Operation "Snub"

Två snubbiga arkimedeiska fasta ämnen

snub kub eller snub cuboctahedron	Snub dodecahedron eller snub icosidodecahedron

Snubbningsoperationen eller vertexklippning är en operation som tillämpas på polyedrar. Termen kom från namnen som Kepler gav till två arkimediska fasta ämnen - snub kub (cubus simus) och snub dodecahedron (dodecaedron simum) [1] . I allmänhet har snubformer två typer av kiral symmetri, med medurs och moturs orientering. Enligt Keplers namn kan vertexbeskärning ses som en sträckning av ett regelbundet polyeder, när de ursprungliga ytorna flyttas bort från mitten och roteras runt mittpunkterna läggs polygoner centrerade vid dessa hörn till istället för de ursprungliga hörnen, och par av trianglar fyller utrymmet mellan originalkanterna.

Terminologin generaliserades av Coxeter med en något annorlunda definition för en bredare uppsättning enhetliga polyedrar .

Operation "snub" Conway

John Conway utforskade generaliserade operationer på polyedrar, och definierade vad som nu kallas Conways notation för polyedrar , som kan appliceras på polyedrar och plattsättningar. Conway kallade Coxeters operation semi-snub (semi-snub) [2] .

I denna notation definieras snub som sammansättningen av dual- och gyrooperatorerna, , och är ekvivalent med sekvensen av alternerande , trunkerings- och ambooperatorer . Conways notation undviker den alternerande operationen, eftersom den bara gäller polyedrar med ytor som har ett jämnt antal sidor. $s=dg$

Snub vanliga figurer

	Polyedra			Euklidiska plattsättningar		Hyperboliska plattor
Conway notation	ST	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7 _
snubbig polyeder	Tetraeder	Kub eller oktaeder	Icosahedron eller Dodecahedron	fyrkantig mosaik	Hexagonal mosaik eller triangulär mosaik	Heptagonal plattsättning eller triangulär plattsättning av ordning 7
snubbig polyeder
Bild

I 4-dimensionella rum tycker Conway att en snub 24-cell bör kallas en semi -snub 24-cell eftersom den inte representerar en alternerande trunkerad 24-cell som sin motsvarighet i 3-dimensionell rymd. Istället är det en alternerande trunkerad 24-cell [3] .

Coxeters "snub"-operationer, regelbundna och nästan regelbundna

Snub kub härledd från en kub eller cuboctahedron

originalkropp	Helt stympad polyeder r	Stympad polyeder t	Alternerad polyeder h
kub	Cuboctahedron Full trunkerad kub	Trunkerad Cuboctahedron Trunkerad kub	Snub cuboctahedron Snub stympad kub
C	CO rC	tCO trC eller trO	htCO = sCO htrC = srC
{4,3}	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ eller r{4,3}	$t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ eller tr{4,3}	$ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
	eller	eller	eller

Coxeters terminologi "snub" (vertexklippning) är något annorlunda och betyder alternerande trunkering , enligt vilken snubkuben erhålls genom snub-operationen (vertexklippning) från cuboctahedron och snubdodekaedern från icosidodecahedron . Denna definition används i namnen på två Johnson solids - snub biclinoid och snub square antiprism , såväl som i namnen på högre dimensionella polyedrar, såsom 4-dimensional snub 24-cell .eller s{3,4,3}.

Vanlig polyeder (eller plattsättning) med Schläfli-symbol och Coxeter-diagram $\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}$ har trunkering definierad som med diagram $t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix))$ , och en snubbform definierad som en alternerande trunkering med ett Coxeter-diagram $ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$ . Denna konstruktion kräver att q är jämn.

Kvasiregelbunden polyeder eller r { p , q }, med Coxeter-diagram $\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ ellerhar en kvasi-regelbunden trunkering definierad som eller tr { p , q } (med ett Coxeter-diagram $t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ eller) och en kvasiregelbunden snubb, definierad som en alternerande trunkering av en fullständig trunkering eller htr { p , q } = sr { p , q } (med ett Coxeter-diagram $ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$ eller).

