Punktgrupp i 3D-rymden

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetrier C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

En punktgrupp i tredimensionellt utrymme är en grupp av isometrier i det tredimensionella utrymmet som inte flyttar ursprunget, eller en grupp av isometrier av en sfär . Gruppen är en undergrupp till den ortogonala gruppen O(3), gruppen av alla isometrier som lämnar ursprunget fixerat, respektive gruppen av ortogonala matriser . O(3) är själv en undergrupp av den euklidiska gruppen E (3) av rörelser i ett 3-dimensionellt rum.

Symmetrigrupper av objekt är isometrigrupper. Följaktligen är analysen av isometrigrupper analysen av möjliga symmetrier . Alla isometrier för ett avgränsat 3D-objekt har en eller flera fixpunkter (som inte ändrar position på grund av symmetri). Vi väljer ursprunget som en av dessa punkter.

Symmetrigruppen av ett objekt kallas ibland för den fullständiga symmetrigruppen i motsats till dess rotationsgrupp eller dess egen symmetrigrupp , skärningspunkten mellan den fullständiga symmetrigruppen och SO(3)-rotationsgruppen i tredimensionellt utrymme. Rotationsgruppen för ett objekt är densamma som dess fulla symmetrigrupp om och endast om objektet är kiralt .

Punktgrupper i tredimensionellt utrymme används flitigt inom kemi, särskilt när man beskriver symmetrierna hos en molekyl och molekylära orbitaler som bildar kovalenta bindningar , och i detta sammanhang kallas dessa grupper för molekylära punktgrupper .

Finita Coxeter-grupper är en speciell uppsättning punktgrupper som bildas av en uppsättning spegelplan som skär varandra vid en punkt. En Coxeter-grupp med rang n har n speglar och representeras av ett Coxeter-Dynkin-diagram . Coxeter-notationen tillhandahåller en parentesnotation som motsvarar Coxeter-diagrammet med markeringssymboler för rotations- och andra punktsymmetriundergrupper.

Gruppstruktur

SO(3) är en undergrupp av E + (3) , som består av direkta isometrier , dvs. orienteringsbevarande isometrier . Den innehåller isometrier av denna grupp, vilket lämnar ursprunget utan rörelse.

O(3) är den direkta produkten av SO(3) och gruppen som bildas av den centrala symmetrin :

O(3) = SO(3) × { I , − I }

Det finns alltså en 1-till-1-överensstämmelse mellan alla direkta isometrier och indirekta isometrier som erhålls genom central symmetri. Det finns också en 1-till-1 överensstämmelse mellan alla direkta isometrigrupper av H i O(3) och alla isometrigrupper av K i O(3) som innehåller en central inversion:

K = H × { I , − I } H = K ∩ SO(3)

Till exempel, om H är en C2 - grupp , så är K lika med C2h . Om H är en C 3 - grupp så är K lika med S 6 . (Se nedan för en definition av dessa grupper.)

Om den direkta isometrigruppen H har en undergrupp L med index 2, så finns det, förutom gruppen som innehåller central symmetri, också en motsvarande grupp som innehåller indirekta isometrier, men som inte innehåller central symmetri:

M = L ∪ ( ( H \ L ) × { − I } ),

där isometrin ( A , I ) identifieras med A. Ett exempel skulle vara C 4 för H och S 4 för M .

Således erhålls M från H med hjälp av den centrala symmetrin av isometrier från H \ L . Denna grupp M är en abstrakt grupp isomorf till H . Omvänt, för alla isometrigrupper som innehåller indirekta isometrier men ingen central symmetri, kan vi erhålla en rotationsgrupp genom att tillämpa central symmetri på indirekta isometrier.

I två dimensioner är den cykliska gruppen av rotationer av ordningen k C k (rotationer genom en vinkel på 180°/ k ) för alla positiva heltal k en undergrupp av O(2, R ) och SO(2, R ). Följaktligen, i det tredimensionella rummet, för vilken axel som helst, är den cykliska gruppen av rotationer av ordningen k runt axeln en normal undergrupp av alla rotationer runt axeln. Eftersom vilken undergrupp som helst med index två är normal är rotationsgruppen ( Cn ) normal både i gruppen som erhålls genom att addera spegelsymmetrier kring plan som innehåller axlarna ( Cnv ) och i gruppen som erhålls genom att addera spegelsymmetrier kring plan vinkelräta mot axlar ( Cnh ) .

Tredimensionella isometrier som lämnar ursprunget fixat

Isometrierna för utrymmet R 3 som lämnar origo fixerat och bildar gruppen O( 3 , R ) kan delas in i grupper enligt följande:

SO( 3 , R ):
- identisk rörelse
- rotation kring en axel som går genom origo genom en annan vinkel än 180°
- rotation kring en axel som går genom origo genom en vinkel lika med 180°
samma sak med central symmetri ( x översätts till −x ), d.v.s. respektive:
- central symmetri
- rotation kring en axel som går genom origo genom en vinkel som inte är lika med 180°, följt av reflektion kring ett plan vinkelrätt mot axeln och passerar genom origo
- reflektion om ett plan som passerar genom origo

Särskilt 4:e och 5:e isometrierna, och i bredare bemärkelse även den 6:e, kallas olämpliga rotationer .

