Giesecking grenrör

Giesekings grenrör är ett tredimensionellt hyperboliskt grenrör med minsta volym.

Byggnad

Ett Gieseking-grenrör kan konstrueras genom att limma ihop två par av ytor av en idealisk ekvikantig hyperbolisk tetraeder (med dihedriska vinklar ). Om vi numrerar topparna 0, 1, 2, 3, måste ytan 0,1,2 limmas på ytan 3,1,0 och ytan 0,2,3 måste limmas på ytan 3,2, 1; i båda fallen måste ordningen på hörnen bevaras. ${\tfrac {\pi }{3}}$

Egenskaper

Giesekings grenrör har den minsta volymen bland alla hyperboliska grenrör.
- Dess volym är lika med volymen av en vanlig ideal hyperbolisk tetraeder, den är ungefär lika med 1,01494161.

Det dubbla höljet på Gieseckings grenrör är homeomorft till komplementet till åttafiguren .

Gränsen för det oändliga grannskapet är Klein-flaskan .

Den första homologin för Giesekings mångfald är heltal.

Giesecking-grenröret lövar över en cirkel med en punkterad torus som en fiber; monodromin ges av kartläggningen . $(x,y)\to (x+y,x)$
- Fyrkanten på denna karta är den så kallade Arnold-kattkartan . Detta ger ett annat sätt att se att det dubbla locket på Gieseking-grenröret är komplementet till en åtta.

Länkar

Gieseking, H. (1912), Analytische Untersuchungen über Topologische Gruppen , Thesis, Muenster , < http://name.umdl.umich.edu/ABR1814.0001.001 >
Adams, Colin C. (1987), The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volym , Proceedings of the American Mathematical Society vol 100 (4): 601–606, ISSN 0002-9939 , DOI 10.2307/2046691