Till exempel erhålls Kepler- snubbkuben från en kvasi-regelbunden kuboktaeder med en vertikal Schläfli-symbol (och ett Coxeter-diagram ${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ ) och mer exakt kallad snub cuboctahedron , vilket uttrycks av Schläfli-symbolen (med Coxeter-diagrammet $s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$ ). Den snubbade kuboktaedern är en växling av den trunkerade kuboktaedern ( $t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$ ).

Vanliga polyedrar med jämn vertexordning kan också reduceras till en snubbig form som en alternerande trunkering, liknande den snubbade oktaedern ( $s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix))$ ) (och snub tetrathetahedron , $s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ ) representerar en pseudoikosaeder , en vanlig ikosaeder med pyritedrisk symmetri . Den snubbade oktaedern är en alternerande form av den trunkerade oktaedern , ( $t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix))$ ), eller i form av tetraedrisk symmetri: och $t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$ .

	Trunkerad t	Omväxlande h
Octahedron O	Stympad oktaeder tillO	Snub oktaeder htO eller sO
{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}

Coxeters vertex (näsa) beskärning gör det också möjligt att definiera ett n - antiprisma som antingen baserat på n-prismor eller , och är en vanlig osoeder , en degenererad polyeder som är en giltig plattsättning på en sfär med diangulära eller månliknande ytor. $s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix))$ $s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ $t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix))$ $t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}$ ${\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix))$

Snub osohedra , {2,2p}

Bild
Coxeter diagram							... ...
Schläfli symbol	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14	s{2,16} ...	s{2,∞}
Schläfli symbol	sr{2,2} $s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}$	sr{2,3} $s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	sr{2,4} $s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	sr{2,5} $s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}$	sr{2,6} $s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}$	sr{2,7} $s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}$	sr{2,8}... ... $s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}$	sr{2,∞} $s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}$
Conway notation	A2=T	A3=O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

Samma process gäller för kakelplattor:

Triangulär plattsättning Δ	Trunkerad triangulär plattsättning tΔ	Snub triangulär plattsättning htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Exempel

Snubbade figurer på {s,4}

Plats	sfärisk		euklidisk	Hyperbolisk
Bild
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4	s{6,4	s{7,4	s{8,4	... s{∞,4}

Kvasiregelbundna siffror baserade på r{p,3}

Plats	sfärisk				euklidisk	Hyperbolisk
Bild
Coxetere diagram								...
Schläfli symbol	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3	sr{8,3	... sr{∞,3}
Schläfli symbol	$s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix))$
Conway notation	A3	ST	sC eller sO	SD eller SI	sΗ eller sΔ

Kvasireguljära snubbformer baserade på r{p,4}

Plats	sfärisk		euklidisk	Hyperbolisk
Bild
Coxeter diagram								...
Schläfli symbol	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4	sr{6,4	sr{7,4	sr{8,4	... sr{∞,4}
Schläfli symbol	$s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix))$	$s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix))$
Conway notation	A4	sC eller sO	sQ

Inhomogena snub polyhedra

Inhomogena polyedrar, för vilka ett jämnt antal kanter konvergerar vid hörn, kan ha vertexklippning, inklusive några oändliga uppsättningar, till exempel:

Snub bipyramids sdt{2,p}

Snub fyrkantig bipyramid


Snub sexkantig bipyramid

Snub trunkerade bipyramider srdt{2,p}

Snub antiprismor {2,2p}

Bild				...
Schläfli symbol	ss{2,4}	ss{2,6}	ss{2,8}	ss{2,10}...
Schläfli symbol	ssr{2,2} $ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix))$	ssr{2,3} $ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix))$	ssr{2,4} $ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}$	ssr{2,5}... $ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix))$

Homogena stjärnformade Coxeter polyhedra

Snub stellated polyedra är konstruerade med hjälp av Schwartz-triangeln (pqr) med rationella speglar, där alla speglar är aktiva och alternerande.

