Goursat tetraeder

Goursat- tetraedern är det tetraedriska grundområdet för Wythoff-konstruktionen . Varje yta av tetraedern representerar ett spegelhyperplan på en 3-dimensionell yta - 3-sfär , euklidiskt 3-dimensionellt utrymme och hyperboliskt 3-dimensionellt utrymme. Coxeter döpte området efter Édouard Gours , som först uppmärksammade dessa områden. Goursat-tetraedern är en förlängning av teorin om Schwartz-trianglar för att konstruera Wythoff på en sfär.

Grafisk representation

Goursat-tetraedern kan representeras grafiskt av en tetraedrisk graf, vilket är den dubbla konfigurationen av den grundläggande domänen som en tetraeder. I denna graf representerar varje nod ett ansikte (spegel) av Goursat-tetraedern. Varje kant är märkt med ett rationellt tal som motsvarar reflektionsordningen, vilket är ⁄ dihedral vinkel .

Coxeter-Dynkin-diagrammet med 4 vertex representerar dessa tetraedriska grafer med dolda andra ordningens kanter. Om många kanter är av ordning 2, kan Coxeter-gruppen representeras med parentesnotation .

För att en Goursat-tetraeder ska existera måste var och en av den grafens 3-vertex-subgrafer, (pqr), (pus), (qtu) och (rst), motsvara en Schwartz-triangel .

Extern symmetri

Den utökade symmetrin hos Goursat-tetraedern är den halvdirekta produkten av Coxeter-gruppen av symmetri och den grundläggande symmetridomänen (Goursat-tetraedern, i detta fall). Coxeter-notationen stöder denna symmetri som kapslade parenteser, som [Y[X]], vilket betyder hela Coxeter-gruppen av [X]-symmetri, med Y som Goursat-tetraedersymmetri. Om Y är en ren spegelsymmetri, kommer gruppen att representera en annan Coxeter-grupp av reflektioner. Om det bara finns en enkel dubbleringssymmetri kan Y uttryckas explicit, som [[X]] med spegel eller rotationssymmetri, beroende på sammanhanget.

Den utökade symmetrin för varje Goursat-tetraeder ges nedan. Den högsta möjliga symmetrin finns på den reguljära tetraedern [3,3], och den uppnås på den prismatiska punktgruppen [2,2,2], eller [2 [3,3] ] och på den parakompakta hyperboliska gruppen [ 3 [3,3] ].

Se tetraedersymmetrier för 7 lågordnings tetraedersymmetrier.

Totalt antal lösningar

Följande avsnitt visar hela den kompletta uppsättningen av Goursat-tetraedralösningar för 3-sfären, euklidisk 3-rymden och hyperbolisk 3-rymden. Den utökade symmetrin för varje tetraeder indikeras också.

De färgade tetraedriska diagrammen nedan är vertexfigurer av trunkerade polyedrar och bikakor från varje familj av symmetrier. Kantetiketterna representerar ordningsföljden för de polygonala ytorna, som är två gånger grenordningarna för Coxeter-grafen. Den dihedriska vinkeln på kanten märkt 2n är . De gula kanterna markerade 4 erhålls från den räta vinkeln på de (oanslutna) speglarna (noderna) i Coxeter-diagrammet.

(Finita) lösningar på 3-sfären

Lösningar för 3-sfärer med densitet 1: ( enhetliga polyedrar )

Coxeter grupp och diagram	[2,2,2]	[s,2,2]	[p,2,q]	[s,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Symmetrigruppordning	16	8p _	4pq _	4p2 _ _	48	96	240
Tetraederns symmetri	[3,3] (ordning 24)	[2] (ordning 4)	[2] (ordning 4)	[2 + ,4] (ordning 8)	[ ] (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[ ] + (ordning 1)
Utökade symmetrier	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Ordning av utökade symmetrigrupper	384	32p _	16pq _	32p2 _ _	96	96	240

Graftyp	Linjär				Trebladigt
Coxeter grupp och diagram	Fem celler [3,3,3]	Sexton celler [4,3,3]	Tjugofyra - celler [ 3,4,3 ] ]]	600 celler [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semitesseract [3 1,1,1 ]
Vertexfigur av trunkerade likformiga polyedrar
Tetraeder
Symmetrigruppordning _	120	384	1152	14400	192
Tetraedrisk symmetri	[2] + (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[2] + (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[3] (ordning 6)
Utökad symmetri	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
Ordning av den utökade symmetrigruppen	240	384	2304	14400	1152

