] och beläggningar [3] [4] . 1987 tillkännagav Wang, Chen och Kuo upptäckten av kvasikristaller med åttkantig symmetri [5] .

Beskrivning av brickor

Ett vanligt val av kakelset för Ammann-Binker mosaik inkluderar 45º och 135º romber (dessa romber visas i blått i figuren överst på sidan) och fyrkanter (visas i vitt). Kvadrater kan delas in i par av likbenta rätvinkliga trianglar . (Detta görs i figuren ovan.) Matchningsreglerna eller substitutionsrelationerna för dessa kvadrater/trianglar representerar dock inte alla symmetrier.

Faktum är att matchningsreglerna för brickor inte ens reflekterar spegelsymmetrierna som ersättningsreglerna ger.

Ersättningsregler för en vanlig uppsättning brickor.

En alternativ uppsättning plattor, också upptäckt av Ammann och betecknad "Ammann 4" av Grünbaum och Shepard [1] , består av två icke-konvexa figurer med räta vinklar. En figur består av två rutor som skär varandra längs en mindre kvadrat, medan den andra består av en kvadrat med ytterligare en kvadrat på sidan. Bilden nedan visar mosaikens former och delar.

En ersättningsregel för en alternativ uppsättning brickor.

En länk mellan två uppsättningar brickor.

Förutom pilspetsarna på kanterna av en vanlig uppsättning brickor, kan matchningsreglerna för båda uppsättningarna uttryckas genom att specificera delar av stora pilspetsar vid hörnen och kräva att de sätts ihop till en komplett pilspets.

Katz [6] studerade andra plattsättningar som erhållits genom att släppa begränsningar på hörn och bara behålla begränsningar på pilar på kanter. Eftersom dessa krav är uppfyllda av ersättningsreglerna, har varje ny beläggning en oändlig sekvens av "förstorade" kopior erhållna genom successiv tillämpning av ersättningsreglerna. Varje plattsättning i denna sekvens går inte att skilja från en äkta Ammann-Binker-platta i större skala. Eftersom vissa av dessa plattsättningar är periodiska, följer det att inga mönster på plattorna som tvingar fram en icke-periodisk plattsättning kan fastställas när man överväger ett ändligt antal plattor. Orienteringen av pilarna vid hörnen, som tvingar fram konstruktionen av en icke-periodisk plattsättning, kan således endast härledas från en fullständig oändlig plattsättning.

Plattläggningen har också den extrema egenskapen att bland plattsättningar vars romber alternerar (det vill säga om två romber ligger intill eller åtskilda av en rutarad har de olika orientering) är andelen rutor minimal i Ammann-Binker-plattningen. [7]

Pell siffror och Silver Ratio

Ammann-Binker plattsättningen är nära besläktad med silversektionen ( ) och Pell-nummer .

• Substitutionsschemat representerar förhållandet som ett skalvärde - dess matris är en Pell-substitutionsmatris, och sekvensen av ord som erhålls genom substitutionen har egenskapen att antalet element och är lika med successiva Pell-tal.
• Egenvärdena för substitutionsmatrisen är och .
• I en alternativ uppsättning plattor är långsidan dubbelt så lång som kortsidorna.
• En uppsättning " Conway- maskar ", som bildas av korta och långa diagonaler av romber, ges av ovanstående linjer, där r betecknar den korta diagonalen och R den långa [8] .

Ammann ränder för vanligt kakel. Om de feta yttre segmenten tas som längdenheter delar ränderna upp kanterna i längdsegment och .

Ammann-ränder för alternativa plattor. Observera att ränderna för den asymmetriska plattan delvis sträcker sig utanför plattan.

Klipp och projektera konstruktion

Honeycombs från hypercubes har åttafaldig rotationssymmetri, motsvarande den åttafaldiga rotationssymmetrin hos tesseracten . Rotationsmatrisen som motsvarar denna symmetri är:

Omvandla denna matris till nya koordinater via

Denna tredje matris motsvarar en rotation på 45° (i de två första koordinaterna) och 135° (i de andra två). Vi kan nu få Ammann-Binker-plattan genom att projicera ytorna på hyperkuberna på de två första eller två sista koordinaterna.

Alternativt kan en Ammann-Binker plattsättning erhållas genom att placera romber och rutor runt skärningspunkterna för par av identiska kvadratiska celler placerade i en vinkel på 45º. Dessa två tekniker utvecklades av Binker i hans uppsats.

Klotz-konstruktionen är en relaterad högdimensionell inbäddning av hyperkubbikakor , som beskrivs i Baake och Joseph [9] . Den åttkantiga acceptansregionen kan sedan delas upp ytterligare, som var och en ger exakt en vertexkonfiguration. Dessutom motsvarar det relativa området för någon av dessa regioner frekvensen av förekomsten av motsvarande vertex i den oändliga plattsättningen.

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 .
2. ↑ Beenker, 1982 .
3. ↑ Gähler, 1998 , sid. 95.
4. ↑ Abraham, Gähler, 1999 , sid. 860.
5. ↑ Wang, Chen, Kuo, 1987 , sid. 1010-1013.
6. ↑ Katz, 1994 , sid. 141–189.
7. ↑ Bédaride N., Fernique Th., The Ammann-Beenker Tilings Revisited arXiv Arkiverad 31 augusti 2020 på Wayback Machine
8. ↑ Socolar, 1989 , sid. 10519-10551.
9. ↑ Baake, Joseph, 1990 , sid. 8091ff.

Litteratur

• B. Grünbaum , G.C. Shephard. Kakel och mönster. - NY: W.H. Freemann & Co, 1986. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• FPM Beenker. Algebraisk teori om icke periodiska plattsättningar av planet med två enkla byggstenar: en kvadrat och en romb // TH Report. - Eindhoven: Technische Hogeschool, 1982. - Vol. 82-WSK-04 .
• F. Gahler. Proceedings of the 6th International Conference on Quasicrystals / S. Takeuchi,T. Fujiwara. - Singapore: World Scientific Publishing Company, 1998. - ISBN 9789810233433 .
• S. Ben Abraham, F. Gähler. Täckande klusterbeskrivning av oktagonala MnSiAl-kvasikristaller // Fysisk. Varv. - 1999. - T. B60 . - S. 860 .
• Wang N., Chen H., Kuo K.,. Tvådimensionell kvasikristall med åttafaldig rotationssymmetri // Phys Rev Lett. - 1987. - T. 59 . - S. 1010-1013 .
• A. Katz. Kapitel: Bortom kvasikristaller // Matchningsregler och kvasiperiodicitet: de åttakantiga plattorna. - Berlin, Heidelberg: Springer, 1994. - V. 3. - (Centre de Physique des Houches). — ISBN 978-3-540-59251-8 .
• JES Socolar. Enkla oktagonala och tvåkantiga kvasikristaller // Physical Review B. - 1989. - V. 39 , nr. 15 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 .
• M Baake, D Joseph. Idealiska och defekta vertexkonfigurationer i det plana oktagonala kvasilattice // Physical Review B. - 1990. - T. 42 . - doi : 10.1103/physrevb.42.8091 .

Länkar

• Tilings Encyclopedia inlägg .
• Ammann-Beenker brickor på John Savards hemsida .
• Visar Ammann-linjerna för plattsättningen och ersättningsreglerna .