Konjugation

Om symmetrierna för två objekt jämförs, väljs ursprunget för koordinaterna för varje objekt separat, dvs. de kommer inte nödvändigtvis att ha samma centrum. Dessutom anses objekt ha samma typ av symmetri om deras symmetrigrupper är konjugerade grupper av gruppen O(3) (två undergrupper H 1 och H 2 av G är konjugerade om det finns g ∈ G så att H 1 = g -1 H2g ) . _

Till exempel har två 3D-objekt samma typ av symmetri if

båda har spegelsymmetri, men med avseende på olika plan
båda har rotationssymmetri av ordning 3, men kring olika axlar.

I fallet med flera symmetriplan och/eller rotationsaxlar är två symmetrigrupper av samma typ om och endast om det finns en rotation som mappar hela strukturen av den första symmetrigruppen till den andra. (Faktum är att det kan finnas mer än en rotation, men inte ett oändligt antal). Definitionen av konjugation tillåter också spegling av strukturen, men detta är inte nödvändigt, eftersom strukturen i sig är akiral. Till exempel, om en symmetrigrupp innehåller en axel av ordning 3, innehåller den rotationer i två motsatta riktningar (strukturen är kiral för 11 par av kristallografiska grupper med en spiralaxel).

Oändliga isometrigrupper

Det finns många oändliga isometrigrupper, till exempel den " cykliska gruppen " (antas vara en grupp som bildas av ett enda element - inte att förväxla med en grupp med torsion ) som bildas av en irrationell rotation kring en axel. Vi kan skapa icke-cykliska abelska grupper genom att lägga till ytterligare vändningar runt samma axel. Det finns också icke-abeliska grupper som bildas genom rotationer kring olika axlar. De är vanligtvis (i allmänhet) fria grupper . De kommer att vara oändliga om du inte väljer att rotera på ett visst sätt.

Alla de oändliga grupperna som nämnts fram till denna punkt är inte slutna som topologiska undergrupper av gruppen O(3).

Hela gruppen O(3) är en sfärisk symmetrigrupp . SO(3) är motsvarande rotationsgrupp. Andra oändliga isometrigrupper består av alla rotationer kring en axel som går genom origo och samma rotation med ytterligare spegelsymmetri om plan som passerar genom denna axel och/eller spegelsymmetri kring ett plan som går genom origo och vinkelrätt mot axeln. Dessa grupper med speglar som går genom axeln, med eller utan en spegel som går genom origo och vinkelrät mot axeln, är symmetrigrupper för två typer av cylindrisk symmetri . Observera att alla fysiska föremål som har oändliga rotationssymmetrier också kommer att ha spegelsymmetrier med avseende på plan som passerar genom axeln.

Finita isometrigrupper

Symmetrier i 3-dimensionell rymd som lämnar origo på plats definieras helt av symmetrier på sfären centrerad vid origo. För ändliga tredimensionella punktgrupper, se även Grupper av sfärisk symmetri .

Fram till konjugation består uppsättningen av ändliga tredimensionella punktgrupper av:

7 oändliga serier med högst en axel av ordning större än 2. Dessa är ändliga symmetrigrupper på oändliga cylindrar , eller motsvarande, på ändliga cylindrar. Dessa grupper kallas ibland prismatiska punktgrupper.
7-punktsgrupper med flera axlar av ordningen 3 eller mer. Dessa är finita punktgrupper med flera axlar av ordning 3, eftersom alla 7 inkluderar sådana axlar. Möjliga axelkombinationer:
- 4-axlig ordning 3
- 4 axlar av ordning 3 och 3 av ordning 4
- 10 axlar av ordning 3 och 6 i ordning 5

Uppsättningen av punktgrupper liknar den diskreta överföringsgruppen - 27 av 7 oändliga serier och 5 av 7 återstående, totalt 32 så kallade kristallina punktgrupper. Se även Crystallographic Constraint Theorem .

Sju oändliga serier av axisymmetriska grupper

Den oändliga serien av prismatiska grupper har index n , som kan vara vilket naturligt tal som helst. I varje serie innehåller den n :te symmetrigruppen en rotation av ordningen n runt axeln, dvs. rotation med 360°/ n . Fallet n =1 motsvarar frånvaron av rörelse. Det finns fyra serier utan ytterligare rotationssymmetriaxlar (se cykliska symmetrier ) och tre med ytterligare symmetriaxlar av ordning 2 (se dihedrisk symmetri ). De kan förstås som punktgrupper i -planet , förlängda med koordinataxlar och reflektioner i dem. De är relaterade till kantgrupperna [1] och kan ses som kantgrupper som upprepas n gånger runt cylindern.

Följande tabell ger några typer av notation för punktgrupper: Hermann-Mogen symbolism (används i kristallografi ), Schoenflies symboler (används för att beskriva molekylär symmetri ), orbifold notation och Coxeter notation . De tre sista är inte bara bekväma för att förstå egenskaperna hos punktgrupper, utan bestämmer också gruppens ordning. Dessa är enhetliga poster som gäller för tapetgrupper och kantgrupper . För kristallografiska grupper är n begränsad till 1, 2, 3, 4 och 6. Om vi tar bort de kristallografiska begränsningarna får vi grupper för vilket naturligt tal som helst.

