En enhetlig stjärnpolyeder är en självskärande enhetlig polyeder . Dessa polyedrar kallas också icke-konvexa polyedrar , vilket betonar självkorsning. Varje polyeder kan innehålla stjärnpolygonytor eller stjärnhörnformer , men den kan innehålla båda.
Den kompletta uppsättningen av 57 icke-prismatiska enhetliga stjärnpolyedrar inkluderar 4 vanliga, kallade Kepler-Poinsot solids , 5 kvasi-reguljära och 48 semi-reguljära.
Det finns också två oändliga uppsättningar av homogena stjärnprismor och antiprismor .
Precis som (icke-degenererade) stjärnpolygoner (som har densitet större än 1) motsvarar cirkulära polygoner med överlappande delar, har stjärnpolyedrar som inte passerar genom centrum densiteten större än 1 och motsvarar sfäriska polyedrar med överlappande delar. Det finns 48 sådana icke-prismatiska enhetliga stjärnpolyedrar. De återstående 9 icke-prismatiska enhetliga stjärnpolyedrarna har ytor som går genom mitten, är semipolyedrar och motsvarar inte sfäriska polyedrar, eftersom mitten inte kan projiceras unikt på en sfär.
Icke-konvexa former är konstruerade av Schwartz-trianglar .
Alla trianglar som listas nedan är grupperade efter sina symmetrigrupper och internt grupperade efter vertexarrangemang.
Vanliga polyedrar är märkta med sina Schläfli-symboler . Andra, oregelbundna enhetliga polyedrar är märkta med sin vertexkonfiguration eller sitt enhetliga polyhedronindex (Uniform polyhedron index, U(1-80)).
Obs: För icke-konvexa former ges en ytterligare beskrivning nedan Till exempel kan ojämn avfasning (borttagning av kanter) ge rektanglar där kanterna tas bort, snarare än kvadrater .
Se prismatisk enhetlig polyeder .
Det finns en icke-konvex sort, tetrahemihexaedern , som har tetraedrisk symmetri (med Möbius-triangelns fundamentala area (3 3 2)).
Det finns två Schwartz-trianglar , från vilka unika icke-konvexa homogena polyedrar bildas - en rätvinklig triangel (3/2 3 2) och en allmän triangel (3/2 3 3). Triangeln (3/2 3 3) genererar en oktahemioktaeder , som visas nedan i avsnittet om oktaedrisk symmetri .
| Plats för hörn ( Konvext skrov ) |
Icke-konvexa vyer | |
|---|---|---|
Tetraeder |
||
Rättad tetraeder Oktaeder |
(4.3/2.4.3) 3/2 3 | 2 | |
stympad tetraeder |
||
Fasad tetraeder ( Cuboctahedron ) |
||
Trunkerad tetraeder ( Truncated octahedron ) |
||
Snub tetraeder ( Icosahedron ) |
||
Det finns 8 konvexa former och 10 icke-konvexa med oktaedrisk symmetri (med grundarean Möbius-triangeln (4 3 2)).
Det finns fyra Schwartz-trianglar som bildar icke-konvexa former, två rektangulära, (3/2 4 2) och (4/3 3 2), och två allmänna, (4/3 4 3) och (3/2 4) 4).
| Plats för hörn ( Konvext skrov ) |
Icke-konvexa vyer | ||
|---|---|---|---|
Kub |
|||
Oktaeder |
|||
Cuboctahedron |
(6.4/3.6.4) 4/3 4 | 3 |
(6.3/2.6.3) 3/2 3 | 3 | |
stympad kub |
4,8/3,4/3,8/5) 2 4/3 (3/2 4/2) | |
(8/3.3.8/3.4) 3 4 | 4/3 |
(4.3/2.4.4) 3/2 4 | 2 |
stympad oktaeder |
|||
Rhombicuboctahedron |
(4.8.4/3.8) 2 4 (3/2 4/2) | |
(8.3/2.8.4) 3/2 4 | fyra |
(8/3.8/3.3) 2 3 | 4/3 |
Inhomogen trunkerad Cuboctahedron |
(4.6.8/3) 2 3 4/3 | | ||
Inhomogen trunkerad Cuboctahedron |
(8/3.6.8) 3 4 4/3 | | ||
snubb kub |
|||
Det finns 8 konvexa former och 46 icke-konvexa med icosaedrisk symmetri (med grunddomänen Möbius-triangeln (5 3 2)). (eller 47 icke-konvexa former om Skilling-figuren ingår). Vissa icke-konvexa snubbarter har spegelvertexsymmetri.
| Plats för hörn ( Konvext skrov ) |
Icke-konvexa vyer | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
icosahedron |
{5,5/2} |
{5/2.5} |
{3,5/2} | |||||
Inhomogen Trunkerad icosahedron 2 5 |3 |
U37 2 5/2 | 5 |
U61 5/2 3 | 5/3 |
U67 5/3 3 | 2 |
U73 2 5/3 (3/2 5/4) | | ||||
Inhomogen Trunkerad icosahedron 2 5 |3 |
U38 5/2 5 | 2 |
U44 5/3 5 | 3 |
U56 2 3 (5/4 5/2) | | |||||
Inhomogen Trunkerad icosahedron 2 5 |3 |
U32 | 5/2 3 3 | |||||||
Icosidodecahedron 2 | 3 5 |
U49 3/2 3 | 5 |
U51 5/4 5 | 5 |
U54 2 | 3 5/2 |
U70 5/3 5/2 | 5/3 |
U71 3 3 | 5/3 |
U36 2 | 5 5/2 |
U62 5/3 5/2 | 3 |
U65 5/4 5 | 3 |
Trunkerad dodekaeder 2 3 | 5 |
U42 |
U48 |
U63 | |||||
Inhomogen stympad dodekaeder |
U72 | |||||||
Dodekaeder |
{5/2,3} |
U30 |
U41 |
U47 | ||||
Rhombicosidodecahedron |
U33 |
U39 |
U58 | |||||
Kantad dodekaeder |
U55 | |||||||
Inhomogen Rhombicosidodecahedron |
U31 |
U43 |
U50 |
U66 | ||||
Inhomogen rhombicosidodecahedron |
U75 |
U64 |
Skillings kropp (se nedan) | |||||
Inhomogen rombisk trunkerad icosidodecahedron |
U45 | |||||||
Inhomogen rombisk trunkerad icosidodecahedron |
U59 | |||||||
Inhomogen rombisk trunkerad icosidodecahedron |
U68 | |||||||
Inhomogen snubbdodekaeder |
U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 | ||
En annan icke-konvex polyeder är den stora bi-snub birombododecahedron , även känd som Skilling solid , som är vertexhomogen, men har delade kanter som är gemensamma för ytor, så att fyra ytor har en gemensam kant. Ibland rankas den bland de enhetliga polyedrarna, men inte alltid. Kroppen har I h symmetri .
Coxeter , med hjälp av Wythoffs konstruktion, bestämde ett antal degenererade stellerade polytoper som har överlappande kanter eller hörn. Dessa degenererade former inkluderar: