Schwartz triangel

Schwartztriangeln är en sfärisk triangel som kan användas för att tessellate en sfär , eventuellt överlappande, genom att reflektera triangeln runt dess sidor. Trianglar klassificeras i ett verk från 1873 av den tyske matematikern Karl Schwartz [1] .

Schwartz-trianglar kan definieras mer allmänt som plattsättningar på ett sfäriskt, euklidiskt eller hyperboliskt plan. Varje Schwartz-triangel på sfären definierar en ändlig grupp , medan de på det euklidiska planet definierar oändliga grupper.

Schwartz-triangeln representeras av tre rationella tal ( p q r ), som vart och ett definierar en vinkel vid spetsen. Värdet n/d betyder att vinkeln vid triangelns spets är lika med d / n för den räta vinkeln. 2 betyder rät triangel. Om dessa tal är heltal kallas triangeln för en Möbius-triangel och den motsvarar en plattsättning utan överlappningar, och symmetrigruppen kallas triangelgruppen . Det finns 3 Möbius-trianglar på sfären och ytterligare en enparameterfamilj. Det finns tre Möbius-trianglar på planet, och i det hyperboliska rymden finns en familj av Möbius-trianglar med tre parametrar och inga exceptionella objekt .

Lösningsutrymme

Ett fundamentalt område i form av en triangel ( p q r ) kan existera i olika utrymmen, beroende på summan av de reciproka av dessa heltal:

Sfär Euklidiskt plan hyperboliskt plan

Enkelt uttryckt är summan av vinklarna i en triangel i det euklidiska planet π, medan på sfären är summan av vinklarna större än π, och på det hyperboliska planet är summan mindre än π.

Grafisk representation

Schwartz-triangeln representeras grafiskt som en triangulär graf . Varje vertex motsvarar en sida (spegel) av Schwartz-triangeln. Varje kant är märkt med ett rationellt värde som motsvarar reflektionsordningen, vilket är lika med π/ yttre vinkel .


Schwarz triangel ( p q r ) på sfär
Schwarz triangelgraf

Kanter med ordning 2 representerar vinkelräta speglar, som kan utelämnas i detta diagram. Coxeter-Dynkin-diagrammet representerar dessa triangulära grafer utan kanter av ordning 2.

Man kan använda Coxeter-gruppen för enklare notation, som ( p q r ) för cykliska grafer, ( p q 2) = [ p , q ] för räta trianglar) och ( p 2 2) = [ p ]×[].

Lista över Schwartz-trianglar

Möbius trianglar på sfären


(2 2 2) eller [2,2]
(3 2 2) eller [3,2] 		...

(3 3 2) eller [3,3]
(4 3 2) eller [4,3]
(5 3 2) eller [5,3]

Schwarz-trianglar med heltal, även kallade Möbius-trianglar , inkluderar enparameterfamiljen och tre exceptionella -fall:

  1. [ p ,2] eller ( p 2 2) - dihedral symmetri ,CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
  2. [3,3] eller (3 3 2) – Tetraedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  3. [4,3] eller (4 3 2) – Oktaedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
  4. [5,3] eller (5 3 2) - Ikosaedrisk symmetri ,CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

Schwartz trianglar på en sfär, grupperade efter densitet

Schwartz-trianglar ( p q r ), grupperade efter densitet :

Densitet Schwartz triangel
ett (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d ( 22n / d )
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
fyra (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
åtta (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
tio (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
elva (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
fjorton (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
arton (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Trianglar i det euklidiska planet


(3 3 3)
(4 4 2)
(6 3 2)

Densitet 1:

  1. (3 3 3) - 60-60-60 ( liksidig )
  2. (4 4 2) - 45-45-90 (likbent rektangulär)
  3. (6 3 2) - 30-60-90
  4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "triangel"

Densitet 2:

  1. (6 6 3/2) - 120-30-30 triangel

Densitet ∞:

  1. (4 4/3∞)
  2. (3 3/2∞)
  3. (6 6/5∞)

Trianglar i det hyperboliska planet


(7 3 2)
(8 3 2)
(5 4 2)

(4 3 3)
(4 4 3)
(∞∞∞)
Trianglars grundområden ( p q r )

Densitet 1:

Densitet 2:

Densitet 3:

Densitet 4:

Densitet 6:

Densitet 10:

Schwartz-triangeln (2 3 7) är den minsta hyperboliska Schwartz-triangeln och är av särskilt intresse. Dess triangelgrupp (eller, mer exakt, von Dyck-gruppen av orienteringsbevarande isometrier med index 2) är triangelgruppen (2,3,7) , som är den universella gruppen för alla Hurwitz-grupper — Riemannytors maximala isometrigrupper . Alla Hurwitz-grupper är faktorgrupper i triangelgruppen (2,3,7) och alla Hurwitz-ytor täcks av plattsättningar av Schwartz-trianglar (2,3,7). Den minsta Hurwitz-gruppen är en enkel grupp av ordning 168, den näst minsta icke-abeliska enkla gruppen , som är isomorf till PSL(2,7) och associerad med en Hurwitz-yta av släkte 3, är Klein-kvartiken .

Triangeln (2 3 8) tesselerar Boltz-ytan , en mycket symmetrisk (men inte en Hurwitz) yta av släkte 2.

Trianglarna med en icke-heltalsvinkel som anges ovan klassificerades först av Anthony W. Knapp i ett  papper från 1968 [2] . En lista över trianglar med flera icke-heltalsvinklar ges i ett papper från 1998 av Klimenko och Sakum [3] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Schwarz, 1873 .
  2. ↑ Knapp, 1968 , sid. 289-304.
  3. ↑ Klimenko, Sakuma, 1998 , sid. 247-282.

Litteratur

Länkar