Arkimedesk kropp
Arkimedisk fast (eller arkimedisk polyhedron ) är en konvex polyeder som har två eller flera typer av regelbundna polygoner som vänder mot intill identiska hörn . Här betyder "identiska hörn" att det för alla två hörn finns en isometri av hela kroppen som tar en vertex till en annan.
De arkimediska fasta kropparna skiljer sig från de platonska kropparna ( regelbundna polyedrar ), som består av endast en typ av polygon vid samma hörn, och från Johnson polyhedra, vars regelbundna polygonala ytor tillhör olika typer av hörn.
Ibland krävs det bara att de ytor som gränsar till en vertex är isometriska mot ytorna vid den andra vertexen. Denna skillnad i definitioner avgör om en långsträckt fyrkantig gyrobicupol (pseudo-rhombicuboctahedron) anses vara en arkimedisk fast substans eller en Johnson-polyeder - det är den enda konvexa polyedern där polygonala ytor gränsar till en vertex på samma sätt vid varje vertex, men polyederen gör det inte ha en global symmetri som skulle ta någon vertex till någon annan. Baserat på existensen av pseudorhombicuboctahedron, föreslog Grünbaum [1] en terminologisk distinktion där en arkimedeisk kropp definieras som att ha samma vertexfigur vid varje vertex (inklusive den långsträckta kvadratiska gyrobicupolen), medan en enhetlig polyeder definieras som att ha vilken vertex som helst. är symmetrisk med alla andra (vilket utesluter gyrobicupolis ).
Prismor och antiprismor , vars symmetrigrupper är dihedriska grupper , anses i allmänhet inte vara arkimediska fasta ämnen, trots att de faller inom definitionen ovan. Med denna begränsning finns det bara ett ändligt antal arkimedeiska fasta ämnen. Alla kroppar, förutom den långsträckta kvadratiska gyrokupolen, kan erhållas genom Wythoffs konstruktioner från platoniska fasta ämnen med tetraedriska , oktaedriska och icosaedriska symmetrier.
Namnkälla
Arkimedes kroppar är uppkallade efter Arkimedes , som diskuterade dem i ett nu förlorat verk. Papp hänvisar till detta arbete och uppger att Arkimedes listade 13 polyedrar [1] . Under renässansen värderade konstnärer och matematiker rena former och återupptäckte dem alla. Dessa studier avslutades nästan helt omkring 1620 av Johannes Kepler [2] , som definierade begreppen prismor , antiprismor och icke-konvexa kroppar, kända som Kepler-Poinsot-kroppar .
Kepler kan också ha hittat en långsträckt fyrkantig gyrobicupole (pseudorhombicuboctahedron ) - åtminstone hävdade han att det fanns 14 arkimedeiska fasta ämnen. Men hans publicerade uppräkningar inkluderar endast 13 enhetliga polyedrar, och det första tydliga uttalandet om existensen av en pseudorhombicosahedron gjordes 1905 av Duncan Somerville [1] .
Klassificering
Det finns 13 arkimediska fasta ämnen ( den långsträckta fyrkantiga gyrobicupolen räknas inte med ; 15 om spegelbilderna av de två enantiomorferna beaktas , vilka listas separat nedan).
Här avser vertexkonfiguration de typer av vanliga polygoner som ligger intill en vertex. Till exempel betyder vertexkonfigurationen (4,6,8) att kvadraten , hexagonen och oktagonen möts vid toppunkten (uppräkningsordningen tas medurs från vertexen).
| Titel (alternativ titel) |
Schläfli Coxeter |
Transparent | Ogenomskinlig | Skanna | Vertex figur |
ansikten | revben | Toppar | Volym (med en enda kant) |
Punktgrupp _ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| stympad tetraeder | {3,3}  
|
( rotation ) |
3.6.6 |
åtta | 4 trianglar 4 hexagoner |
arton | 12 | 2,710576 | T d | ||
| Cuboctahedron (rhombotetrahedron) |
r{4,3} eller rr{3,3} eller
|
( rotation ) |
3.4.3.4 |
fjorton | 8 trianglar 6 rutor |
24 | 12 | 2,357023 | O h | ||
| stympad kub | t{4,3}
|
( rotation ) |
3.8.8 |
fjorton | 8 trianglar 6 oktagoner |
36 | 24 | 13,599663 | O h | ||
| Trunkerad oktaeder (stympad tetrateraeder) |
t{3,4} eller tr{3,3}eller
|
( rotation ) |
4.6.6 |
fjorton | 6 rutor 8 hexagoner |
36 | 24 | 11,313709 | O h | ||
| Rhombicuboctahedron (liten rhombicuboctahedron) |
rr{4,3}
|
( rotation ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 trianglar 18 rutor |
48 | 24 | 8,714045 | O h | ||
| Stympad cuboctahedron (stor rhombicuboctahedron) |
tr{4,3}
|
( rotation ) |
4.6.8 |
26 | 12 rutor 8 hexagoner 6 oktagoner |
72 | 48 | 41,798990 | O h | ||
| Snub kub (snub cuboctahedron) |
sr{4,3}
|
( rotation ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 trianglar 6 rutor |
60 | 24 | 7,889295 | O | ||
| icosidodecahedron | r{5,3}
|
( rotation ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 trianglar 12 femhörningar |
60 | trettio | 13,835526 | jag h | ||
| stympad dodekaeder | t{5,3}
|
( rotation ) |
3.10.10 |
32 | 20 trianglar 12 dekagoner |
90 | 60 | 85,039665 | jag h | ||
| Stympad icosahedron | t{3,5}
|
( rotation ) |
5.6.6 |
32 | 12 femhörningar 20 sexhörningar |
90 | 60 | 55,287731 | jag h | ||
| Rhombicosidodecahedron (liten rhombicosidodecahedron) |
rr{5,3}
|
( rotation ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 trianglar 30 rutor 12 femhörningar |
120 | 60 | 41,615324 | jag h | ||
| Rombottrunkerad icosidodecahedron | tr{5,3}
|
( rotation ) |
4.6.10 |
62 | 30 rutor 20 hexagoner 12 dekagoner |
180 | 120 | 206,803399 | jag h | ||
| Snub dodecahedron (snub icosidodecahedron) |
sr{5,3}
|
( rotation ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 trianglar 12 femhörningar |
150 | 60 | 37,616650 | jag | ||
Vissa definitioner av semi-reguljära polyedrar inkluderar en annan solid, den långsträckta fyrkantiga gyrobicupole eller "pseudo-rhombicuboctahedron" [3] .
Egenskaper
Antalet hörn är lika med förhållandet 720° till hörndefekten vid vertexen.
Cuboctahedron och icosidodecahedron är kanthomogena och kallas kvasireguljära .
De dubbla polyedrarna av arkimedeiska fasta ämnen kallas katalanska fasta ämnen . Tillsammans med bipyramider och trapezhedroner är de kroppar enhetliga i ansikten med regelbundna hörn.
Chiralitet
Snubbningskuben och snubbdodekaedern är kirala eftersom de förekommer i vänsterhänta och högerhänta varianter. Om något har flera slag som är tredimensionella spegelbilder av varandra, kallas dessa former för enantiomorfer (det här namnet används också för vissa former av kemiska föreningar ).
Konstruktion av arkimedeiska fasta ämnen
De olika arkimediska och platoniska fasta ämnena kan härledas från varandra med en handfull operationer. Från och med Platoniska fasta ämnen kan du använda hörnavkortningsoperationen . För att bevara symmetri görs trunkeringen av ett plan vinkelrätt mot den räta linjen som förbinder hörnet med polygonens centrum. Beroende på hur djupt trunkeringen utförs (se tabellen nedan) får vi olika platoniska och arkimediska (och andra) fasta ämnen. Stretching eller fasning görs genom att flytta ytorna (i en riktning) bort från mitten (samma avstånd för att behålla symmetrin) och sedan skapa ett konvext skrov. Expansion med rotation utförs också genom att vrida ytorna, detta bryter rektanglarna som visas vid kanternas platser i trianglar. Den sista konstruktionen vi presenterar här är trunkeringen av både hörn och kanter. Om skalning ignoreras kan expansion också ses som hörn- och kantstympning, men med ett specifikt förhållande mellan hörn- och kantstympning.
