Seifert-van Kampens sats

Seifert-van Kampens sats uttrycker den fundamentala gruppen i ett topologiskt rum i termer av de fundamentala grupperna av två öppna delmängder som täcker rummet.

Uppkallad efter Herbert Seifert och Egbert van Kampen .

Formulering

Låta vara ett topologiskt utrymme, vara två väg-anslutna öppna uppsättningar så att skärningen är också väg-ansluten, och . Låt oss fixa en punkt . Observera att inneslutningarna $X$ $V,U\subset X$ $W=V\cap U$ $X=V\cup U$ $p\in W$

W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X

framkalla homomorfismer hos motsvarande fundamentala grupper

I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)

, , och .

J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)

\pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)

\pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)

Enligt Seifert-van Kampens sats definierar dessa fyra homomorfismer en Codecartes kvadrat i kategorin grupper, dvs.

\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V, p).

Anteckningar

Om uppgifter i grupper och $\pi _{1}(U,p)$ $\pi _{1}(V,p)$ ${\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _ {n}\rangle \\\end{aligned}}$

och är generatorer av grupperna , alltså

{\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{s))

\pi _{1}(W,p)

\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _ {1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1} ,\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .

Konsekvenser

Om korsningen helt enkelt är ansluten , då $W$ $\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),$

det vill säga den fundamentala gruppen är isomorf till den fria produkten av de fundamentala grupperna och .

X

U

V

Särskilt,

\pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),

för ett gäng anslutna och lokalt enkelt anslutna utrymmen och .

X_{1}\vee X_{2}

X_{1}

X_{2}

Ett utrymme ansluts enkelt om det kan täckas av två enkelt sammankopplade öppna uppsättningar med ansluten korsning.
- Till exempel kan en sfär täckas med två skivor och , där och betecknar nord- respektive sydpolen. Observera att korsningen är ansluten. Enligt Seifert-van Kampens sats är den fundamentala gruppen också trivial. $X=S^{2}$ ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\))$ $V=S^{2}\backslash \{s\}$ $n$ $s$ ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\))$ $W$

Variationer och generaliseringar

Det finns en generalisering av satsen för fundamentala groupoider. Den låter dig arbeta om den inte är ansluten. $W$
Mayer-Vietoris-sekvensen är ett liknande teorem för att räkna homologi .

Länkar

V.V. Prasolov. Element av kombinatorisk och differentiell topologi . - M. : MTsNMO, 2004. - 352 sid.
Seifert, H., Konstruktion drei dimensionaler geschlossener Raume . Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
ER van Kampen. Om kopplingen mellan de grundläggande grupperna i vissa relaterade utrymmen. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), sid. 261-267.