icosidodecahedron |
Vertexfigur , representerad som 3.5.3.5 eller (3.5) 2 |
En vertexkonfiguration [1] [2] [3] är en förkortning för att representera vertexfiguren av en polyeder eller plattsättning som en sekvens av ansikten runt en vertex. För en homogen polyeder finns det bara en typ av vertex, och därför definierar vertexkonfigurationen helt polyederen. ( Chirala polyedrar finns som spegelpar med samma vertexkonfiguration.)
Hörnets konfiguration anges som en sekvens av siffror som representerar antalet sidor på de ytor som omger vertexet. Notationen " abc " betecknar en vertex med tre ytor runt sig och dessa ytor har a , b och c sidor (kanter).
Till exempel, "3.5.3.5" betecknar en vertex som tillhör fyra ansikten, alternerande trianglar och femhörningar . Denna vertexkonfiguration definierar en vertextransitiv icosidodecahedron . Notationen är cyklisk, så utgångspunkten spelar ingen roll. Så 3.5.3.5 är detsamma som 5.3.5.3. Ordningen är viktig, så 3.3.5.5 är inte detsamma som 3.5.3.5. (I det första fallet följs två intilliggande trianglar av två femhörningar.) Upprepande element kan reduceras genom att höja skriften, så att vårt exempel kan skrivas som (3.5) 2 .
Tillsammans med termen vertexkonfiguration använder olika källor även termerna vertexbeskrivning (vertexbeskrivning) [4] [5] [6] , vertextyp (vertextyp) [7] [8] , vertexsymbol (vertexsymbol) [9 ] [ 10] , vertexarrangemang (vertexlayout) [11] , vertexmönster (vertexmönster) [7] , ansiktsvektor (ansiktsvektor) [12] . Hönskonfigurationen använder också termen Candy och Rollett-symbol , eftersom de använde vertexkonfigurationen för att beskriva arkimediska fasta ämnen i sin bok från 1952 Mathematical Models [ 13 ] [ 14] [15] [16] .
En vertexkonfiguration kan representeras som en polygonal vertexfigur som visar kanterna runt vertexen. Denna vertexfigur har en 3-dimensionell struktur, eftersom ytorna inte är i samma plan, men för vertexuniforma polyedrar är alla angränsande hörn i samma plan, så du kan använda ortogonal projektion för att visuellt representera vertexkonfigurationen .
{3,3} = 3 3 Defekt 180° |
{3,4} = 3 4 Defekt 120° |
{3,5} = 3 5 Defekt 60° |
{3,6} = 3 6 |
{4,3} Defekt 90° |
{4,4} = 4 4 |
{5,3} = 5 3 Defekt 36° |
{6,3} = 6 3 |
Hörnet måste ha minst 3 ytor och vertexet har en hörndefekt . En vinkeldefekt på 0° gör det möjligt att täcka planet med en vanlig mosaik. Enligt Descartes sats är antalet hörn 720°/ defekt (4 π radianer/ defekt ). |
En annan typ av notation används, ibland åtskilda med kommatecken (,) ibland åtskilda med en punkt (.). En upphöjd kan också användas. Till exempel skrivs 3.5.3.5 ibland som (3.5) 2 .
Notationen kan ses som en utökad form av Schläfli-symbolen för vanliga polyedrar . Schläfli-notationen {p, q} betyder q p -goner runt varje vertex. Så {p, q} kan skrivas som ppp... ( q gånger) eller p q . Till exempel har ikosaedern {3,5} = 3.3.3.3.3 eller 3 5 .
Denna notation gäller både polygonala plattsättningar och polyedrar. En platt vertexkonfiguration betyder en enhetlig plattsättning, precis som en icke-plan vertexkonfiguration betyder en enhetlig polyeder.
Beteckningen är inte unik för kirala arter. Till exempel har en snubbningskub former som är identiska när de speglas. Båda formerna har vertexkonfiguration 3.3.3.3.4.
