Tetraedrisk symmetri

Involutionssymmetrier C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Tetraedrisk symmetri Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

En vanlig tetraeder har 12 rotationssymmetrier (orienteringsbevarande) och [ symmetrier av storleksordningen 24, som involverar en kombination av reflektioner och rotationer.

Gruppen av alla symmetrier är isomorf till gruppen S 4 , den symmetriska permutationsgruppen av fyra element, eftersom det finns exakt en sådan symmetri för varje permutation av tetraederns hörn. Uppsättningen av orienteringsbevarande symmetrier bildar en grupp som är en alternerande undergrupp A4 i gruppen S4 .

Detaljer

Chiral och total (eller akiral tetraedrisk symmetri och pyritoedrisk symmetri ) är diskreta punktsymmetrier (eller, ekvivalent, symmetrier på en sfär ). De ingår i de kristallografiska symmetrigrupperna i den kubiska sigonien .

I stereografisk projektion bildar kanterna på tetrakishexaedern 6 cirklar (eller centrala radiella linjer) på planet. Var och en av dessa cirklar representerar en spegel i tetraedrisk symmetri. Skärningspunkten mellan dessa cirklar ger rotationspunkter av ordningen 2 och 3.

ortogonal projektion	Stereografisk projektion
	4-faldigt	3x	2-faldigt
Kiral tetraedrisk symmetri, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Pyritoedrisk symmetri, T h , (3*2), [4,3 + ],
Achiral tetraedrisk symmetri, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Kiral tetraedrisk symmetri

T , 332 , [3,3] + , eller 23 av ordningen 12 - kiral eller roterande tetraedrisk symmetri . Det finns tre ortogonala 2-faldiga rotationsaxlar, som den kirala dihedriska symmetrin D 2 eller 222, och fyra ytterligare 3-faldiga axlar. Denna grupp är isomorf till A4 , en alternerande grupp av 4 element. I själva verket är detta en grupp jämna permutationer av fyra 3-faldiga axlar: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Konjugationsklasserna för T är:

• identitet
• 4 × 120° rotation medurs (sett uppifrån): (234), (143), (412), (321)
• 4 × 120° rotation moturs (samma)
• 3 × 180° rotation

Rotationer genom 180° tillsammans med identitetstransformationen bildar en normal undergrupp av typ Dih 2 med en faktorgrupp av typ Z 3 . De tre elementen i den senare är den identiska transformationen, "medurs rotation" och "moturs rotation", motsvarande permutationer av tre ortogonala 2-faldiga axlar med bibehållen orientering.

A 4 är den minsta gruppen som visar att det omvända till Lagranges sats inte är sant i allmänhet — givet en finit grupp G och en divisor d av talet | G |, det finns inte nödvändigtvis en undergrupp av gruppen G med ordning d - gruppen G = A 4 ​​har inte en undergrupp av ordning 6.

Undergrupper av kiral tetraedrisk symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ sv	G-M	Strukturera	Cyklar	Beställ	Index
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	ett
D2 _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		fyra	3
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	fyra
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	6
C1 _	[ ] +		elva	ett	Z1 _		ett	12

Achiral tetraedrisk symmetri

Td , *332 , [3,3] eller 4 3m av ordning 24 är akiral eller fullständig tetraedrisk symmetri , även känd som triangelgruppen (2,3,3). Denna grupp har samma rotationsaxlar som T, men med sex plan av spegelsymmetri som passerar genom varje par av 3-faldiga axlar. De 2-faldiga axlarna är nu S 4 ( 4 ) axlar. T d och O är isomorfa som abstrakta grupper - båda grupperna motsvarar S 4 , den symmetriska gruppen av 4 element. T d är föreningen av T och mängden som erhålls genom att kombinera varje element i O \ T med central symmetri. Se även isometri för en vanlig tetraeder .