Serier:

Herman - Mogena		Schoenflugor	Orbifold [	Coxetera		Gräns	Struktur ( Order )	Exempel	Kommentarer
Även n	udda n	Schoenflugor	Orbifold [	Coxetera		(cylinder)	Struktur ( Order )	Exempel	Kommentarer
n		C n	nn	[n] +		p1	n	Z n ( n )		rotationssymmetri av ordning n
2n _	n	S2n _ _	n ×	[2n + ,2 + ]		sid 11g	Z 2 n (2 n )		Spegelrotationssymmetri av ordning n . Ej att förväxla med symmetriska grupper
n /m	2n _	C n h	n *	[n + ,2]		p11m	Z n × Dih 1 (2 n )
nmm _	nm _	C n v	* nn	[n]		p1m1	Dihn ( 2n ) _		Pyramidal symmetri; i biologi - biradial symmetri
n 22	n 2	D n	22n _	[n,2] +		s211	2n _	Dih n	Dihedral symmetri
2n2m _ _	nm _	D n d , D n v	[2n,2 + ]		p2mg	4n _	Dih 2 n (2 n )		Antiprismatisk symmetri
n /mmm	2n2m _ _	D n h	* 22n	[n,2]		p2mm	Dih n ×Dih 1 (4 n )		Prismatisk symmetri

För udda n har vi Z 2 n = Z n × Z 2 och Dih 2 n = Dih n × Z 2 .

Begreppen horisontell (h) och vertikal (v), såväl som motsvarande (lägre) index, hänvisar till ytterligare spegelplan som kan vara parallella med rotationsaxeln (vertikal) eller vinkelräta mot rotationsaxeln (horisontell) .

De enklaste icke-triviala grupperna har en involutionssymmetri (den abstrakta gruppen Z 2 ):

C i - central symmetri
C 2 - rotationssymmetri av ordning 2
C s - spegelsymmetri , även kallad bilateral symmetri .

Den andra av dessa grupper är den första av grupperna med en axel ( cykliska grupper ) Cn av storleksordningen n (tillämplig även i tvådimensionellt utrymme), som genereras av en enda rotation genom en vinkel på 360° / n . Dessutom kan man lägga till ett spegelplan vinkelrätt mot axeln, vilket ger en grupp C nh av ordningen 2 n , eller en uppsättning av n speglar som innehåller axeln, vilket ger en grupp C nv , också av ordningen 2 n . Den senare är symmetrigruppen i en vanlig pyramid med n sidor. Ett typiskt föremål med symmetrigrupp Cn eller Dn är en propeller .

Om både vertikala reflektionsplan och horisontella plan läggs till ger deras skärningspunkter n axlar med 180° rotation, så gruppen är inte längre enaxlig. Denna nya grupp av ordning 4n kallas Dnh . Dess rotationsundergrupper är den dihedriska gruppen D n av ordningen 2 n , som dock har rotationsaxlar av ordningen 2 vinkelräta mot huvudrotationsaxeln, men inga spegelreflektionsplan. Observera att i 2D innehåller D n reflektioner, vilket kan ses som att vända över platta föremål utan att skilja mellan fram och bak, men i 3D är de två operationerna olika - gruppen innehåller "flip over" men inte reflektioner.

Det finns en annan grupp i denna familj, kallad D nd (eller D nv ), som har vertikala spegelplan som innehåller huvudrotationsaxeln, men istället för en horisontell spegel har den en isometri som kombinerar reflektion kring ett horisontellt plan och rotation genom en vinkel på 180°/ n . D nh är symmetrigruppen för ett regelbundet (n+2) -sidigt prisma och för en regelbunden (2n)-sidig bipyramid . D nd är symmetrigruppen för en regelbunden (n+2) -sidig antiprisma , och även för en regelbunden (2n) -sidig trapetsoeder . D n är symmetrigruppen för det delvis roterade prismat.

Grupperna D 2 och D 2 h är anmärkningsvärda genom att de inte har speciella rotationsaxlar. Det finns tre vinkelräta axlar av storleksordningen 2 [2] . D 2 är en undergrupp av polyedriska symmetrier (se nedan) och D 2 h är en undergrupp av polyedriska symmetrier T h och O h . D 2 kan hittas i homotetramerer , såsom concanavalin A , i tetraedriska komplex med fyra identiska kirala ligander , eller i molekyler såsom tetrakis(klorfluormetyl) metan , om alla klorfluormetylgrupper har samma kiralitet. Beståndsdelarna i D 2 är i 1-till-2 överensstämmelse med de rotationer som ges av de reversibla elementen i Lipschitz quaternions .

Gruppen Sn genereras av en kombination av reflektion i horisontalplanet och rotation genom en vinkel på 360°/ n . För udda n sammanfaller gruppen med gruppen som genereras av två separata Cnh av ordningen 2n , och därför är notationen Sn inte nödvändig . För även n är de dock distinkta och har ordning på n . Liksom D nd innehåller gruppen flera felaktiga rotationer , men inga motsvarande rotationer.

Alla symmetrigrupper i de 7 oändliga serierna är olika, förutom följande fyra lika par:

C 1h och C 1v : grupp av ordning 2 med en reflektion ( C s )
D 1 och C 2 : beställ 2 grupp med en 180° rotation
D 1 h och C 2 v : grupp av ordning 4 med reflektion kring ett plan och rotation 180° kring en linje på det planet
D 1 d och C 2 h : ordning 4 grupp med reflektion kring ett plan och rotation med 180° kring en linje vinkelrät mot det planet

S 2 är en grupp av ordning 2 med en unik symmetri kring punkten ( C i )

Här betyder "lika" detsamma upp till konjugering i rymden. Detta är strängare än "upp till algebraisk isomorfism". Till exempel finns det tre distinkta grupper av ordning två i den första meningen, men bara en i den andra. På liknande sätt, till exempel , är gruppen S2n algebraiskt isomorf till Z2n .

Grupper kan byggas så här:

Cn . _ Genereras av ett element, även kallat C n , motsvarande en rotation genom en vinkel på 2π/ n runt axeln. Elementen i gruppen är E (identitetselement), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , motsvarande rotation genom vinklarna 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n − 1) π/ n .
S2n . _ _ Gruppen genereras av elementet C 2 n σ h , där σ h är reflektionen (i en spegel vinkelrät mot axeln). Dess element är element C n med tillagda element C 2n σ h , C 2 n 3 σ h , ..., C 2 n 2 n −1 σ h .
C n h . Gruppen genereras av elementet C n och reflektionen σ h . Dess element är element i gruppen C n med tillagda element σ h , C n σ h , C n 2 σ h , ..., C n n −1 σ h .
C nv . _ Gruppen genereras av elementet C n och reflektionen σ v i spegeln som passerar genom axeln. Dess element är element i gruppen C n med adderade element σ v , C n σ v , C n 2 σ v , ..., C n n −1 σ v .
D n . Gruppen genereras av elementet C n och en 180° rotation U = σ h σ v kring en rät linje som ligger i ett plan vinkelrätt mot axeln. Dess element är element i gruppen C n med tillagda element U, C n U, C n 2 U, ..., C n n − 1 U.
D n d . Gruppen genereras av elementen C 2 n σ h och σ v . Dess element är element i gruppen C n och element i grupperna S 2 n och C n v , tillsammans med elementen C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , ..., C 2 n 2 n − 1 σ h σ v .
D n h . Gruppen genereras av elementen C n , σ h och σ v . Dess element är element i gruppen C n med tillägg av element i grupperna C n h , C n v och D n .

Med n lika med ∞ får vi en grupp med kontinuerliga axiella rotationer:

G–M	Schoenflugor	Orbifold	Coxeter	Begränsa	abstrakt grupp
∞	C∞ _	∞∞	[∞] +	C n	Z∞ _	SO(2)
∞ , ∞/m	C∞h _	∞*	[2,∞ + ]	Cnh , S2n _ _ _	Dih 1 × Z∞	Z2 × SO(2 )
∞m	C∞v _	*∞∞	[∞]	C n v	Dih∞ _	O(2)
∞2	D∞ _	22∞	[2,∞] +	D n	Dih∞ _	O(2)
∞m, ∞ /mm	D∞h _	*22∞	[2,∞]	D n h , D n d	Dih 1 × Z∞	Z2 ×O(2 )

De sju återstående punktgrupperna

De återstående punktgrupperna har mycket hög eller polyedrisk symmetri eftersom de har mer än en rotationsaxel av ordningen större än 2. Här betecknar Cn en 360°/n rotationsaxel och Sn betecknar en felaktig rotationsaxel med samma vinkel. Notationskolumnen anger orbifold-notationen (inom parentes), Coxeter-notationen ( Coxeter-diagram ), den fullständiga Hermann-Maugin-symboliken och den förkortade formen om den är annorlunda. Lista över grupper:

T , (332) [3,3] + () 23 beställning 12	kiral tetraedrisk symmetri	Det finns fyra C 3 -axlar, som var och en går genom två hörn av kuben (längs den stora diagonalen) eller höjderna på en vanlig tetraeder , och tre C 2 -axlar genom mitten av kubens ytor eller mittpunkterna på (motstående) sidor av tetraedern. Denna grupp är isomorf till A 4 , en alternerande grupp på 4 element, och är rotationsgruppen för en vanlig tetraeder. Gruppen är en normal undergrupp av grupperna T d , T h och oktaedriska symmetrier. Elementen i gruppen motsvarar 1-till-2 rotationer, som ges av 24 Hurwitz quaternion - enheter (" Binary Tetrahedron Group ").
T d , (*332) [3,3] () 4 3m order 24	fullständig tetraedrisk symmetri	Denna grupp har samma rotationsaxlar som T, men med sex spegelplan, som var och en innehåller två kubkanter eller en tetraedrisk kant, en C2 -axel och två C3 - axlar . Axlarna C2 blir axlarna S4 . Denna grupp är den vanliga tetraederns symmetrigrupp . T d är isomorf till S 4 , den symmetriska gruppen av 4 bokstäver, eftersom det finns en 1-till-1 överensstämmelse mellan elementen i T d och 24 permutationer av de fyra fyraaxlar 3.ordningens d motsvarar uppsättningen av permutationer av dessa fyra element. T d är en normal undergrupp av O h . Se även isometri för en vanlig tetraeder .
T h , (3*2) [3 + ,4] () 2/m 3 , m 3 order 24	pyriteedrisk symmetri	Denna grupp har samma rotationsaxlar som T med spegelplan parallella med kubens ytor. C 3 -axlarna blir S 6 -axlar och det finns en central symmetri. Gruppen Th är isomorf till gruppen A 4 × Z 2 (eftersom T och C i är normala undergrupper), men inte till den symmetriska gruppen S 4 . Detta är symmetrigruppen för en kub, på vars sida ett segment är ritat som delar kuben i två lika stora rektanglar, och segmenten av intilliggande ytor har inte gemensamma punkter (de förbinder olika kanter). Symmetrier motsvarar jämna permutationer av de stora diagonalerna, kombinerat med central symmetri. Gruppen är också en symmetri av pyrithedronen , som liknar den ovan beskrivna kuben, där varje rektangel är ersatt av en femhörning med en symmetriaxel, med 4 lika sidor och en sida av olika längd (vilket motsvarar linjen segment som delar kubens yta.). Det vill säga att kubens ytor sticker ut längs skiljelinjen och blir smalare här. Gruppen är en undergrupp (men inte en normal undergrupp) av gruppen av fullständig ikosaedrisk symmetri (som en isometrisk grupp, men inte bara som en abstrakt grupp), med 4 av de 10 axlarna av ordning 3. Gruppen är en normal undergrupp från O h- gruppen .
O , (432) [4,3] + () 432 order 24	kiral oktaedrisk symmetri	Denna grupp liknar T-gruppen, men C 2 -axlarna blir C 4 -axlar och det finns ytterligare 6 C 2 -axlar som passerar genom mittpunkterna på kubens kanter. Denna grupp är isomorf till S 4 eftersom dess 1-till-1 element motsvarar 24 permutationer av ordningen 3 axlar, som i T. Ett symmetriobjekt D 3 kring en av axlarna i ordningen 3 erhålls genom verkan av O på en bana som består av fyra sådana objekt, och O motsvarar en uppsättning permutationer av dessa fyra element. Gruppen är rotationsgruppen för kuben och oktaedern . Om rotationer representeras av quaternions består O av 24 enheter av Hurwitz quaternions och 24 normerade Lipschitz quaternions , normaliserade genom division med . Precis som tidigare är detta en 1-till-2-match. ${\sqrt {2}}$
Åh , (*432) [4,3] () 4/m 3 2/m, m 3 m order 48	full oktaedrisk symmetri	Denna grupp har samma rotationsaxlar som O , men med spegelplan inklusive symmetriplanen T d och Th . Gruppen är isomorf till S 4 × Z 2 (eftersom både O och C i är normala undergrupper), och är symmetrigruppen för kuben och oktaedern . Se även kubisometri
I , (532) [5,3] + () 532 order 60	kiral ikosaedrisk symmetri	Grupp av rotationer av icosahedron och dodecahedron . Gruppen är en normal undergrupp med index 2 för den fullständiga symmetrigruppen Ih . Gruppen innehåller 10 versioner av grupp D 3 och 6 versioner av grupp D 5 (rotationssymmetrier, som prismor och antiprismor). Gruppen innehåller också fem versioner av Th (se Förening av fem tetraedrar ). Grupp I är isomorf till A5 , den alternerande 5 -bokstavsgruppen, eftersom dess element motsvarar 1-till-1 jämna permutationer av de fem Th - symmetrierna (eller de fem tetraedrarna som nämns ovan).
I h , (*532) [5,3] () 5 3 2/m, 5 3 m beställning 120	fullständig ikosaedrisk symmetri	Symmetrigrupp av icosahedron och dodecahedron. Gruppen Ih är isomorf till A 5 × Z 2 eftersom I och C i är normala undergrupper. Gruppen innehåller 10 D 3d - versioner, 6 D 5d -versioner (symmetrier som antiprismor) och 5 T h- versioner .

De kontinuerliga grupperna som är associerade med denna grupp är:

K eller SO(3), alla möjliga rotationer.
K h eller O(3), alla möjliga rotationer och reflektioner.

Som noterats ovan för grupper med kontinuerlig rotation kommer alla fysiska objekt som har K-symmetri också att ha Kh- symmetri .

Förhållandet mellan orbifold notation och ordning

Ordningen för en grupp är 2 dividerat med Euler- karaktäristiken . Det senare är lika med 2 minus summan av värdena, som beräknas enligt följande regler:

n utan eller före * räknas som ( n − 1)/ n
n efter * räknas som ( n −1)/(2 n )
* och × räknas som 1

Detta kan även tillämpas på tapetgrupper och kantgrupper - för dem är summan 2, vilket ger en oändlig ordning. Se orbifold Euler-karakteristik .

Coxeter reflektionsgrupper

Grundläggande domän för tredimensionella Coxeter-grupper

A 3 , [3,3]	BC 3 , [4,3]	H3 , [ 5,3]
6 speglar	3+6 speglar	15 speglar
A 1 ×A 1 , [1,2]	A 1 ×A 1 ×A 1 , [2,2]	I 2 (3) × A 1 , [2,3]
2 speglar	3 speglar	4 speglar
A 1 , [1]	A 1 ×A 1 , [2]	I 2 (3), [3]
1 spegel	2 speglar	3 speglar

Reflektionspunktsgrupper i tredimensionellt rum, som också kallas Coxeter-grupper och kan definieras av Coxeter-Dynkin-diagram , representerar en uppsättning speglar som skär varandra i en central punkt och begränsar domänområdet i form av en sfärisk triangel på sfärens yta. Coxeter-grupper med färre än 3 generatorer har degenererade sfäriska triangulära domäner som lune eller hemisfär . I Coxeter-notation är sådana grupper tetraedrisk symmetri [3,3], oktaedrisk symmetri [4,3], icosahedrisk symmetri [5,3] och dihedrisk symmetri [p,2]. Antalet speglar i en irreducerbar grupp är nh/2 , där h är Coxeter-talet för gruppen, n är dimensionen (3) [3] .

