Lista över sfäriska symmetrigrupper

Punktgrupp i 3D-rymden

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetrier C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

Sfäriska symmetrigrupper kallas också punktgrupper i tredimensionellt utrymme , men denna artikel tar bara hänsyn till ändliga symmetrier. Det finns fem grundläggande klasser av symmetri som triangulära fundamentala domäner besitter: dihedral , cyklisk , tetraedrisk , oktaedrisk och icosahedral .

Artikeln listar grupper enligt Schoenflies symboler , Coxeter notation [1] , orbifold notation [2] och ordning. Conway använde en variant av Schoenflies-notationen, baserad på den algebraiska strukturen av quaterniongruppen , med en eller två versaler och en full uppsättning prenumerationer. Gruppordningen indikeras av indexet, om den inte dubbleras med ett plus/minustecken ("±"), vilket innebär central symmetri [3] .

Symboliken för Herman-Mogen (internationell rekord) ges också. Kristallografigrupperna , totalt 32, är en delmängd med element av ordningen 2, 3, 4 och 6 [4] .

Symmetrier-involutioner

Det finns fyra symmetrier som är omvända till sig själva, dvs. involutioner : identitetstransformation (C1 ), spegelsymmetri (Cs ) , rotationssymmetri ( C2 ) och central symmetri ( Ci ).

Int.	Geom. [5]	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.	Fond. område
ett	ett	elva	C1 _	C1 _	][ [ ] +	ett
2	2	22	D1 = C2 _	D2 = C2 _	[2] +	2

Int.	Geom.	Orib.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.	Fond. område
ett	22	×	C i \u003d S 2	CC2 _	[2 + ,2 + ]	2
2 = m	ett	*	Cs = Civ = C1h _	±C 1 = CD 2	[ ]	2

Cyklisk symmetri

Det finns fyra oändliga familjer av cyklisk symmetri med n =2 och högre. (n kan vara lika med 1 som ett specialfall av ingen symmetri )

Int.	Geo	Klot.	Schönf.	Conway.	Koks.	Eftersom.
2	2	22	C2 = D1 _	C2 = D2 _	[2] + [2,1] +	2
mm2	2	*22	C2v = D 1h	CD 4 = DD 4	[2] [2,1]	fyra
fyra	42	2×	S4 _	CC4 _	[2 + ,4 + ]	fyra
2/m	2 2	2*	C2h = Dld _	±C2 = ± D2	[2,2 + ] [2 + ,2]	fyra

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	[3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ±C n	[2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ]	6 8 10 12 2n
3/m= 64 /m5 / m= 106/m n /m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C 3h C 4h C 5h C 6h C nh	CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ]	6 8 10 12 2n

Dihedral symmetri

Det finns tre oändliga familjer med dihedrisk symmetri med n lika med eller större än 2. ( n kan vara lika med 1 som ett specialfall)

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.
222	2 . 2	222	D2 _	D4 _	[2,2] +	fyra
42m _	4 2	2*2	D2d _	D.D. 8	[2 + ,4]	åtta
hmmm	22	*222	D2h _	±D 4	[2,2]	åtta

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2n _ _ 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 Dn _	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] +	6 8 10 12 2n
3m 8 2m 5m 12 ,2m _ _	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	±D 6 DD 16 ±D 10 DD 24 DD 4n / ±D 2n	[2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n]	12 16 20 24 4n
6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D 3h D 4h D 5h D 6h D nh	DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Symmetrier av polyedrar

Det finns tre typer av symmetri för polyedrar : tetraedrisk symmetri , oktaedrisk symmetri , och icosahedral symmetri , uppkallad efter regelbundna triangulära polyedrar som har sådana symmetrier.

Tetraedrisk symmetri

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12
m 3	4 3	3*2	T h	±T	[ 4,3+ ]	24
43m _	33	*332	T d	TILL	[3,3] = [1 + ,4,3]	24

Oktaedrisk symmetri

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.	Fond. område
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] + = [[3,3]] +	24
m 3 m	43	*432	O h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Ikosaedrisk symmetri

Int.	Geom.	Klot.	Schönf.	Conway	Koks.	Eftersom.	Fond. område
532	5 . 3	532	jag	jag	[5,3] +	60
53 2/m	53	*532	jag h	±I	[5,3]	120

Se även

Kristallografisk punktsymmetrigrupp
triangelgrupp
Lista över plana symmetrigrupper
Punktgrupper i tvådimensionellt utrymme

Litteratur

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
Donald E. Sands. Kristallsystem och geometri // Introduktion till kristallografi . - Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. - P. 165 . - ISBN 0-486-67839-3 .

John H. Conway, Derek A. Smith. Om quaternions och oktaver = På quaternions och oktonioner. - Moskva: MTSNMO, 2009. - ISBN 978-5-94057-517-7 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
HSM Coxeter . Kalejdoskop: Utvalda skrifter av HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Norman Johnson. Kapitel 11: Finita symmetrigrupper // Geometrier och transformationer. — 2015.
D. Hestenes , J. Holt. Kristallografiska rymdgrupperna i geometrisk algebra // Journal of Mathematical Physics. - 2007. -Utgåva. 48, 023514.

Externa länkar

Finita sfäriska symmetrigrupper
Weisstein, Eric W. Schoenflies symbol (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Weisstein, Eric W. Kristallografiska punktgrupper (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Enklaste kanoniska polyedrar av varje symmetrityp , av David I. McCooey