Lösningar i Euklidiskt 3-utrymme

Densitetslösningar 1: Convex Uniform Honeycomb :

Graftyp	Linjär	Trebladigt	Ringa	Prismatisk			degenererad
Coxeter grupp Coxeter diagram	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] , 2]	[∞,2,∞]
Vertexfigur av helt trunkerade bikakor
Tetraeder
Tetraedrisk symmetri	[2] + (ordning 2)	[ ] (ordning 2)	[2 + ,4] (ordning 8)	[ ] (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[3] (ordning 6)	[2 + ,4] (ordning 8)
Utökad symmetri	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4.3 1.1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Lösningar för hyperboliska 3-mellanslag

Densitetslösningar 1: ( Konvexa homogena bikakor i hyperboliskt utrymme ) ( Kompakt (Lanner simplice-grupper) )

Graftyp	Linjär			Trebladigt
Coxeter grupp Coxeter diagram	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5.3 1.1 ]
Vertexfigurer av helt trunkerade bikakor
Tetraeder
Tetraedrisk symmetri	[2] + (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[2] + (ordning 2)	[ ] (ordning 2)
Utökad symmetri	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Graftyp	Ringa
Coxeter grupp Coxeter diagram	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Vertexfigurer av helt trunkerade bikakor
Tetraeder
Tetraedrisk symmetri	[2] + (ordning 2)	[2,2] + (ordning 4)	[2] + (ordning 2)	[2] + (ordning 2)	[2,2] + (ordning 4)
Utökad symmetri	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Lösningar i parakompakta hyperboliska 3-mellanslag

Densitet 1-lösningar: (Se Paracompact (grupper av Kozul-simplicerade) )

Graftyp	Linjediagram
Coxeter grupp Coxeter diagram	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Tetraedrisk symmetri	[ ] + (ordning 1)	[2] + (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[ ] + (ordning 1)	[2] + (ordning 2)	[ ] + (ordning 1)	[2] + (ordning 2)
Utökad symmetri	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Graftyp	Ringgrafer
Coxeter grupp Coxeter diagram	[3 [ ]×[ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 ,3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Tetraedrisk symmetri	[2] (ordning 4)	[ ] (ordning 2)	[2] + (ordning 2)	[2 + ,4] (ordning 8)	[2] + (ordning 2)	[2] + (ordning 2)	[2] + (ordning 2)	[2,2] + (ordning 4)
Utökad symmetri	[2[3 [ ]×[ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Graftyp	Trebladigt			svansring				Simlex
Coxeter grupp Coxeter diagram	[6.3 1.1 ]	[3.4 1.1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Tetraedrisk symmetri	[ ] (ordning 2)	[ ] (ordning 2)	[3] (ordning 6)	[ ] (ordning 2)	[ ] (ordning 2)	[ ] (ordning 2)	[ ] (ordning 2)	[3,3] (ordning 24)
Utökad symmetri	[1[6.3 1.1 ]] =[6,3,4]	[1[3.4 1.1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Rationella beslut

Det finns hundratals rationella lösningar för 3-sfärer , inklusive dessa 6 linjära grafer som bildar Schläfli–Hess polyedrar , och 11 icke-linjära:

Se även

• Punktsymmetrigrupp för n -simplexlösningar på ( n - 1)-sfären.

Anteckningar

Litteratur

• Coxeter HCM Tabell 3: Schwarz's trianglar //Vanliga polytoper (bok) . - Tredje upplagan. - Dover Edition, 1973. - S.  280 , Goursats tetraeder. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. - University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-avhandling). Johnson bevisade att Coxeters uppräkning av Goursat tetraedrar är komplett.
• Edouard Goursat. Sur les substitutioner orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Utgåva. 6 . — s. 9–102, 80–81 tetraedrar .
• Klitzing, Richard. Dynkin Diagrams Goursat tetraedra
• NW Johnson . Kapitel 11,12,13 // Geometrier och transformationer. — 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Transformation Groups // Storleken på en hyperbolisk Coxeter simplex . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.