Weil grupp		Ordning	Coxeter nummer (h)	Speglar (m)
Polytopgrupper
A 3	[3,3]	24	fyra	6
B3 _	[4,3]	48	6	3+6
H3 _	[5,3]	120	tio	femton
Dihedral grupp
2A1 _ _	[1,2]	fyra		1+1
3 A 1	[2,2]	åtta		2+1
I 2 (p) A 1	[s,2]	4p		p+1
Cykliska grupper
2A1 _ _	[2]	fyra		2
I 2 (p)	[p]	2p		sid
enkel spegel
A 1	[ ]	2		ett

Rotationsgrupper

Rotationsgrupper, d.v.s. ändliga undergrupper av SO(3) är: cykliska grupper C n (rotationsgrupper av kanoniska pyramider ), dihedriska grupper D n (rotationsgrupper av homogena prismor eller kanoniska bipyramider ) och rotationsgrupper T , O och I av vanlig tetraeder , oktaeder / kub och icosahedron / dodecahedron .

I synnerhet de dihedriska grupperna D 3 , D 4 , etc. är grupper av rotationer av plana regelbundna polygoner inbäddade i tredimensionellt utrymme, och sådana figurer kan betraktas som degenererade reguljära prismor. Därför kallas de dihedral (på grekiska: en kropp med två ansikten), vilket förklarar namnet dihedral grupp .

Ett objekt med en symmetrigrupp C n , C nh , C nv eller S 2n har en rotationsgrupp C n .
Ett objekt med en symmetrigrupp D n , D nh eller D nd har en rotationsgrupp D n .
Ett objekt med en av de sju andra symmetrigrupperna har en rotationsgrupp som motsvarar en grupp utan index - T , O eller I .

Rotationsgruppen för ett objekt är lika med dess fulla symmetrigrupp om och endast om objektet är kiralt .

Lista över rotationsundergrupper efter deras Schoenflies- notation , Coxeter-notation , ( orbifold notation ):

Reflexion	Reflektion/rotation	Felaktig rotation	Rotation
C nv , [n], (*nn)	C nh , [n + ,2], (n*)	S 2n , [2n + ,2 + ], (n×)	C n , [n] + , (nn)
D nh , [2,n], (*n22)	Dnd , [ 2 + ,2n], (2*n)		D n , [2,n] + , (n22)
T d , [3,3], (*332)			T , [3,3] + , (332)
Åh , [ 4,3], (*432)	T h , [3 + ,4], (3*2)		O , [4,3] + , (432)
I h , [5,3], (*532)			I , [5,3] + , (532)

Korrespondens mellan rotationsgrupper och andra grupper

Följande grupper innehåller central symmetri :

C nh och D nh för jämnt n
S 2 n och D nd för udda n ( S 2 = C i är en grupp genererad av central symmetri; D 1d = C 2h )
T h , o h och jag h

Som förklarats ovan finns det en 1-till-1-överensstämmelse mellan dessa grupper och alla rotationsgrupper:

C nh för jämnt n och S 2 n för udda n motsvarar C n
D nh för jämn n och D nd för udda n motsvarar D n
T h , O h , och I h motsvarar T , O respektive I .

Andra grupper innehåller indirekta isometrier men ingen central symmetri:

C nv
C nh och D nh för udda n
S 2 n och D nd för jämn n
T d

De motsvarar alla rotationsgruppen H och undergruppen L med index 2 i den meningen att de erhålls från H genom att invertera isometrierna till H \ L , som förklarats ovan:

C n är en undergrupp av D n med index 2, vilket ger C nv
C n är en undergrupp av C 2n med index 2, vilket ger C nh för udda n och S 2 n för jämnt
D n är en undergrupp av D 2n med index 2, vilket ger D nh för udda n och D nd för jämn
T är en undergrupp av O med index 2, vilket ger T d

Maximala symmetrier

Det finns två diskreta punktgrupper med egenskapen att ingen diskret punktundergrupp har dem som en riktig undergrupp, O h och I h . Deras största gemensamma undergrupp är T h . Två grupper erhålls från den genom att ersätta rotationssymmetri av ordning 2 med symmetri av ordning 4 och lägga till symmetri av ordning 5, respektive. Du kan också få två grupper genom att lägga till spegelplan till T h .

Det finns två kristallografiska punktgrupper med egenskapen att ingen kristallografisk punktgrupp innehåller dem som sin egen undergrupp - O h och D 6h . Deras maximala gemensamma undergrupper, beroende på orienteringen, är D 3d och D 2h .

Sortera grupper efter abstrakt grupptyp

Vidare är de ovan beskrivna grupperna ordnade enligt gruppens abstrakta typ.

De minsta abstrakta grupperna som inte är symmetrigrupper i tredimensionellt rymden är quaterniongruppen (av ordningen 8), Z 3 × Z 3 (av ordningen 9), den dicykliska gruppen Dic 3 (av ordningen 12) och 10 i 14 grupper av beställning 16.