Beteckningen är också tillämplig på icke-konvexa regelbundna ytor, stjärnpolygoner . Pentagrammet har till exempel symbolen {5/2}, vilket betyder att polygonen har 5 sidor som går runt mitten två gånger.
Till exempel finns det 4 vanliga stjärnpolyedrar med regelbundna polygonala eller stjärnhögtalsfigurer. Den lilla stjärnformade dodekaedern har Schläfli-symbolen {5/2,5}, som utvecklas till den explicita vertexkonfigurationen 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, som kan representeras som (5/2) 5 . Den stora stjärnformade dodekaedern med symbolen {5/2,3} har en triangulär vertexfigur och konfiguration (5/2,5/2,5/2) eller (5/2) 3 . Den stora dodekaedern med symbolen {5,5/2} har en pentagram vertexfigur med vertexkonfiguration (5.5.5.5.5)/2 eller (5 5 )/2. Den stora ikosaedern med symbolen {3,5/2} har också en pentagram vertexfigur med vertexkonfiguration (3.3.3.3.3)/2 eller (3 5 )/2.
{5/2,5} = (5/2) 5 | {5/2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5/ | 3 4 .5/ | (3 4 .5/2)/2 |
---|---|---|---|---|
{5,5/2} = (5 5 )/2 | {3,5/2} = (3 5 )/2 | V.3 4.5/2 [ | V3 4.5/3 [ | V(3 4 .5/2)/2 |
Halvregelbundna polytoper har en vertexkonfiguration med en positiv hörndefekt .
Notera : En vertexfigur kan representera en regelbunden eller semi-regelbunden plattsättning i planet om dess defekt är noll. En vertexfigur kan representera en plattsättning på ett hyperboliskt plan om dess defekt är negativ.
För enhetliga polyedrar kan hörndefekten användas för att beräkna antalet hörn. Descartes sats säger att summan av alla vinkeldefekter på en topologisk sfär måste vara lika med 4 π radianer, eller 720°.
Eftersom alla hörn i en enhetlig polyeder är identiska, tillåter detta förhållande oss att beräkna antalet hörn, vilket är lika med kvoten 4 π / defekt eller 720 ° / defekt .
Exempel: Trunkerad kub 3.8.8 har en hörndefekt på 30°. Så polyedern har 720/30 = 24 hörn.
I synnerhet följer att { a , b } har 4 / (2 - b (1 - 2/ a )) hörn.
Varje numerisk konfiguration av en vertex definierar potentiellt unikt en halvregelbunden polyeder. Men alla konfigurationer är inte möjliga.
Topologiska krav begränsar förekomsten av en polyeder. Speciellt betyder pqr att en p - gon omges växelvis av q -goner och r -goner, så antingen är p jämnt eller q är lika med r . På liknande sätt är q jämn, eller p är lika med r , r är jämn eller p är lika med q . Så de potentiella trippelna är 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (för valfritt n >2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Faktum är att alla dessa konfigurationer med tre ytor som möts vid en vertex existerar.
På liknande sätt, när fyra ansikten möts vid samma vertex, pqrs , om ett tal är udda, måste resten vara lika.
Antalet inom parentes är antalet hörn beräknat från hörndefekten.
Treor
fyror
Femmor
Sexor
Dubbla till likformiga polyedrar, katalanska fasta ämnen , inklusive bipyramider och trapezhedrar , är vertikalt regelbundna ( ansiktstransitiva ), och kan därför identifieras med en liknande notation, ibland kallad en ansiktskonfiguration [2] . Cundy och Rollett prefixar dessa dubbla notationer med symbolen V. Som kontrast använder boken Tilings and Patterns [17] hakparenteser för isoedriska plattsättningar.
Denna notation representerar det på varandra följande antalet ansikten nära varje vertex runt ett ansikte [18] . Till exempel representerar V3.4.3.4 eller V(3.4) 2 en rombisk dodekaeder som är ansiktstransitiv – vilket ansikte som helst är en romb och alternerande hörn på romben omger 3 eller 4 ytor.