Konjugationsklasserna för T d är:

• identitet
• 8 × 120° rotation
• 3 × 180° rotation
• 6 × reflektion kring ett plan som går genom två rotationsaxlar
• 6 × 90° spegelvändning

Undergrupper av akiral tetraedrisk symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ sv	G-M	Strukturera	Cyklar	Beställ	Index
T d	[3,3]		*332	43m _	S4 _		24	ett
C 3v	[3]		*33	3m	Dih 3 =S 3		6	fyra
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		fyra	6
Cs _	[ ]		*	2 eller m	Dih 1		2	12
D2d _	[2 + ,4]		2*2	42m _	Dih 4		åtta	3
S4 _	[2 + ,4 + ]		2×	fyra	Z4 _		fyra	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 2		fyra	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 = A3 _		3	åtta
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		elva	ett	Z1 _		ett	24

Pyritohedral symmetri

Th , 3*2 , [4,3+ ] eller m3 av ordningen 24 -pyriteedrisk symmetri . Denna grupp har samma rotationsaxlar som T med spegelplan genom två ortogonala riktningar. De 3-faldiga axlarna är nu S 6 ( 3 ) axlar och det finns central symmetri. T h är isomorft till T × Z 2 — varje element i Th är antingen ett element av T eller ett element kombinerat med central symmetri. Utöver dessa två normala undergrupper finns det ytterligare en normal undergrupp D 2h ( rektangulär parallellepiped ), av typen Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Det är en direkt produkt av en normal undergrupp T (se ovan) med Ci . Faktorgruppen är densamma som ovan - Z 3 . De tre elementen i den senare är identitetstransformationen, "rotera medurs" och "rotera moturs", motsvarande permutationer av tre ortogonala 2-faldiga axlar med bevarad orientering.

Detta är symmetrin av en kub, där varje yta är uppdelad av ett segment i två rektanglar, och inga två segment har hörn på samma kant av kuben. Symmetrier motsvarar jämna permutationer av kubens diagonaler, tillsammans med en central inversion. Pentagondodekaederns symmetri är extremt nära symmetrin för kuben som beskrivs ovan. En pyritoeder kan erhållas från en kub med tvådelade ytor genom att ersätta rektanglar med femhörningar med en symmetriaxel och 4 lika sidor, en sida är olika lång (den som motsvarar segmentet som delar den kvadratiska sidan av kuben). Det vill säga att kubens ytor sticker ut längs det delande segmentet, och själva segmentet blir mindre. Den delade kubsymmetrin är en undergrupp av den fullständiga icosahedriska symmetrigruppen (som en isometrigrupp, inte bara en abstrakt grupp) med 4 av 10 3-faldiga axlar.

Konjugationsklasser T inkluderar konjugationsklasser T med kombinationer av två av de 4 klasserna, samt varje c-klass med central symmetri:

• identitet
• 8 × 120° rotation
• 3 × 180° rotation
• central symmetri
• 8 × 60° spegelvändning
• 3 × spegelreflektion (relativt planet)

Undergrupper av pyritedrisk symmetri

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ sv	G-M	Strukturera	Cyklar	Beställ	Index
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × 2		24	ett
D2h _	[2,2]		*222	hmmm	Dih 2 × Dih 1		åtta	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		fyra	6
Cs _	[ ]		*	2 eller m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		fyra	6
S2 _	[2 + ,2 + ]		×	ett	2 eller Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3 _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	fyra
D2 _	[2,2] +		222	222	Dih 4		fyra	6
C3 _	[3] +		33	3	Z3 _		3	åtta
C2 _	[2] +		22	2	Z2 _		2	12
C1 _	[ ] +		elva	ett	Z1 _		ett	24

Kroppar med kiral tetraedrisk symmetri

Ikosaedern, färgad som en snub tetrahedron , har kiral symmetri.

Fasta ämnen med full tetraedrisk symmetri

Se även

• Oktaedrisk symmetri
• Ikosaedrisk symmetri
• Binär grupp av tetraeder

Anteckningar

Litteratur

• P. Cromwell. Polyedra. - Storbritannien: Cambridge University Press, 1997. - S. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Kalejdoskop: Utvalda skrifter av HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Kapitel 11: Finita symmetrigrupper // Geometrier och transformationer. — 2015.

Länkar

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .