Snubb kub

snubb kub

"Höger" variant
( roterande modell , 3D-modell )

"Vänster" variant
( roterande modell , 3D-modell )
Sorts Arkimedesk kropp
Egenskaper konvex , isogonal , kiral
Kombinatorik
Element
38 sidor
60 kanter
24 hörn 		X  = 2
Fasett 32 trianglar,
6 rutor
Vertex-konfiguration 3 4 .4
Dubbel polyeder pentagonal icositetrahedron
Vertex figur
Skanna

Utveckling för alternativet "vänster".

Klassificering
Notation sc
Schläfli symbol sr{4,3}
Symmetrigrupp O (kiral oktaedrisk)
 Mediafiler på Wikimedia Commons

Snub kub [1] , eller snub kub [2] [3] , är en halvregelbunden polyeder (Arkimedisk kropp) med 38 ansikten, sammansatt av 6 kvadrater och 32 regelbundna trianglar . Var och en av dess 24 identiska hörn har en fyrkantig yta och fyra triangulära ytor. De triangulära ytorna är indelade i två grupper: 8 av dem omges endast av andra triangulära, de återstående 24 är omgivna av en kvadrat och två triangulära.

Den har 60 lika långa revben.

Namnet "snubbnosed cube" ( lat.  cubus simus ) gavs till denna polyhedron av Johannes Kepler i hans 1619 avhandling "The Harmony of the World ". Harold Coxeter , som noterade att polyedern är släkt med oktaedern i samma utsträckning som kuben , föreslog att kalla den "snub-nosed cuboctahedron ".

Till skillnad från de flesta andra arkimediska fasta ämnen, är snubbkuben (tillsammans med snubbdodekaedern ) kiral och finns i två olika spegelsymmetriska (enantiomorfa) versioner - "höger" och "vänster".

Metriska egenskaper och vinklar

När man bestämmer de metriska egenskaperna hos en snubbnoskub måste man lösa kubiska ekvationer och använda kubikrötter  - medan det för akirala arkimediska fasta ämnen och platonska kroppar inte krävs något mer komplicerat än kvadratiska ekvationer och kvadratrötter . Därför tillåter inte den euklidiska kuben, i motsats till de platoniska och akirala arkimediska fasta kropparna, den euklidiska konstruktionen [4] . Detsamma gäller för snubbdodekaedern, såväl som för dess dubbla katalanska fasta ämnen.

När man beskriver de metriska egenskaperna och vinklarna för en snubbningskub spelar tribonacci-konstanten en viktig roll :

.

Om en snubbningskub har en längdkant uttrycks dess yta och volym som

Radien för den omskrivna sfären (som går genom polyederns alla hörn) blir då lika med

radie av en halvinskriven sfär (vidrör alla kanter vid deras mittpunkter) -

Det är omöjligt att passa in en sfär i en snubbnoskub så att den nuddar alla ansikten. Radien för den största sfären som kan placeras inuti en snubbnoskub med en kant (den kommer bara att vidröra alla fyrkantiga ytor i mitten) är

Avståndet från polyederns centrum till valfri triangulär yta överstiger och är lika med

De dihedriska vinklarna mellan två intilliggande triangulära ytor av en snubbningskub är lika mellan intilliggande kvadratiska och triangulära ytor

Rymdvinkeln vid spetsen är lika med

I koordinater

Den "vänstra" snubbnoskuben kan placeras i det kartesiska koordinatsystemet så att koordinaterna för dess 12 hörn är alla möjliga jämna permutationer av dessa tripplar av tal, bland vilka det finns ett jämnt antal negativa, och koordinaterna för de återstående 12 hörnen är alla möjliga udda permutationer av dessa trippel, bland vilka det finns ett udda antal negativa.

Om vi ​​gör tvärtom - tar jämna permutationer av trippel med udda antal minus och udda permutationer av trippel med jämna antal minus - får vi den "rätta" versionen av snubbnoskuben.

Ursprunget för koordinater i båda fallen kommer att vara mitten av polyederns omskrivna och halvinskrivna sfärer.

Anteckningar

  1. ↑ Wenninger 1974 , sid. 20, 41.
  2. ↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , sid. 437, 435.
  3. ↑ Lyusternik, 1956 , sid. 183.
  4. ↑ W. Ball, G. Coxeter. Matematiska uppsatser och underhållning. — M.: Mir, 1986. — P. 153.

Länkar

Litteratur