| Symmetri | tetraedrisk |
Octahedral |
icosahedral | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Inledande kroppsoperation |
Tecken {p, q}  
|
Tetraeder {3,3} |
Kub {4,3} |
Oktaeder {3,4} |
Dodekaeder {5,3} |
Icosahedron {3,5} |
| Trunkering (t) | t{p, q}
|
stympad tetraeder |
stympad kub |
stympad oktaeder |
stympad dodekaeder |
Stympad icosahedron |
| Fullständig trunkering (r) Predikstol (a) |
r{p, q}
|
tetratetraeder |
Cuboctahedron |
icosidodecahedron | ||
| Djup trunkering (2t) (dk) |
2t{p, q}
|
stympad tetraeder |
stympad oktaeder |
stympad kub |
stympad icosahedron |
stympad dodekaeder |
| Dubbel full trunkering (2r) Dubbel (d) |
2r{p, q}
|
tetraeder |
oktaeder |
kub |
icosahedron |
dodekaeder |
| Fasning (rr) Stretching (e) |
rr{p, q}
|
Cuboctahedron |
Rhombicuboctahedron |
rhombicosidodecahedron | ||
| Snub rätning (sr) Rätning (s) |
sr{p, q}
|
snubbig tetratetraeder |
snubb kub |
snubbig icosidodecahedron | ||
| bevel-truncation (tr) Bevel (b) |
tr{p, q}
|
stympad oktaeder |
Stympad cuboctahedron |
Rombottrunkerad icosidodecahedron | ||
Notera dualiteten mellan kuben och oktaedern och mellan dodekaedern och ikosaedern. Också, delvis på grund av tetraederns självdualitet, har endast en arkimedisk fast substans endast en tetraedrisk symmetri.
Se även
- Aperiodisk plattsättning
- Arkimedes greve
- Lista över enhetliga polyedrar
- Toroidformad polyeder
- Kvasikristall
- Halvregelbunden polyeder
- vanlig polyeder
- Uniform polyeder
- Icosohedral tvilling
Anteckningar
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Field, 1997 , sid. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , sid. 85.
Litteratur
- Fält J. Återupptäcka den arkimedeiska polyedran: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro och Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. - Springer, 1997. - Vol. 50, nej. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branko. Ett bestående fel // Elemente der Mathematik. - 2009. - Vol. 64, nr. 3. - S. 89-101. - doi : 10.4171/EM/120 . . Omtryckt i The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — S. 18–31 .
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: Ett visuellt tillvägagångssätt. - Kalifornien: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . kapitel 2
- Udaya, Jayatilake. Beräkningar på ansikte och vertex regelbunden polyedral // Mathematical Gazette. - 2005. - Vol. 89, nr. 514.—S. 76–81.
- Williams, Robert. . The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (Avsnitt 3-9)
Länkar
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Archimedean Solids Arkiverad 20 februari 2016 vid Wayback Machine av Eric W. Weisstein , Wolfram Demonstrations Project .
- Pappersmodeller av Archimedean Solids och Catalan Solids Arkiverade 20 februari 2016 på Wayback Machine
- Gratis pappersmodeller(nät) av arkimediska fasta ämnen Arkiverade 6 februari 2016 på Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Arkiverad 11 februari 2008 på Wayback Machine av Dr. R. Mader
- Virtual Reality Polyhedra Arkiverad 23 februari 2008 på Wayback Machine , The Encyclopedia of Polyhedra av George W. Hart
- Näst sista Modular Origami Arkiverad 15 juli 2010 på Wayback Machine av James S. Plank
- Interaktiva 3D-polyedrar i Java
- Solid Body Viewer (ej tillgänglig länk) En interaktiv 3D polyhedron viewer som låter dig spara modellen i svg-, stl- eller obj-format.
- Stella: Polyhedron Navigator Arkiverad 9 juli 2010 på Wayback Machine : programvara för bildskapande, av vilka många finns på den här sidan.
- Pappersmodeller av arkimediska (och andra) polyedrar arkiverade 25 januari 2021 på Wayback Machine