Kolumnen "Antal element av ordning 2" i följande tabell visar det totala antalet isometriundergrupper av typ C 2 , C i , C s . Detta gemensamma nummer är en av de egenskaper som gör det möjligt att särskilja abstrakta typer av grupper, medan deras isometrityp hjälper till att särskilja grupper av isometrier av samma abstrakta grupp.

Bland de möjliga isometrierna för grupper i tredimensionellt rum finns det oändligt många abstrakta typer av grupper med 0, 1 och 3 element av ordning 2, det finns två grupper med 2 n + 1 element av ordning 2, och det finns tre grupper med 2 n + 3 element av ordning 2 (för alla n ≥ 2 ). Det finns inget positivt jämnt antal element i ordning 2.

Symmetrigrupper i tre dimensioner som är cykliska som abstrakta grupper

Rotationssymmetrigruppen av ordningen n är Cn . Dess abstrakta grupptyp är den cykliska gruppen Z n , som också betecknas C n . Det finns dock ytterligare två oändliga serier av symmetrigrupper med typer av abstrakta grupper:

För även 2 n finns en grupp S 2n (i Schoenflies notation) genererad av en 180°/n rotation kring en axel, kombinerad med en reflektion i ett plan vinkelrätt mot axeln. För S 2 använder vi notationen Ci , denna grupp genereras av den centrala symmetrin.
För varje ordning 2n , där n är udda, har vi C nh . Gruppen har en rotationsaxel av ordningen n och ett vinkelrät spegelplan. Gruppen genereras av en 360°/ n rotation runt axeln i kombination med reflektion. För C 1 h använder vi notationen C s , denna grupp genereras av reflektion i planet.

Genom att markera med fet stil de 10 kristallografiska punktgrupperna för vilka kristallografiska begränsningar gäller , har vi:

Ordning	Isometriska grupper	abstrakt grupp	Antal beställningselement 2
ett	C1 _	Z1 _	0
2	C2 , Ci , Cs _ _ _	Z2 _	ett
3	C3 _	Z3 _	0
fyra	C4 , S4 _ _	Z4 _	ett
5	C5 _	Z5 _	0
6	C6 , S6 , C3h _ _ _	Z 6 \u003d Z 3 × Z 2	ett
7	C7 _	Z7 _	0
åtta	C8 , S8 _ _	Z8 _	ett
9	C9 _	Z9 _	0
tio	C10 , S10 , C5h _ _ _	Z10 = Z5 × Z2 _	ett

etc.

Symmetrigrupper i tredimensionellt rum, dihedriska som abstrakta grupper

I två dimensioner inkluderar den dihedriska gruppen D n reflektioner, som kan ses som att vända föremålet utan att skilja mellan fram och bak.

Men i det tredimensionella rummet är de två operationerna olika - symmetrigruppen med beteckningen D n innehåller n axlar av ordningen 2, vinkelräta mot axlarna av ordningen n , och inte reflektion. D n är rotationsgruppen för ett n -sidigt prisma med en regelbunden bas, en n -sidig bipyramid med en regelbunden bas och ett regelbundet n -sidigt antiprisma och en regelbunden n -sidig trapets . Gruppen är också den fullständiga symmetrigruppen av sådana föremål, om de görs kirala genom att markera ytor eller genom någon modifiering av figuren.

Den abstrakta gruppen är den dihedriska gruppen Dih n , som också betecknas med symbolen D n . Det finns dock ytterligare tre symmetrigrupper med samma abstrakta grupp:

C nv av ordningen 2 n , symmetrigruppen för en vanlig n -sidig pyramid
D nd av ordningen 4 n , symmetrigruppen för ett regelbundet n -sidigt antiprisma
D nh av ordningen 4 n för udda n . För n = 1 får vi D 2 redan ovan, så n ≥ 3.

Observera följande egenskap:

Dih 4n+2 Dih 2n+1 × Z 2

\kong

Genom att sätta de 12 kristallografiska grupperna i fet stil och skriva D 1d som ekvivalent med C 2h , har vi:

Ordning	Isometriska grupper	abstrakt grupp	Antal beställningselement 2
fyra	D2 , C2v , C2h _ _ _	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D3 , C3v _ _	Dih 3	3
åtta	D4 , C4v , D2d _ _ _	Dih 4	5
tio	D5 , C5 v _ _	Dih 5	5
12	D6 , C6v , D 3d , D 3h _ _	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
fjorton	D7 , C7 v _ _	Dih 7	7
16	D8 , C8v , D4d _ _ _ _ _	Dih 8	9
arton	D9 , C9 v _ _	Dih 9	9
tjugo	D 10 , C 10 v , D 5 h , D 5 d	Dih 10 = D 5 × Z 2	elva

etc.

Annat

C 2n,h av ordningen 4 n är en abstrakt grupp av typen Z 2 n × Z 2 . För n = 1 får vi Dih 2 , gruppen som redan beskrivits ovan, så n ≥ 2.

Om vi sätter de två cykliska kristallografiska punktgrupperna i fet stil har vi:

Ordning	Isometriska grupper	abstrakt grupp	Antal beställningselement 2
åtta	C4h _	Z4 × Z2 _	3
12	C6h _	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
16	C 8h	Z8 × Z2 _	3
tjugo	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

etc.

