Spinor grupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 mars 2019; verifiering kräver 1 redigering .

En spinorgrupp är en undergrupp av beståndsdelar av Clifford-algebra över (med skalär produkt ) som består av beståndsdelar av formen , där är enhetsvektorer . Operationen i spinorgruppen är multiplikation i Clifford-algebra. $V$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$ $q_{i}\in V$

Spinorgruppen över det euklidiska utrymmet betecknas vanligtvis med . Det finns en kort exakt sekvens $\mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {Spin} (n)$

1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1

Sålunda är spinorgruppen ett tvåarksöverdrag av den speciella ortogonala gruppen . En homomorfism kan konstrueras enligt följande: Varje enhetsvektor q kan associeras med en reflektion med avseende på ett hyperplan vinkelrätt mot q . Således kan ett element av spinorgruppen associeras med sammansättningen av reflektioner $\operatörsnamn {SO} (n)$ $\operatörsnamn {Snurra} (n)\till \operatörsnamn {SO} (n)$ ${\displaystyle R_{q))$ ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{2n))$

R_{q_{1},}\circ \cdots \circ R_{q_{2n))

som tillhör gruppen . De projektiva representationerna av den täckta gruppen är i en-till-en-korrespondens med representationerna av dess täckning . $\operatörsnamn {SO} (n)$ $\operatörsnamn {SO} (n)$ $\operatorname {Spin} (n)$

De första spinorgruppernas struktur

{\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\simeq \operatorname {O} (1)\simeq \mathbb {Z} _{2}\simeq \mathbb {S} ^{0))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\simeq \operatorname {U} (1)\simeq \mathbb {S} ^{1))

{\displaystyle \operatörsnamn {Spin} (3)\simeq \operatornamn {Sp} (1)\simeq \operatörsnamn {SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3))

{\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\simeq \operatorname {Sp} (1){\times }\operatorname {Sp} (1)\simeq \operatorname {SU} (2){\times }\operatörsnamn { SU} (2)\simeq \mathbb {S} ^{3}{\times }\mathbb {S} ^{3))

\operatorname {Spin} (5)\simeq \operatorname {Sp} (2)

\operatörsnamn {Spin} (6)\simeq \operatörsnamn {SU} (4)