Snub enhetlig stjärnformade polyedrar

s{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)	sr{5,5/2	s{(3,5,5/3)	sr{5/2,3
sr{5/3,5	s{(5/2.5/3.3)	sr{5/3,3	s{(3/2,3/2,5/2)	s{3/2,5/3}

Snub polytoper och Coxeter honeycombs i högdimensionella utrymmen

I allmänhet vanliga 4-dimensionella polytoper med Schläfli-symbolen och Coxeter- diagrammet ${\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix))$ har en snubbig form med en utökad Schläfli-symbol och diagram $s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix))$ .

Helt trunkerad polytop = r{p,q,r} , och ${\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix))$ har snubbsymbol = sr{p,q,r} , och $s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix))$ .

Exempel

Det finns bara en enhetlig snubbpolyeder i det 4-dimensionella rymden, den snub 24-cell . En vanlig tjugofyra cell har en Schläfli-symbol och ett Coxeter-diagram ${\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}$ 24-cellen representeras av symbolen och Coxeter-diagrammet $s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix))$ . Den har också en lägre symmetrikonstruktion med index 6 som eller s{3 1,1,1 } och $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$ , och symmetri med index 3 som eller sr{3,3,4}, $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}$ eller.

Relaterade Snub 24-cells honeycombs kan ses som eller s{3,4,3,3}, $s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix))$ , en kropp med lägre symmetri som eller sr{3,3,4,3} ( $s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix))$ eller), och med minsta symmetri som eller s{3 1,1,1,1 } ( $s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}$ ).

Euklidiska bikakor är alternerande hexagonala platthonungskakor , s{2,6,3} () eller sr{2,3,6} () eller sr{2,3 [3] } ().

Andra euklidiska (liksidiga) bikakor är de växelvis fyrkantiga honeycombs s{2,4,4} (och) eller sr{2,4 1,1 } ():

De enda enhetliga, hyperboliska bikakorna är hexagonala bikakor , s{3,6,3} och, som också kan konstrueras som Alternerad hexagonal kaklad honeycomb , h{6,3,3},. Den är också konstruerad som s{3 [3,3] } och.

Andra hyperboliska (likkantiga) bikakor är oktaedriska bikakor av ordning 4 , s{3,4,4} och.

Se även

snubbig polyeder

Operationer på polyedrar

Grunden	avkortning	fullständig trunkering	Djup trunkering	Dualitet _	stretching	Trunkering	Alternation


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}

Anteckningar

↑ Kepler , Harmonices Mundi , 1619
↑ Conway, 2008 , sid. 287.
↑ Conway, 2008 , sid. 401.

Litteratur

HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller. Uniform polyhedra // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A. Matematiska och fysikaliska vetenskaper. - The Royal Society, 1954. - T. 246 , nr. 916 . — S. 401–450 . — ISSN 0080-4614 . doi : 10.1098/ rsta.1954.0003 . — .
Coxeter, HSM 8.6 Partiell trunkering eller alternering // Regular Polytopes . — 3:a. - 1973. - S. 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter . Tabell I och II: Vanliga polytoper och bikakor //Vanliga polytoper . — 3:a. utg.. - Dover Publications, 1973. - s . 154-156 . — ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter . Kalejdoskop: Utvalda skrifter av HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Papper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
- (Papper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Papper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
HSM Coxeter . Kapitel 3: Wythoffs konstruktion för likformiga polytoper // Geometrins skönhet: tolv uppsatser . - Dover Publications, 1999. - ISBN 0-486-40919-8 .
NW Johnson . Uniforma polytoper. - 1991. - (Manuskript).
- NW Johnson . Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. - University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-avhandling).
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Sakernas symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Weisstein, Eric W. Snubification (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Richard Klitzing. Snubs, alternerade fasetteringar och Stott-Coxeter-Dynkin-diagram // Symmetry: Culture and Science. - 2010. - T. 21 , nr. 4 . — S. 329–344 .