D nh av ordningen 4 n är en abstrakt grupp av typen Dih n × Z 2 . För udda n har gruppen redan beskrivits ovan, så här har vi D 2 n h av ordningen 8 n , vilket är en abstrakt grupp av typen Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).

Genom att markera de tre dihedriska kristallografiska punktgrupperna i fet stil har vi:

Ordning	Isometriska grupper	abstrakt grupp	Antal beställningselement 2
åtta	D2h _	Dih 2 × Z 2	7
16	D4h _	Dih 4 × Z 2	elva
24	D6h _	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	femton
32	D8h _	Dih 8 × Z 2	19

etc.

De återstående sju grupperna, där de 5 kristallografiska punktgrupperna är i fetstil:

Ordning	Isometriska grupper	abstrakt grupp	Antal beställningselement 2
12	T	A4 _	3
24	T d , O	S4 _	6
24	T h	A 4 × Z 2	6
48	O h	S 4 × Z 2	6
60	jag	A5 _
120	jag h	A 5 × Z 2

Omöjliga diskreta symmetrier

Eftersom granskningen är uttömmande visar den implicit vilka fall som inte är möjliga som diskreta symmetrigrupper. Till exempel:

Axel C 6 i en riktning och C 3 i den andra
Axel C 5 i ena riktningen och C 4 i den andra
C 3 axel i en riktning och en annan C 3 axel i vinkelrät riktning

Etc..

Binära polyedriska grupper

Kartläggningen Spin(3) → SO(3) är en dubbel täckning av rotationsgruppen av spinorgruppen i tredimensionellt utrymme. (Detta är den enda anslutna täckningen av SO(3), eftersom Spin(3) helt enkelt är sammankopplad.) Genom överensstämmelsesatsen finns det en Galois-överensstämmelse mellan undergrupper av Spin(3) och undergrupper av SO(3) (punktrotationsgrupper)—bilden av en undergrupp av Spin (3) är en punktgrupp av rotationer, och den omvända bilden av en punktgrupp är en undergrupp till gruppen Spin(3).

Den omvända bilden av en finit punktgrupp kallas den binära polyedriska gruppen , betecknad som <l,n,m>, och kallas samma namn som punktgruppen, men med tillägget av binär , medan ordningen på gruppen är fördubblats med avseende på den associerade gruppen av polyedern (l,m,n). Till exempel är förbilden av den ikosaedriska gruppen (2,3,5) den binära ikosaedriska gruppen , <2,3,5>.

Binära polyedriska grupper:

$En}$ : Binär cyklisk grupp av ( n + 1)-gon, ordning 2 n
$D_{n}$ : Binär dihedrisk grupp av en n -gon, <2,2,n>, ordning 4 n
$E_{6}$ : Binär tetraedrisk grupp , <2,3,3>, ordning 24
$E_7$ : Binär oktaedrisk grupp , <2,3,4>, ordning 48
$E_8$ : Binär ikosaedrisk grupp , <2,3,5>, ordning 120

Grupperna är systematiserade enligt ADE-klassificeringen och faktorgruppen C 2 enligt verkan av den binära polyedriska gruppen har Du Val-singulariteten [4] .

För orienteringsvändande punktgrupper är situationen mer komplicerad, eftersom det finns två Pin-grupper , så det finns två möjliga binära grupper som motsvarar en given punktgrupp.

Observera att denna täckning är en täckning av grupper , inte en täckning av utrymmen .

Se även

Lista över sfäriska symmetrigrupper
Lista över karakteristiska tabeller över kemiskt viktiga grupper av tredimensionellt rymd
Punktgrupper i tvådimensionellt utrymme
Punktgrupper i fyrdimensionell rymd
Symmetri
Det euklidiska planets isometri
Gruppåtgärder
Punktsymmetrigrupp
Syngony
Kristallografisk grupp
Lista över små beställningsgrupper
Molekylär symmetri

Anteckningar

↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ med en axel av ordningen n menar vi rotationsaxeln genom en vinkel på 360°/ n , en sådan rotation kommer att kallas en rotation av ordningen n .
↑ Coxeter, 1973 .
↑ Du Val Singularities, av Igor Burban

Litteratur

HSM Coxeter . 7 De binära polyedriska grupperna // [ [1] Regelbundna komplexa polytoper]. - Cambridge University Press, 1974. - S. 73-82.
HSM Coxeter . §12.6 Antalet reflektioner, ekvation 12.61 // Regular Polytopes . — 3:e upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
H.S.M. Coxeter , W.O.J. Moser. 6.5 De binära polyedriska grupperna, sid. 68 // Generatorer och relationer för diskreta grupper, 4:e upplagan. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
John Horton Conway , Daniel H. Huson. Orbifold-notationen för tvådimensionella grupper // Strukturkemi. - Springer Nederländerna, 2002. - T. 13 , nr. 3 . — S. 247–257 . - doi : 10.1023/A:1015851621002 .
G. L. Fisher, B. Mellor. Tredimensionella ändliga punktgrupper och pärlornas symmetri // Journal of Mathematics and the Arts . – 2007.

Länkar

Grafisk översikt av de 32 kristallografiska punktgrupperna – bildar de första delarna (förutom att hoppa över n =5) av de 7 oändliga serierna och 5 av de 7 separata 3D-punktgrupperna
The Geometry Center: 10.1 Formler för symmetrier i kartesiska koordinater (tre dimensioner)